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2019-2020年高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例自主训练北师大版必修自主广场我夯基 我达标1.过点A(2,3),且垂直于向量a=(2,1)的直线方程为( )A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0 C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0思路解析:利用轨迹法求直线方程.设所求直线上任一点P(x,y)的坐标,则a,又=(x-2,y-3),2(x-2)+(y-3)=0,即所求的直线方程为2x+y-7=0.答案:A2.(全国高考卷,理8)已知点A(,1),B(0,0),C(,0).设BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有BC=,其中等于( )A.2 B. C.-3 D.思路解析:方法一:在ABC中,AC=1,BC=,AB=2.=2,BE=2EC.|=3|.|=3.又与方向相反,0.=-3.方法二:设E(x,0),则=(,1),=(x-,-1), =(0,1).AE平分BAC,BAE=BAC.又cos,=,cos,=,=.,解得x=.E(,0).=(,0), =(-,0).=-3.=-3.答案:C3.在ABC中,C=90,=(k,1),=(2,3),则k的值是( )A.5 B.-5 C. D.思路解析:由题意,得=-=(2,3)-(k,1)=(2-k,2),C=90,.=0.2(2-k)+32=0.k=5.答案:A4.一船从某河一岸驶向另一岸,船速为v1、水速为v2,已知船垂直到达对岸,则( )A.|v1|v2| B.|v1|v2| C.|v1|v2| D.|v1|v2|思路解析:速度是向量,要使船垂直到达对岸,则向量v1在水流方向上的分量与向量v2大小相等,方向相反,由此即得|v1|v2|.答案:B5.(福建高考卷,理11)已知|=1,|=,=0,点C在AOC内,且AOC=30.设=m+n(m,nR),则等于( )A. B.3 C. D.思路解析:由已知,不妨设=(1,0),=(0,),=(x0,y0).AOC=30,y0=x0.=(x0,x0).=m+n.(x0,x0)=(m,).x0=m,x0=.=3.答案:B6.(四川高考卷,理7)如图2-7-8所示,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是( )图2-7-8A. B. C. D.思路解析:设边长|=a,则P2P1P3=.|=a, =aa=,P2P1P4=,| |=2a, =a2a=a2, =0,0,数量积中最大的是.答案:A7.(xx东北三校二模,14)已知向量a=(6,2),b=(-4, ),直线l过点A(3,-1)且与向量a+2b垂直,则直线l的方程为_.思路解析:由题意,得a+2b=(-2,3),则直线l的方程为(-2)(x-3)+3(y+1)=0,即2x-3y-9=0.答案:2x-3y-9=0我综合 我发展8.(xx上海春季高考卷,5)在ABC中,若C=90,AC=BC=4,则=_.思路解析:由于AC=BC,C=90,则ABC是直角三角形,|=,=45.所以=|cos,=4cos45=16.答案:169.已知三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(x,y)的合力F1+F2+F3=0.求F3的坐标.思路分析:把力看成向量,将F1+F2+F3=0变为坐标的形式就可以得到结论.解:由题设F1+F2+F3=0,得(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0),即F3=(-5,1).10,用向量法证明三角形的三条高线交于一点.思路分析:用向量证明几何问题时,往往要先选择向量基底.我们假设两条高BE、CF交于点H,再证明AH与BC垂直即证明可说明结论成立证明:已知:如图2-7-9所示.AD、BE、CF是ABC的三条高,求证:AD、BE、CF交于一点.图2-7-9证法一:设两条高BE、CF交于点H,设=a,=b,则-a,-b,=b-a.,=0,=0.(-a)b=0,(-b)a=0.(-a)b=(-b)a.化简得(b-a)=0,即=0.AHBC,即AD、BE、CF交于一点.证法二:如图2-7-10所示,以AB所在直线为x轴,以A为原点建立平面直角坐标系,设B(c,0),C(m,n),H(m,y).图2-7-10则有=(m-c,y),=(m,n), =(m-c,n),=(m,y),=(c,0).,m(m-c)+ny=0.解得y=.AH=(m,).AHBC=m(m-c)+n=m(m-c)+mc-m2=0.AHBC.故AD、BE、CF交于一点.11.如图2-7-11,有两条相交成60的直线xx1、yy1,交点为O.甲、乙分别在Ox、Oy1上,起初甲位于离O点3 km的A处,乙位于离O点1 km的B处.后来两个人同时用每小时4 km的速度,甲沿xx1的方向,乙沿yy1的方向运动.问:(1)起初两个人的距离是多少?(2)什么时候两人的距离最近?图2-7-11思路分析:把距离转化为向量的长度,以甲、乙两人t时刻的位置和O三点形成三角形,通过对三角形有关量的求解便可实现解题的目的.解:(1)起初两人分别在A、B两点,则|=3,|=1.|2=(+)2=2+2+2=|2+|2-2|cos60=9+1-231=7.|=km,即起初两人相距千米.(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q,=-,|2=(-)2=|2-2+|OP|2=|2+|2-2|cos,.当0t时,|=1-4t,|=3-4t,=60,|2=(3-4t)2+(1-4t)2-2(3-4t)(1-4t)cos60=48t2-24t+7.当t时,|=|4t-1,| |=3-4t,=120,|2=(4t-1)2+(3-4t)2-2(4t-1)(3-4t)cos120=48t2-24t+7.当t时,|=4t-1,| |=4t-3,=60,|2=(4t-1)2+(4t-3)2-2(4t-1)(4t-3)cos60=48t2-24t+7.综上得|2=48t2-24t+7=48(t-)2+4,t0,+).当t=,即在第15分钟末时,最短,两人最近,最近距离为2 km.
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