2019-2020年高二数学 高二数学 空间的平行直线和异面直线同步教案 新人教A版.doc

2019-2020年高二数学 高二数学 空间的平行直线和异面直线同步教案 新人教A版一、本讲进度 第九章 直线、平面、简单几何体 92 空间的平行直线和异面直线二、主要内容1、 空间两条直线的位置关系；2、 公理4及等角定理；3、 异面直线位置关系的判断，求两条异面直线所成的角。三、学习指导 1、在数学中，常常需要对研究对象进行分类讨论。分类时必须使每一对象都属于某一类，且仅属于这一类，既不重复又不遗漏。其中，“二分法”是一种重要的分类方法。所谓“二分法”就是把所研究的对象分成互不相容的两类，每个对象都属于其中一类且仅属于这一类。在运用二分法时，首先要确定一个分类标准，不同的分类标准可以得出不同的分类方法。如按“是否共面”的标准，空间直线；按“是否有公共点”的标准，空间直线。熟悉“二分法”，不仅可以深刻理解所研究的对象之间的关系，而且也是应用反证法的基础。反证法是中学数学的重要方法，同学们在高一数学中已经接触过。在立体几何证明中，它是重要的常用的方法之一。2、异面直线是相对于共面直线而言的，从集合的角度看，是共面直线构成的集合的补集，因此，异面直线的特征是既不相交也不平行。其本质属性是这两条直线不可能共面于任何一个平面。或者说，你不管怎样找，总不可能找到一个平面同时经过这两条直线，注意：画在两个平面内的直线不一定是异面直线。如下图： ab ab=P异面直线的判断方法：（1）反证法；（2）判定定理：若a，A，B，A，则AB和a是异面直线，或写成：a，b=A，Aa，则a，b是异面直线。3、为了精确地描述两条异面直线不平行的特征，引进了异面直线所成角的概念。异面直线所成角的定义是建立在等角定理基础上的，求异面直线所成角的大小，主要是利用定义法，具体的途径有：中位线法，补形法。异面直线所成角的定义体现了立体向平面转化的思想。求异面直线所成的角一般分四步：（1）作图；（2）证明；（3）计算；（4）结论。这也是立体几何计算一般都要经历的四个步骤。异面直线所成角的范围是（0，。4、根据等角定理可知，若ab，a与c所成角为，则b与c所成角为。特例：ab，acbc，形式与平面几何有类似的地方，但图形完全不同。四、典型例题例1、如图，已知a，b，c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Cc，求证BD和AC是异面直线。分析：法一：直接利用判定定理 AC平面PAC，D平面PAC，DAC，B平面PAC AC与BD是异面直线法二：用反证法假设AC与BD共面于 A、D、C三点不共线 与平面ACD重合 a P P、B、C三点不共线 与平面PBC重合 由知平面PAC与平面PBC重合 a，b，c共面，与已知矛盾 AC与BD异面说明：在法一中，选平面PAC为基本面，也可以选平面PBD为基本面，总之，要习惯把直线放在平面内。例2、空间四边形PABC，连对角线AC、PB，D、E分别是PAB和PBC的重心，求证：DEAC。分析：养成用轨迹的思想看待图形的习惯，即把点放在线上，把线放在面内。如把点D放在AB边的中线AM上，再把PM、DE放在平面PEM内，延长PE交BC于N，连MN，则N为BC中点，平面PEM即为平面PMN。 PMN中 DEMN ABC中 MNAC DEAC例3、空间四边形DABC中，P、Q为边CD上两个不同的点，M、N为AB上两个不同的点，连PM、QN，如图，问图中共有多少对异面直线？分析：为使计算异面直线条数的过程中不出现重、漏的现象，可采用逐步添加的方法。首先考虑空间四边形DABC的四条边DA、AB、BC、CD连同对角线AC、BD，这六条线段可形成三对异面直线DA与BC，AB与CD，AC与BD。其次添加线段PM，则除去与PM相交的CD、AB，又可新形成4对异面直线，即PM与DA、BC、AC、BD。因QN与PM位置等同，当添上QN时，也同样新增4对异面直线。最后注意到，PM与QN也是异面直线。 图中共有3+4+4+1=12（对）异面直线评注：对于复杂图形，通常用分解等手段转化为基本图形。同时学会从运动的角度观察图形，如本题的逐步添加法。例4、长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值。分析：显然，通过平移在长方体的表面及内部不可能构造出一个BD1和B1C所成的角，但同时又为了使构造出的角便于计算，故可考虑补上一个与已知长方体相同的长方体DCEFD1C1E1F1。具体作法是：延长A1D1，使A1D1=D1F1，延长B1C1至E1，使B1C1=C1E1，连E1F1，分别过E1、F1，作E1EC1C，F1FD1D，连EF，则长方体C1D1F1ECDFE为所作长方体。 BCD1F1 BD1CF1 B1CF1就是异面直线BD1与B1C所成的角。 BD2=a2+b2 RtBDD1中，BD12=BD2+DD12=a2+b2+c2 CF12=BD12=a2+b2+c2 B1C2=b2+c2，B1F12=a2+4b2 B1CF1中 cosB1CF1=（1） 当cb时， cosB1CF10 B1CF1为锐角，B1CF1就是异面直线BD1和B1C所成的角（2） 当cb时，cosB1CF10 B1CF1是钝角 -B1CF1就是异面直线BD1和B1C所成的角（3） 当c=b时，B1CF1=900 BD1B1C法二：作异面直线所成角的过程，其实就是平移异面直线的过程。借助于三角形中位线的平行性，也可以达到平移的目的。如图，分别取BC、BB1、B1D1的中点P、M、Q，连PM、MQ、PQ 则 MPB1C，MQBD1 PMQ（或其补角）就是异面直线BD1与B1C所成的角 PMQ中，MP=B1C= MQBD1=，PQ=利用余弦定理可以得到与解法一同样的结果注：本题解法一称为补形法，在本题上，还可以在原长方体的上方或下方补一个相同的长方体，同学们可以亲自试一试。