2019-2020年高考数学一轮复习 8.5空间向量与立体几何.doc

2019-2020年高考数学一轮复习 8.5空间向量与立体几何A组xx年模拟基础题组1.(xx江西临川一中期中,19)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形,DAB=45,AA1=AB=2,AD=2,点E是C1D1的中点,点F在B1C1上且B1F=2FC1.(1)证明:AC1平面EFC;(2)求锐二面角A-FC-E的平面角的余弦值.2.(xx山西太原一模,19)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为矩形,平面ABEF平面ABCD,EFAB,BAF=90,AD=2,AB=AF=2EF=1,点P在棱DF上(其中点P不与D、F重合).(1)若P是DF的中点,求证:BF平面ACP;(2)若二面角D-AP-C的余弦值为,求PF的长.3.(xx重庆六校下学期第三次诊断,20)如图,在四棱锥P-ABCD中,ADBC,ABAD,ABPA,BC=2AB=2AD=4BE,平面PAB平面ABCD.(1)求证:平面PED平面PAC;(2)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为,求二面角A-PC-D的平面角的余弦值.4.(xx辽宁沈阳二模,19)如图,BC为圆O的直径,D为圆周上异于B、C的一点,AB垂直于圆O所在的平面,BEAC于点E,BFAD于点F.(1)求证:BF平面ACD;(2)若AB=BC=2,CBD=45,求平面BEF与平面BCD所成锐二面角的余弦值.B组xx年模拟提升题组限时:50分钟1.(xx河北重点中学期中,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,BAD=60,Q为AD的中点.(1)若PA=PD,求证:平面PQB平面PAD;(2)若平面APD平面ABCD,且PA=PD=AD=2,则在线段PC上是否存在点M,使二面角M-BQ-C的大小为60?若存在,试确定点M的位置;若不存在,请说明理由.2.(xx北京西城一模,17)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形,E是CD的中点,D1ECD,AB=2BC=2.(1)求证:BCD1E;(2)求证:B1C平面BED1;(3)若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为,求线段D1E的长度.3.(xx宁夏银川一中四模,19)在正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足=(如图1),将AEF沿EF折起到A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角(如图2).(1)求证:A1E平面BEP;(2)求直线A1E与平面A1BP所成角大小;(3)求二面角B-A1P-F的余弦值.4.(xx辽宁鞍山二模,18)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PACD,PA=1,PD=,E为PD上一点,PE=2ED.(1)求证:PA平面ABCD;(2)求二面角D-AC-E的余弦值;(3)在侧棱PC上是否存在一点F,使得BF平面AEC?若存在,指出F点的位置,并证明;若不存在,说明理由.A组xx年模拟基础题组1.解析(1)证明:以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),结合已知易得C(4,2,0),C1(4,2,2),E(3,2,2),F,=(4,2,2),=,=(1,0,-2),=(4,2,2)=0,=(4,2,2)(1,0,-2)=0,AC1EF,AC1EC.又EFEC=E,且EF、EC平面EFC,AC1平面EFC.(2)连结AF,AC.设向量n=(x,y,z)是平面AFC的法向量,则n,n,而=(4,2,0),=,4x+2y=0,x+y+2z=0,令x=1,得n=.又是平面EFC的法向量,cos=-.锐二面角A-FC-E的平面角的余弦值为.2.解析(1)证明:连结BD,交AC于点O,连结OP.因为O为矩形ABCD对角线的交点,所以OB=OD,又因为P是DF的中点,所以OP为三角形BDF的中位线,所以BFOP.因为BF平面ACP,OP平面ACP,所以BF平面ACP.(4分)(2)因为BAF=90,所以AFAB,因为平面ABEF平面ABCD,且平面ABEF平面ABCD=AB,所以AF平面ABCD.以A为坐标原点,AB,AD,AF所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示空间直角坐标系A-xyz,则B(1,0,0),C(1,2,0),F(0,0,1).(7分)因为AB平面ADP,所以平面ADP的一个法向量为n1=(1,0,0).设P点坐标为(0,2-2t,t)(0t1),则=(0,2-2t,t),又=(1,2,0),设平面APC的一个法向量为n2=(x,y,z),则所以平面APC的一个法向量为n2=,所以|cos|=,(10分)解得t=或t=2(舍).所以P,=,|=.故PF的长为.(12分)3.解析(1)证明:平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,ABPA,PA平面ABCD.又ABAD,故可建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.设BE=1,AP=,则=(2,4,0),=(0,0,),=(2,-1,0),(2分)=4-4+0=0,=0,DEAC,DEAP,ED平面PAC.(4分)平面PED平面PAC.(6分)(2)由(1)知,平面PAC的一个法向量是=(2,-1,0),且=(2,1,-),设直线PE与平面PAC所成的角为,则sin =|cos|=,解得=2.0,=2,即P(0,0,2).