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传染病模型,随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展,诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的爱滋病毒开始肆虐全球,至今带来极大的危害。长期以来,建立制止传染病蔓延的手段等,一直是各国有关专家和官员关注的课题。,不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点,弄清这些特点需要相当多的病理知识,这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播,而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。,模型1 在这个最简单的模型中,设时刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数,,方程(1)的解为,结果表明,随着t的增加,病人人数x(t)无限增长,这显然是不符合实际的。,建模失败的原因在于:在病人有效接触的人群中,有健康人也有病人,而其中只有健康人才可以被传染为病人,所以在改进的模型中必须区别这两种人。,模型2(SI模型) 假设条件为,1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变,即不考虑生死,也不考虑迁移。人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类(取两个词的第一个字母,称之为SI模型),以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。,2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数,称为日接触率。当病人与健康者接触时,使健康者受感染变为病人。,又因为,方程(5)是Logistic模型。它的解为,这时病人增加的最快,可以认为是医院的门诊量最大的一天,预示着传染病高潮的到来,是医疗卫生部门关注的时刻。,其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈,人群中的健康者只能变成病人,病人不会再变成健康者。,模型3(SIS模型) 有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低,可以假定无免疫性,于是病人被治愈后变成健康者,健康者还可以被感染再变成病人,所以这个模型称SIS模型。,SIS模型的假设条件1,2与SI模型相同,增加的条件为,3每天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数,称为日治愈率,病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然1/是这种传染病的平均传染期。,不难看出,考虑到假设3,SI模型的(3)式应修正为,(4)式不变,于是(5)式应改为,我们不去求解方程(9)(虽然它的解可以解析地表出),而是通过图形分析i(t)的变化规律。定义,注意到和1/的含义,可知是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数,称为接触数。,利用,方程(9)可以改写作,不难看出,接触数=1是一个阈值。,SI模型可视为本模型的特例,请读者考虑它相当于本模型中或取何值的情况。,模型4(SIR模型) 大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力,所以病愈的人即非健康者(易感染者),也非病人(已感染者),他们已经退出传染系统。这种情况比较复杂,下面将详细分析建模过程。,模型假设,1.总人数N不变。人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)三类,称SIR模型。三类人在总数N中占的比例分别记作s(t),i(t)和r(t)。,病人的日接触率为,日治愈率为(与SI模型相同),传染期接触为 =/。,模型构成,由假设1显然有,s(t)+i(t)+r(t)=1 (12),根据条件2方程(8)仍然成立。对于病愈免疫的移出者而言有,方程(14)无法求出s(t) 和i(t)的解析解,我们先作数值计算。,
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