解法二称为中位线法。在求异面直线所成角的四步骤中，第一步其实就是平移异面直线，使它们相交，第三步计算的过程主要是解三角形的问题。在写结论时应注意解法一的结论。同步练习（一） 选择题 1、异面直线a与b满足a，b，=l，则直线l与a、b的位置关系是 A、l与a、b都相交 B、l至少与a、b中的一条相交 C、l至多与a、b中的一条相交 D、l至少a、b中的一条平行2、平面与相交，a，b，则在“a、b必为异面直线，a、b必互相平行，a、b必为相交直线”这三个命题中，不正确的个数是A、0个 B、1个 C、2个 D、3个3、 异面直线指的是A、 没有公共点的两条直线 B、 分别位于两个不同平面内的两条直线C、 某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线D、 不同在任何一个平面内的两条直线 4、分别和两条异面直线都相交的两直线一定是A、不平行的直线 B、不相交的直线C、相交直线或平行直线 D、既不相交也不平行5、给出四个命题 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 四边相等的四边形是菱形 四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形其中正确命题的个数是A、1个 B、2个 C、3个 D、4个6、正方体ABCDEFGH中，面对角线FG与EG所成的角等于A、450 B、600 C、900 D、12007、OAOA，OBOB是AOB=AOB的A、充要条件 B、充分不必要条件C、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件8、正方体ABCDA1B1C1D1的表面对角线中，与AD1成600角的有A、4条 B、6条 C、8条 D、10条9、正方体ABCDA1B1C1D1中，设AB中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成角的A、300 B、450 C、600 D、90010、给出三个命题 若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线互相平行 若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行 若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行其中不正确的个数是 A、0个 B、1个 C、2个 D、3个（二）填空题 11、正方体ABCDA1B1C1D1中 （1）若E、F分别是棱A1B1、BB1的中点，则AE和CF所成角的余弦值是_。 （2）若G为CD中点，则异面直线B1C与AG所成的角的正弦值是_。 （3）若F、G分别是棱BB1、DC的中点，则AF与D1G所成的角是_。12、长方体ABCDA1B1C1D1中，BB1=BC=1，AB=，则 （1）AD1与BC所成角是_。 （2）CD1与AB所成角是_。（4） CD1与A1D所成角的正弦值是_。 13、空间四边形ABCD中，若AB=CD=2，E、F分别是AC、BD的中点，EF=，则AB与CD所成的角是_。14、空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且，若BD=6，梯形EFGH的面积是28，则平行线EH、FG间的距离是_。15、a、b是异面直线，b、c是异面直线，则直线a、c的位置关系是_。 （三）解答题16、设E、F、G、H依次是空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，设AC+BD=a，ACBD=b，求EG2+FH2的值。17、M、N分别是空间四边形ABCD中AB、CD中点，求证：MN（AD+BC）。18、S是正三角形ABC所在平面外一点，SA=SB=SC，且ASB=BSC=CSA=900，M、N分别是AB和SC中点，求异面直线SM与BN所成的角。19、长方体ABCDABCD中，AB=2，BC=BB=1，M、N分别是AD和BC中点，求异面直线MN和BC所成角的大小。20、正方体ABCDA1B1C1D1中，若E、M、N分别是棱AB、BC及B1D1的中点，求异面直线DN与MC1所成的角。参考答案（一） 选择题1、B。 反证法证明2、D。3、D。4、A。 反证法证明5、A。正确，可先证明该四边形是平行四边形6、B。 EGEG，EGF就是异面直线EG与FG所成的角，EGF为正三角形，EGF=6007、B。8、C。9、D。10、C。 不正确 （二）填空题11、（1） （2） （3）90012、（1）450 （2）300 （3）13、600 14、8。 EH=3，FG=4，由（EH+FG）h=28，h=815、平行，相交，异面 （三）解答题16、解：EHBD，GFBD EHGF EFGH是平行四边形又 EF=GH=AC EG2+FH2=2(EH2+EF2)=2(EH+EF)2-2EHEF =17、证明：取AC中点P，则MP=BC，NP=AD MNMP+NP=（BC+AD）18、解：连CM，取CM中点O，连NO、OB NOSM BNO（或其补角）就是异面直线SM与BN所成的角设AB=BC=CA=4a，则SA=SB=SC=，SM=AB=2a ON=a，BN= OM=CM= OB= ONB中，cosBNO= BNO=arccos19、MNAC，ACAC，MNAC BCA就是MN与BC所成的角 BAC中，BC=，BA=AC= cosBCA=20、连NG、EM、EN、DE EMAC，NC1AC NC1EM NEMC1 DNE为异面直线DN与MC1所成的角设AB=a，则DE=EN=GM=，DN= DNE中，cosDNE= 异面直线DN与MC1所成的角为arccos.