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2019-2020年高中数学 2.3数学归纳法教案 新人教A版选修2-2(1)第一课时 2.3 数学归纳法(一)教学要求:了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点:数学归纳法中递推思想的理解.教学过程:一、复习准备:1. 问题1: 在数列中,先算出a2,a3,a4的值,再推测通项an的公式. (过程:,由此得到:)2. 问题2:,当nN时,是否都为质数?过程:=41,=43,=47,=53,=61,=71,=83,=97,=113,=131,=151, =1 601但是=1 681=412是合数3. 问题3:多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件:(1)第一张牌被推倒;(2)骨牌的排列,保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒.二、讲授新课:1. 教学数学归纳法概念: 给出定义:归纳法:由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点:由特殊一般.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法.完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法. 讨论:问题1中,如果n=k猜想成立,那么n=k+1是否成立?对所有的正整数n是否成立? 提出数学归纳法两大步:(i)归纳奠基:证明当n取第一个值n0时命题成立;(ii)归纳递推:假设n=k(kn0, kN*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 原因:在基础和递推关系都成立时,可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1,n0+2,命题都成立. 关键:从假设n=k成立,证得n=k+1成立. 2. 教学例题: 出示例1:.分析:第1步如何写?n=k的假设如何写? 待证的目标式是什么?如何从假设出发?小结:证n=k+1时,需从假设出发,对比目标,分析等式两边同增的项,朝目标进行变形. 练习:求证:. 出示例2:设a+ (nN*),求证:a(n1).关键:a(k1)+(k+1)+n(n1) 3. 小结:书写时必须明确写出两个步骤与一个结论,注意“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”;从n=k到n=k+1时,变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.三、巩固练习: 1. 练习:教材108 练习1、2题 2. 作业:教材108 B组1、2、3题.第二课时 2.3 数学归纳法(二)教学要求:了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点:经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题.教学过程:一、复习准备:1. 练习:已知,猜想的表达式,并给出证明? 过程:试值, 猜想 用数学归纳法证明.2. 提问:数学归纳法的基本步骤?二、讲授新课:1. 教学例题: 出示例1:已知数列,猜想的表达式,并证明. 分析:如何进行猜想?(试值猜想) 学生练习用数学归纳法证明 讨论:如何直接求此题的? (裂项相消法) 小结:探索性问题的解决过程(试值猜想、归纳证明) 练习:是否存在常数a、b、c使得等式对一切自然数n都成立,试证明你的结论. 解题要点:试值n=1,2,3, 猜想a、b、c 数学归纳法证明2. 练习: 已知 ,考察;之后,归纳出对也成立的类似不等式,并证明你的结论. (89年全国理科高考题)是否存在常数a、b、c,使得等式 (答案:a=3,b=11,c=10)1对一切自然数n都成立?并证明你的结论3. 小结:探索性问题的解决模式为“一试验二归纳三猜想四证明”.三、巩固练习:1. 平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任何三个圆都不相交于同一点,求证这n个圆将平面分成f(n)=n2n+2个部分.2. 是否存在正整数m,使得f(n)=(2n+7)3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在,求出最大的m值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由. (答案:m=36)3. 试证明面值为3分和5分的邮票可支付任何的邮资. 证明:(1)当时,由可知命题成立;(2)假设时,命题成立. 则当时,由(1)及归纳假设,显然时成立.根据(1)和(2),可知命题成立.小结:新的递推形式,即(1)验证 成立;(2)假设成立,并在此基础上,推出成立. 根据(1)和(2),对一切自然数,命题都成立.2. 作业:
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