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2019-2020年高考数学一轮复习专题一函数与导数课时作业含解析文1(xx兰州模拟)已知函数f(x)exax(aR,e为自然对数的底数)(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若a1,函数g(x)(xm)f(x)exx2x在(2,)上为增函数,求实数m的取值范围解:(1)函数f(x)的定义域为R,f(x)exa.当a0时,f(x)0,f(x)在R上为增函数;当a0时,由f(x)0得xlna.则当x(,lna)时,f(x)0,函数f(x)在(lna,)上为增函数(2)当a1时,g(x)(xm)(exx)exx2x,g(x)在(2,)上为增函数,g(x)xexmexm10在(2,)上恒成立,即m在(2,)上恒成立,令h(x),x(2,),h(x).令L(x)exx2,L(x)ex10在(2,)上恒成立,即L(x)exx2在(2,)上为增函数,即L(x)L(2)e240,h(x)0.即h(x)在(2,)上为增函数,h(x)h(2),m.所以实数m的取值范围是.2已知aR,函数f(x)axlnx,x(0,e(其中e是自然对数的底数)(1)当a2时,求f(x)的单调区间和极值;(2)求函数f(x)在区间(0,e上的最小值解:(1)当a2时,f(x)2xlnx,对f(x)求导,得f(x)2.所以f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.由此可知f(x)的极小值为f1ln2,没有极大值(2)记g(a)为函数f(x)在区间(0,e上的最小值f(x)a.当a0时,f(x)0,所以f(x)在区间(0,e上单调递减,则g(a)f(e)ae1;当0时,f(x)在区间上单调递减,在上单调递增,则g(a)f1lna.综上所述,g(a)3(xx广西三市调研)已知函数f(x)axxlnx(aR)(1)若函数f(x)在区间e,)上为增函数,求a的取值范围;(2)当a1且kZ时,不等式k(x1)f(x)在x(1,)上恒成立,求k的最大值解:(1)f(x)alnx1,由题意知f(x)0在e,)上恒成立,即lnxa10在e,)上恒成立,即a(lnx1)在e,)上恒成立,而(lnx1)max(lne1)2,a2.(2)f(x)xxlnx,k,即k1恒成立令g(x),则g(x).令h(x)xlnx2(x1),则h(x)10,h(x)在(1,)上单调递增h(3)1ln30,存在x0(3,4)使h(x0)0.即当1xx0时,h(x)0,即g(x)x0时,h(x)0,即g(x)0.g(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,)上单调递增由h(x0)x0lnx020,得lnx0x02,g(x)ming(x0)x0(3,4),kg(x)minx0且kZ,即kmax3.4已知函数f(x)(xa)ex,其中e是自然对数的底数,aR.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a1时,试确定函数g(x)f(xa)x2的零点个数,并说明理由解:(1)因为f(x)(xa)ex,xR.所以f(x)(xa1)ex.令f(x)0,得xa1.当x变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下:x(,a1)a1(a1,)f(x)0f(x)极小值故f(x)的单调递减区间为(,a1),单调递增区间为(a1,)(2)结论:函数g(x)有且仅有一个零点理由如下:由g(x)f(xa)x20,得方程xexax2,显然x0为此方程的一个实数解,所以x0是函数g(x)的一个零点当x0时,方程可化简为exax.设函数F(x)exax,则F(x)exa1,令F(x)0,得xa.当x变化时,F(x)和F(x)的变化情况如下:x(,a)a(a,)F(x)0F(x)极小值即F(x)的单调递增区间为(a,),单调递减区间为(,a)所以F(x)的最小值F(x)minF(a)1a.因为a0,所以对于任意xR,F(x)0,因此方程exax无实数解所以当x0时,函数g(x)不存在零点综上,函数g(x)有且仅有一个零点1已知定义域为R的奇函数f(x),当x0时,f(x)lnxax1(aR)(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数yf(x)在R上恰有5个零点,求实数a的取值范围解:(1)设x0,因为f(x)是奇函数,所以f(x)f(x)ln(x)ax1,当x0时,f(x)0.所以函数f(x)(2)因为函数f(x)是奇函数,所以函数yf(x)的零点关于原点对称,由f(x)0恰有5个不同的实数根,知5个实数根中有两个正根、两个负根、一个零根,且两个正根和两个负根互为相反数所以要使方程f(x)0恰有5个不同的实数根,只要使方程f(x)0在(0,)上恰有两个不同的实数根下面研究x0时的情况:因为f(x)a,所以当a0时,f(x)0,f(x)在(0,)上为单调递增函数,所以方程f(x)0在(0,)上不可能有两个不同的实数根所以当a0时,f(x),令f(x)0,得x.当0x0,函数f(x)单调递增;当x时,f(x)0,解得0a0),可知g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,)上是增函数,所以g(x)g(1)0,所以f(x)4x成立(3)由xe,)知,xlnx0,所以f(x)0恒成立等价于a在xe,)时恒成立,令h(x),xe,),有h(x)0,所以h(x)在e,)上是增函数,有h(x)h(e),所以a.故所求a的取值范围是.
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