(8分)设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0),=(2,2,0),=(0,-2,2),n,n,令x0=1,则n=(1,-1,-1),(10分)cos=.(11分)显然二面角A-PC-D的平面角是锐角,二面角A-PC-D的平面角的余弦值为.(12分)4.解析(1)证明:BC为圆O的直径,CDBD.AB圆O所在的平面,ABCD,又ABBD=B,CD平面ABD.又BF平面ABD,CDBF.又BFAD且ADCD=D,BF平面ACD.(2)如图,以O为原点建立空间直角坐标系.则B(0,-1,0),E(0,0,1),D(1,0,0),A(0,-1,2).BFAD,DF=AD,得=,F,=,=(0,1,1).设平面BEF的法向量为n1=(x,y,z),则即解得不妨取平面BEF的一个法向量n1=(0,-1,1).又由已知AB垂直于圆O所在的平面,得是平面BCD的一个法向量,设平面BEF与平面BCD所成的锐二面角为,n2=(0,0,2),则cos =|cos|=.B组xx年模拟提升题组1.解析(1)证明:PA=PD,Q为AD的中点,PQAD.四边形ABCD为菱形,BAD=60,Q为AD的中点,BQAD.又PQBQ=Q,AD平面PQB,AD平面PAD,平面PQB平面PAD.(2)平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,且由(1)知PQAD,PQ平面ABCD.以Q为坐标原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图.则Q(0,0,0),结合已知易得P(0,0,),B(0,0),C(-2,0).假设存在满足题意的点M,可知M与点P,C不重合,设=(01),则M(-2,(1-).易知平面CBQ的一个法向量为n1=(0,0,1).设平面MBQ的法向量为n2=(x,y,z),由可取n2=,二面角M-BQ-C的大小为60,cos 60=|cos|=,解得=(=-1舍去),=.存在满足题意的点M,且点M为线段PC靠近P的三等分点.2.解析(1)证明:因为底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形,所以BCCD,BCCC1,又因为CDCC1=C,所以BC平面DCC1D1,因为D1E平面DCC1D1,所以BCD1E.(2)证明:连结D1B1,DB,因为BB1DD1,BB1=DD1,所以四边形D1DBB1是平行四边形.连结DB1交D1B于点F,连结EF,则F为DB1的中点.在B1CD中,因为DE=CE,DF=B1F,所以EFB1C.又因为B1C平面BED1,EF平面BED1,所以B1C平面BED1.(3)由(1)可知BCD1E,又因为D1ECD,且BCCD=C,所以D1E平面ABCD.设G为AB的中点,以E为原点,EG,EC,ED1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图.则E(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),G(1,0,0).设D1E=a,则D1(0,0,a),B1(1,2,a).设平面BED1的一个法向量为n=(x,y,z),因为=(1,1,0),=(0,0,a),所以由得令x=1,得n=(1,-1,0).设平面BCC1B1的一个法向量为m=(x1,y1,z1),因为=(1,0,0),=(1,1,a),所以由得令z1=1,得m=(0,-a,1).由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为,得|cos|=cos,解得a=1.所以D1E=1.3.解析不妨设正三角形ABC的边长为3.(1)证明:在题图1中,取BE的中点D,连结DF.=,AF=AD=2,又A=60,ADF为正三角形.又AE=ED=1,EFAD,在题图2中有A1EEF,BEEF.A1EB为二面角A1-EF-B的平面角.二面角A1-EF-B为直二面角,A1EBE.又BEEF=E,A1E平面BEF,即A1E平面BEP.(2)由(1)可知,A1E平面BEP,BEEF,故可建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,0),A1(0,0,1),B(2,0,0),F(0,0),P(1,0),=(2,0,-1),=(-1,0),=(0,0,1),设平面A1BP的法向量为n1=(x1,y1,z1),则令x1=3,则n1=(3,6).cos=,易知直线A1E与平面A1BP所成角的大小为.(3)=(0,-1),=(-1,0,0),设平面A1FP的法向量为n2=(x2,y2,z2).则n2,n2,即令y2=1,得n2=(0,1,).cos=,又易知二面角B-A1P-F为钝二面角,所以二面角B-A1P-F的余弦值是-.4.解析(1)证明:PA=AD=1,PD=,PA2+AD2=PD2,即PAAD.(2分)又PACD,ADCD=D,PA平面ABCD.(4分)(2)过E作EGPA交AD于G,从而EG平面ABCD,且AG=2GD,EG=PA=.(5分)连结BD交AC于O,过G作GHOD,交AC于H,GH=OD=,连结EH.GHAC,EH在平面ABCD上的射影为GH,EHAC,EHG为二面角D-AC-E的平面角.(6分)又tanEHG=,二面角D-AC-E的余弦值为.(7分)(3)存在.以A为原点,AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),E,=(1,1,0),=.设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),则即令y=1,则n=(-1,1,-2).(10分)假设侧棱PC上存在一点F,且=(01),使得BF平面AEC,则n=0.又=+=(0,1,0)+(-,-,)=(-,1-,),n=+1-2=0,=,存在点F,使得BF平面AEC,且F为PC的中点.(12分)