概率与数理统计课件

概率论,第七节 条件概率,条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,第七节 条件概率条件概率全概率公式,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率,1.条件概率的概念,如在事件,B,发生的条件下求事件,A,发生的概率，将此概率记作,P,(,A,|,B,).,一般地,P,(,A,|,B,),P,(,A,),在解决许多概率问题时，往往需要在,P,(,A,)=1/6，,例,如，掷一颗均匀骰子，,A,=,掷出2点，,B,=,掷出偶数点，,P,(,A,|,B),=？,掷骰子,已知事件,B,发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是,B，,P,(,A,|,B,)=1/3.,B,中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集,A,中.,容易看到,P,(,A,|,B,),于是,P(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,P,(,A,)=3/10,，,又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记,B,=,取到正品,A,=,取到一等品，,P,(,A,|,B),则,P(A)=3/10，又如，10件产品中有7件,P,(,A,)=3/10,，,B,=,取到正品,P,(,A,|,B),=3/7,本例中，计算,P,(,A,)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.,A,=,取到一等品，,计算,P,(,A,|,B),时，这个前提条件未变，只是加上“,事件,B,已发生,”这个新的条件.,这好象给了我们一个“,情报,”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,P(A)=3/10，B=取到正品P(A|B)=3/,若事件,B,已发生,则为使,A,也,发生,试验结果必须是既在,B,中又在,A,中的样本点,即此点必属于,AB,.由于我们已经知道,B,已发生,故,B,变成了新的样本空间,于是 有(1).,设,A、B,是两个事件，且,P,(,B,)0,则称,(1),2.条件概率的定义,为在,事件,B,发生,的条件下,事件,A,的条件概率,.,若事件B已发生,则为使 A也发生,3.条件概率的性质(自行验证),3.条件概率的性质(自行验证),2)从加入条件后改变了的情况去算,4.条件概率的计算,1)用定义计算:,P,(,B,)0,掷骰子,例：,A,=,掷出2 点，,B,=,掷出偶数点,P,(,A,|,B,）=,B,发生后的缩减,样本空间所含样,本点总数,在缩减样本空,间中,A,所含样,本点个数,2)从加入条件后改变了的情况去算 4.条件概率的计,例1,5个乒乓球，其中3个新球，2个旧球。每次取一个,不放回地取2次。（1）求第一次取到新球的概率；,（2）在第一次取到新球的前提下，求第二次也取到新球的概率。,解法1,解法2,解 设,A,=第一次取到新球,B,=第二次取到新球,应用 定义,在,A,发生后的缩减样本,空间中计算,例1 5个乒乓球，其中3个新球，2个旧球。每次取一个,不,由条件概率的定义：,即 若,P,(,B,)0,则,P,(,AB,)=,P,(,B,),P,(,A,|,B,)(2),而,P,(,AB,)=,P,(,BA,),二、乘法公式,若已知,P,(,B,),P,(,A,|,B,)时,可以反求,P,(,AB,).,将,A、B,的位置对调，有,故,P,(,A,)0,则,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,)(3),若,P,(,A,)0,则,P,(,BA,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),(2)和(3)式都称为乘法公式,利用,它们可计算两个事件同时发生的概率,由条件概率的定义：即 若P(B)0,则P(AB),同步训练15,设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解 设,A,=能活20年以上,，,B,=能活25年以上,依题意，,P,(,A)=,0.8,P,(,B)=,0.4,所求为,P,(,B|A,).,同步训练15 设某种动物由出生算起活到20年以,概率与数理统计课件,乘法公式应用举例,例2 一个罐子中包含,t,个白球和,r,个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进,a,个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次 ，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.,（波里亚罐子模型）,t,个白球,r,个红球,乘法公式应用举例 例2 一个罐子中包含,于是,表示事件“,连续取四个球，第一、第二个是红球，第三、四个是白球.,”,t,个白球,r,个红球,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进a个与所抽出的球具有相同颜色的球,.,解 设,A,i,=第,i,次取出是红球,i,=1,2,3,4,于是 表示事件“,用乘法公式容易求出,当 a 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个,传染病模型,.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.,用乘法公式容易求出 当 a 0 时，由于每,一场精彩的足球赛将要举行,5个,球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,入场,券,5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写.将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.,后抽比先抽的确实吃亏吗？