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2019-2020年高三上学期第一次联考数学理试题 含答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. “”是“”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2. 已知,其中i为虚数单位,则( )A.1 B1 C2 D33. 若,则下列结论正确的是( )A BC D4.下列四个命题中,正确的是( )A已知服从正态分布,且,则B已知命题;命题则命题“”是假命题 C设回归直线方程为,当变量增加一个单位时,平均增加2个单位D已知直线,,则的充要条件是 =-3 5. 已知单位向量满足,则夹角为( )A B C D6. 若动圆的圆心在抛物线上,且与直线相切,则此圆恒过定点( )A. B. C. D.7. 设,满足约束条件,若目标函数(,)的最大值为12,则的取值范围是( )A. B. C. D. 8. 记集合, M=,将M中的元素按从大到小排列,则第xx个数是( )A. B. C. D. 第二部分 非选择题(共110分)二、填空题: 本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分(一)必做题(913题)9 在展开式中的系数为,则实数的值为 . 10计算定积分 . 11.已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好是椭圆的长轴端点、焦点,则双曲线C的渐近线方程是_.12在中,内角、的对边分别为、,已知,则 .将石子摆成如图的梯形形状.称数列为“梯形数”.根据图形的构成,数列第项 ;第项 .图1(二)选做题(1415题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线()截圆所得弦长是 . 15(几何证明选讲选做题)如图(图2)是圆的直径,过、的两条弦和相交于点,若圆的半径是,那么的值等于_.图2三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题满分12分)甲乙丙三人商量周末去玩,甲提议去市中心逛街,乙提议去城郊觅秋,丙表示随意。最终,商定以抛硬币的方式决定结果。规则是:由丙抛掷硬币若干次,若正面朝上则甲得一分乙得零分,反面朝上则乙得一分甲得零分,先得4分者获胜,三人均执行胜者的提议.记所需抛币次数为.求=6的概率;求的分布列和期望.17(本小题满分12分)已知函数(为常数)(1)求函数的最小正周期和单调增区间;(2)若函数的图像向左平移个单位后,得到函数的图像关于轴对称,求实数的最小值.18(本小题满分14分)设函数 ()若在时有极值,求实数的值和的单调区间; ()若在定义域上是增函数,求实数的取值范围19(本小题满分14分)已知几何体ABCED的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形(1)求此几何体的体积V的大小;(2)求异面直线DE与AB所成角的余弦值;(3)试探究在DE上是否存在点Q,使得AQBQ并说明理由.20(本小题满分14分)如图,椭圆的左顶点、右焦点分别为,直线的方程为,为上一点,且在轴的上方,与椭圆交于点.(1)若是的中点,求证:.(2)过三点的圆与轴交于两点,求的范围.21.(本小题满分14分)设,Q=;若将,lgQ,lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列的前三项.(1)试比较M、P、Q的大小;(2)求的值及的通项;(3)记函数的图象在轴上截得的线段长为,设,求,并证明.xx届高三六校第一次联考理科数学参考答案及评分标准一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分 题号12345678答案BDDBCCAA二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分其中1415题是选做题,考生只能选做一题9. ; 10. ; 11. ; 12; 13.,; 14.; 15. .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题满分12分) 甲乙丙三人商量周末去玩,甲提议去市中心逛街,乙提议去城郊觅秋,丙表示随意。最终,商定以抛硬币的方式决定结果。规则是:由丙抛掷硬币若干次,若正面朝上则甲得一分乙得零分,反面朝上则乙得一分甲得零分,先得4分者获胜,三人均执行胜者的提议.记所需抛币次数为. 求=6的概率; 求的分布列和期望.16.解:(1) 4分(2)分布列为:4567 10分 12分17(本小题满分12分)已知函数(为常数)(1)求函数的最小正周期和单调增区间;(2)若函数的图像向左平移个单位后,得到函数的图像关于轴对称,求实数的最小值.17. 解:(1) 4分的最小正周期为 5分当,即时,函数单调递增,故所求单调增区间为 8分(2)函数的图像向左平移个单位后得,9分要使的图像关于轴对称,只需 11分即,所以的最小值为 12分18(本小题满分14分)设函数 ()若在时有极值,求实数的值和的单调区间; ()若在定义域上是增函数,求实数的取值范围18. 解:()在时有极值,有, 2分又,有, 4分有, 由有, 6分又关系有下表00递增递减递增的递增区间为 和 , 递减区间为 9分()若在定义域上是增函数,则在时恒成立,10分,需时恒成立,化为恒成立,. 14分19(本小题满分14分)已知几何体ABCED的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形(1)求此几何体的体积V的大小;(2)求异面直线DE与AB所成角的余弦值;(3)试探究在DE上是否存在点Q,使得AQBQ并说明理由.19. 解:(1)由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ,BD=1,即该几何体的体积V为-3分(2)解法1:过点B作BF/ED交EC于F,连结AF,则FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角-5分在BAF中,AB=,BF=AF=即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为 7分解法2:以C为原点,以CA,CB,CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系则A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,1),E(0,0,4), 异面直线DE与AB所成的角的余弦值为(3)解法1:在DE上存在点Q,使得AQBQ. 8分取BC中点O,过点O作OQDE于点Q,则点Q满足题设. 连结EO、OD,在RtECO和RtOBD中 11分,以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切切点为Q面,面 面 -13分面ACQ 14分解法2: 以C为原点,以CA,CB,CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系设满足题设的点Q存在,其坐标为(0,m,n),则,AQBQ - 点Q在ED上,存在使得-代入得,解得满足题设的点Q存在,其坐标为20(本小题满分14分)如图,椭圆的左顶点、右焦点分别为,直线的方程为,为上一点,且在轴的上方,与椭圆交于点.(1)若是的中点,求证:.(2)过三点的圆与轴交于两点,求的范围.20(1)证:由题意得, 又点在椭圆上,且在轴上方,得 3分6分(2)解:(方法一)设,其中圆过三点,圆心在线段的中垂线上设圆心为,半径为,有, 10分,当且仅当即时取“=”.的取值范围是 14分(方法二)解:设,其中,圆过三点,设该圆的方程为,有 解得 圆心为半径, 10分,当且仅当即时取“=”,的取值范围是. 14分21.(本小题满分14分)设,Q=;若将,lgQ,lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列的前三项.(1)试比较M、P、Q的大小;(2)求的值及的通项;(3)记函数的图象在轴上截得的线段长为,设,求,并证明.21. 解:(1)由 1分得 2分 3分 4分,又当时,当时,即,则 5分当时,则当时,则 6分(2)当时,即解得,从而 7分当时,即 , 无解. 8分(3)设与轴交点为 ,当=0时有 9分又, 10分 11分 14分说明:各题如有其它解法,按照相应的步骤给分.
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