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2019-2020年高中数学 13.1 单调性与最大(小)值 第一课时教案精讲 新人教A版必修1读教材填要点1定义域为I的函数f(x)的增减性2函数的单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，就说函数yf(x)在区间D上具有(严格)的单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间 小问题大思维1定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2(a，b)，使得x1x2时有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数，对吗？提示：不对，如函数f(x)x2，(1x1)，存在x1，x2，显然x1x2，有f(x1)f(x2)，但f(x)x2在(1,1)上不是增函数2定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2(a，b)使得x1x2时有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上是增函数，对吗？提示：不对，如上述函数f(x)x2(1x1)3画出函数y的图象，你认为：若f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则f(x)在AB上也为减函数，对吗？提示：不对，如函数f(x)(x0)，在(，0)上为减函数，在(0，)上也为减函数，但在(，0)(0，)上既不是增函数，也不是减函数证明或判断函数的单调性例1求证：函数f(x)在(0，)上是减函数，在(，0)上是增函数自主解答对于任意的x1，x2(，0)，且x1x2，有f(x1)f(x2)x1x20，x1x20.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(，0)上是增函数对于任意的x1，x2(0，)，且x1x2，有f(x1)f(x2).0x10，x2x10，xx0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(0，)上是减函数利用定义证明函数单调性的步骤如下：(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2；(2)作差变形：作差f(x1)f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；(3)定号：确定f(x1)f(x2)的符号；,(4)结论：根据f(x1)f(x2)的符合及定义判断单调性.1证明函数f(x)x3x在R上是增函数证明：设x1，x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)(xx1)(xx2)(xx)(x1x2)(x1x2)(xx1x2x1)(x1x2)(x1x2)2x1x1x2，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，在R上单调递增；a0时，单调减区间是(，0)和(0，)；a0时，单调减区间是(，m，单调增区间是m，)；a0时，单调减区间是m，)，单调增区间是(，m(3)需注意若一函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的3若函数f(x)(2a1)xb是R上的减函数，则a的取值范围为_解析：f(x)(2a1)xb为一次函数，当2a10即a时，f(x)是R上的减函数答案：(，)解题高手妙解题同样的结果，不一样的过程，节省解题时间，也是得分！求f(x)x22ax1在区间0,2上的最大值和最小值巧思先求出函数的对称轴xa，分四种情况a0,0a1,1a2，a2时，讨论函数f(x)在区间0,2上的单调性，再结合图形，可分别求出相应的最小值和最大值妙解f(x)(xa)21a2，对称轴为直线xa，当a0时，由图1可知f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.当0a1时，由图2可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a.当1a2时，由图3可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(0)1；当a2时，由图4可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.1函数yx2x1(xR)的递减区间是()A.B1，)C. D(，)解析：yx2x1(x)2.其对称轴为x，在对称轴左侧单调递减，x时单调递减答案：C2函数f(x)|x|和g(x)x(2x)的递增区间依次是()A(，0，(，1 B(，0，1，)C0，)，(，1 D0，)，1，)解析：f(x)|x|的图象如图甲，g(x)x(2x)x22x(x22x1)1(x1)21的图象如图乙，易知选C.答案：C3已知函数yax和y在(0，)上都是减函数，则函数f(x)bxa在R上是()A减函数且f(0)0 B增函数且f(0)0 D增函数且f(0)0解析：yax和y在(0，)都是减函数，a0，b0.f(x)bxa为减函数且f(0)a0.答案：A4若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_.解析：由f(x)可得函数f(x)的单调递增区间为，)，故3，解得a6.答案：65若函数f(x)则f(x)的递减区间是_解析：分段函数当x1时，f(x)2x1为增函数，当x1时，f(x)5x为减函数答案：(，1)6已知f(x)，试判断f(x)在1，)上的单调性，并证明解：f(x)在 1，)上是增函数证明：任取x1，x21，)，且x1x2，则f(x2)f(x1)1x1x2，x2x10，x2x10，0.f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)故函数f(x)在1，)上是增函数一、选择题1下图中是定义在区间5,5上的函数yf(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是()A函数在区间5，3上单调递增B函数在区间1,4上单调递增C函数在区间3,14,5上单调递减D函数在区间5,5上没有单调性解析：若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用连接比如05，但f(0)f(5)答案：C2函数f(x)2x2mx3，当x2，)时，f(x)为增函数，当x(，2时，函数f(x)为减函数，则m等于()A4 B8C8 D无法确定解析：由题意可知x2是f(x)的对称轴，2，m8.答案：B3下列有关函数单调性的说法，不正确的是()A若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)g(x)为增函数B若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)g(x)为减函数C若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)g(x)为增函数D若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)g(x)为减函数解析：若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)g(x)的增减性不确定例如f(x)x2为R上的增函数，当g(x)x时，则f(x)g(x)2为增函数；当g(x)3x，则f(x)g(x)2x2在R上为减函数不能确定f(x)g(x)的单调性答案：C4下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()Ay|x1| By3xCy Dyx24解析：B、C、D在(0,1)上均为减函数，只有A项在(0,1)上是增函数答案：A二、填空题5已知函数f(x)为区间1,1上的增函数，则满足f(x)f()的实数x的取值范围为_解析：f(x)在1,1上为增函数，且f(x)f()，得1x.答案：1，)6若f(x)x22ax与g(x)在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是_解析：由f(x)x22ax在1,2上是减函数可得a1，由g(x)在1,2上是减函数可得a0.0a1.答案：(0,17函数f(x)|2x1|的递减区间是_解析：函数f(x)|2x1|的图象如下所示：递减区间为(，答案：(，8函数f(x)|x|在区间a，)上为减函数，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)|x|的图象为：观察图象可知a0.答案：0，)三、解答题9证明函数f(x)在定义域上是减函数证明：f(x)的定义域为0，)，设0x1x2，则x1x20，且f(x2)f(x1)()() .x1x20，f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)f(x)在它的定义域0，)上是减函数10函数f(x)是定义在(0，)上的减函数，对任意的x，y(0，)，都有f(xy)f(x)f(y)1，且f(4)5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m2)3.解：(1)f(4)f(22)2f(2)15，f(2)3.(2)由f(m2)3，得f(m2)f(2)f(x)是(0，)上的减函数解得m4.不等式的解集为m|m4
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