,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”,一场精彩的足球赛将要举行,5个入场5张同样,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个,按次序来，谁抽到入场券的机会都,一样大.”,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每,我们用,A,i,表示“第,i,个人抽到入场券”,i,1,2,3,4,5.,显然,，,P,(,A,1,)=1/5，,P,()4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则 表示“第,i,个人未抽到入场券”,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”显然，P(A1)=1,因为若第2个人抽到,了入场券，第1个人,肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,由于,由乘法公式,P,(,A,2,)=(4/5)(1/4)=1/5,计算得：,因为若第2个人抽到也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第3个人要抽到“,入场券,”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现,每个人抽到“,入场券,”的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装有3 红球.某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.,解 记,A,i,=球取自i号箱,i,=1,2,3;,B,=取得红球,B,发生总是伴随着,A,1,，A,2,，A,3,之一同时发生，,1,2,3,其中,A,1,、A,2,、A,3,两两互斥,必有且仅有一个发生，故构成样本空间的一个划分。,看一个例子:,三、全概率公式,有三个箱子,分别编号为1,2,3.,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的,全概率公式,.,对求和中的每,一项运用乘法,公式得,P,(,B,)=,P,(,A,1,B,)+,P,(,A,2,B,)+,P,(,A,3,B,),代入数据计算得：,P,(,B,)=8/15,运用加法公式得到,即,B=SB=A,1,B+A,2,B+A,3,B,，,且,A,1,B、A,2,B、A,3,B,两两互斥,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在,概率与数理统计课件,概率与数理统计课件,某一事件,A,的发生有各种可能的原因,，如果,A,是由原因,B,i,(,i,=1,2,n,)所引起，则,A,发生的概率是,每一原因都可能导致,A,发生，故,A,发生的概率是各原因引起,A,发生概率的总和，即全概率公式.,P,(,AB,i,)=,P,(,B,i,),P,(,A,|,B,i,),全概率公式.,我们还可以从另一个角度去理解,某一事件A的发生有各种可能的原因，如果,由此可以形象地把,全概率公式,看成为“,由原因推结果,”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.,B,1,B,2,B,3,B,4,B,5,B,6,B,7,B,8,A,诸,B,i,是原因,A,是结果,由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因,P27例3,例3 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。,P27例3例3 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产,该球取自哪号箱的可能性最大?,这一类问题是“,已知结果求原因,”.在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.,某人从任一箱中任意摸出一球，,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率,.,1,2,3,1红4白,或者问:,四、贝叶斯公式,看一个例子:,该球取自哪号箱的可能性最大?这一类问题是“已,接下来我们介绍为解决这类问题而引出的,贝叶斯公式,接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式,有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率,.,1,2,3,1红4白,?,有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个,某人从任一箱中任意摸出一球，,发现是红球，求该球是取自1号箱的概率,.,记,A,i,=球取自,i,号箱,i,=1,2,3;,B,=取得红球,求,P,(,A,1,|,B,),运用全概率公式,计算,P,(,B,),将这里得到的公式一般化，就得到,贝叶斯公式,1,2,3,1红4白,?,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件,B,已发生的条件下，寻找导致,B,发生的每个原因的概率.,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes),贝叶斯公式在实际中有很多应用.,它可以帮助人们确定某结果（事件,B,）发生的最可能原因.,贝叶斯公式在实际中有很多应用.它可以帮助人们确定某结果（事,概率与数理统计课件,概率与数理统计课件,P29-,例6,某一地区患有癌症的人占0.005，患者,对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,则 表示“抽查的人不患癌症”.,已知,P,(,C,)=0.005,P,()=0.995,P,(,A,|,C,)=0.95,P,(,A,|)=0.04,求解如下:,设,C,=抽查的人患有癌症，,A,=试验结果是阳性，,求,P,(,C,|,A,).,P29-例6 某一地区患有癌症的人占0.005，患者则,现在来分析一下结果的意义.,由,贝叶斯公式,，可得,代入数据计算得,P,(,C,A,)=0.1066,2.检出阳性是否一定患有癌症?,1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？,现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得 代入数据计算得,如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率,患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应,则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为,从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.,1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.,P,(,C,A,)=0.1066,P,(,C,)=0.005,如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率患者阳性反应的概,试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为