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2019-2020年高三五月模拟考试数学(理)试题 含答案本试卷分第卷和第卷两部分,满分150分.考试用时120分钟.考试结束后将答题卡交回.第卷(选择题 共50分)一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1. 设集合,若集合只有一个子集,则的取值范围是( )A. B. C. D. 2设为实数,若复数,则( )A. B. C. D. 3函数(其中0,的图象如图所示,为了得到的图象,只需将的图象(A)向右平移个单位长度(B)向左平移个单位长度(C)向右平移个单位长度(D)向左平移个单位长度4一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为( )A BC D5已知数列的前n项和=k-k(a,k都是不为0的常数)是数列为等比数列的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件6有专业机构认为甲型H7N9禽流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过15人”根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是( )A甲地:总体均值为6,中位数为8 B.乙地:总体均值为5 ,方差为12C丙地:中位数为5, 众数为6 D.丁地:总体均值为3 ,方差大于07. 已知数列an的通项公式为an=|n-13|,则满足ak+ak+1+ak+19=102的整数k有( )A 3个 B 2个 C 1个 D 0个8已知函数,若函数有三个零点,则实数的取值范围是ABCD9如图,已知线段AB= ,但点A沿着以原点O为圆心的单位圆上运动时,点B在x轴上滑动设AOB=,记x()为点B( )A B C D10抛物线的焦点为,点在此抛物线上,且,弦的中点在该抛物线准线上的射影为,则的最大值为( )A B C1 D第卷(非选择题 共90分)二、填空题(每小题5分,合计25分,请将答案填到答题纸上其中15题为选做题,若两题都作答,则只按第1题给分)11.我们把在平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系xOy中,利用求动点轨迹方程的方法,可以求出过点A(-3,4),且其法向量为 的直线方程为1(x+3)+(-2)(y-4)=0,化简得x-2y+11=0类比上述方法,在空间坐标系O-xyz中,经过点A(1,2,3),且其法向量为 的平面方程为 _12已知则展开式中的常数项为_13 现有12张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色卡片各4张,从中任取3张,要求取出的这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张的概率是_14.如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至E,使得DE=CD.若动点P从点A出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点,其中,下列判断正确的是_.满足的点P必为BC的中点.满足的点P有且只有两个.的最大值为3.的最小值不存在15.选做题: (极坐标与参数方程选做题)在极坐标系中,和极轴垂直且相交的直线l与圆相交于两点,若,则直线l的极坐标方程为_. (不等式选讲选做题)已知,若关于的方程有实根,则的取值范围是 三、解答题:(本大题共6小题,共75分.)16(本小题满分12分)已知向量记.()若,求的值;()在ABC中,角A、B、C的对边分别是、,且满足,若,试判断ABC的形状.17.(本小题满分12分)在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回的随机抽取两张卡片,记第一次抽取卡片的标号为,第二次抽取卡片的标号为.设为坐标原点,点的坐标为记.()求随机变量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;()求随机变量的分布列和数学期望.18(本小题共12分)已知等比数列满足且是的等差中项(1)求数列的通项公式(2)若求使成立的正整数的最小值19、(本小题共12分)已知在多面体ABCDE中,AB平面ACD,DEAB,AC = AD = CD = DE = 2,F为CD的中点。ADCEBF(1)求证:AF平面CDE;(2)求平面ABC和平面CDE所成的小于90的二面角的大小;(3)求点A到平面BCD的距离的取值范围。 20(本题满分13分)第20题图已知椭圆的离心率为,且过点.(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC、BD过原点O,若,(i) 求的最值.(ii) 求证:四边形ABCD的面积为定值;21(本小题满分14分)设.()若对一切恒成立,求的最大值.()设,且是曲线上任意两点,若对任意的,直线AB的斜率恒大于常数,求的取值范围;()求证:.数学参考答案一、选择题1BDBBDBD二、填空题11、_x+2y-z-2=0_ 12、_ -160_13、_8/11_ 14、_15、_三、解答题16.解:2分 (I) 由已知得,于是, 6分() 根据正弦定理知: .8分 10分 或或 而,所以,因此ABC为等边三角形.12分17题: 18:解(1)设等比数列的公比为由得2分由得解得或4分当时,不合题意舍去当时,代入得则6分(2)因为7分所以10分因为所以即,解得或.又故使成立的正整数的最小值为10.12分. 19、解:(1)证明:AB平面ACD,ABDE,DE平面ACD, AF平面ACD,DEAF又AC=AD=CD,F为CD中点,AFCDDE平面CDE,CD平面CDE,CDDED,AF平面CDE 4分(2)解法一:ABDE,AB平面CDE,DE平面CDE,AB平面CDE,设平面ABC平面CDEl,则lAB即平面ABC与平面CDE所成的二面角的棱为直线lAB平面ADC,l平面ADClAC,lDCACD为平面ABC与平面CDE所成二面角的平面角ACADCD,ACD60,平面ABC和平面CDE所成的小于90的二面角的大小为60 8分解法二:如图,以F为原点,过F平行于DE的直线为x轴,以直线FC,FA为y轴,z轴建立空间直角坐标系AC2,A(0,0,),设,B(x,0,),C(0,1,0),设平面ABC的一个法向量为,则由,解得,不妨取,则,又AF平面CDE,平面CDE的一个法向量为,平面ABC与平面CDE所成的小于90的二面角的大小为60 8分(3)解法一:设ABx,则x0AB平面ACD,ABCD又AFCD,AB平面ABF,AF平面ABF,ABAFA,CD平面ABFCD平面BCD,平面ABF平面BCD连BF,过A作AHBF,垂足为H,则AH平面BCD线段AH的长即为点A到平面BCD的距离在RtAFB中,ABx,AFCD,BF,AH(0,) 12分解法二:设ABx,ACCDDA2,AB平面ACDVBADCSADCBA22xxBCBD,CD2,SBCD2,设点A到平面BCD的距离为d,则VABCDSBCDdVBADCVABCDx,解得d(0,) 12分20. 解:(1)由题意,又, 2分解得,椭圆的标准方程为.4分(2)设直线AB的方程为,设联立,得 - 6分 7分= 8分 9分(i) 当k=0(此时满足式),即直线AB平行于x轴时,的最小值为-2.又直线AB的斜率不存在时,所以的最大值为2. 11分 (ii)设原点到直线AB的距离为d,则. 即,四边形ABCD的面积为定值13分21.解:()f(x)=ex-a(x+1),f(x)=ex-a, 1分a0,f(x)=ex-a=0的解为x=lnaf(x)min=f(lna)=a-a(lna+1)=-alna, 3分f(x)0对一切xR恒成立,-alna0,alna0,amax=1 4分(II)设是任意的两实数,且,故 6分不妨令函数,则上单调递增, 7分,恒成立=故 9分(III)由(1) 知exx+1,取x=,得1- 即 12分累加得( 14分
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