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2019-2020年高中数学 第二章 平面向量单元综合测试 新人教A版必修4一、选择题(每小题5分,共60分)1如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则()A. B.C. D.解析:利用平行四边形法则作出向量,平移即可发现.答案:C2若向量a(2,0),b(1,1),则下列结论正确的是()Aab1 B|a|b|C(ab)b Dab解析:ab2,所以A不正确;|a|2,|b|,则|a|b|,所以B不正确;ab(1,1),(ab)b(1,1)(1,1)0,所以(ab)b,所以C正确;由于210120,所以a,b不平行,所以D不正确故选C.答案:C3设P是ABC所在平面内的一点,2,则()A.0 B.0C.0 D.0解析:由2,可得P是边AC的中点,从而0.答案:B4已知O(0,0),A(2,0),B(3,1),则()()A4 B2C2 D4解析:由已知得(2,0),(3,1),(1,1),则()(1,1)(3,1)314.答案:A5在四边形ABCD中,a2b,4ab,5a3b,其中a,b不共线,则四边形ABCD为()A平行四边形 B矩形C梯形 D菱形解析:8a2b2,四边形ABCD为梯形答案:C6设x,yR,向量a(x,1),b(1,y),c(2,4),且ac,bc,则|ab|()A. B.C2D10解析:由题意可知,解得,故ab(3,1),|ab|.答案:B7已知|a|1,|b|6,a(ba)2,则向量a与b的夹角是()A. B.C. D.解析:记a与b的夹角是,则a(ba)aba26cos12,cos.又0,所以.故选C.答案:C8下列说法中,正确的个数为()(1);(2)若ab0,则a与b的夹角是钝角;(3)向量e1(2,3),e2(,)能作为平面内所有向量的一组基底;(4)若ab,则a在b上的投影为|a|.A1 B2C3 D4解析:(),(1)正确;当|a|b|1且a与b反向时,ab10,但a与b的夹角为180,因而(2)不正确;由于e14e2,所以e1e2,所以向量e1,e2不能作为基底,(3)不正确;若ab,则a与b的夹角为0或180,所以a在b上的投影为|a|cos|a|,(4)不正确答案:A9已知a(1,2),b(2,3),若向量c满足(ca)b,c(ab),则c()A(,) B(,)C(,) D(,)解析:不妨设c(m,n),则ac(1m,2n),ab(3,1),对于(ca)b,则有3(1m)2(2n),又c(ab),则有3mn0,联立解得m,n.故c(,)答案:D10在ABC中,P是边BC的中点,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若cab0,则ABC的形状为()A等边三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形但不是等边三角形解析:如图,由cab0,知c()ab(ac)(cb)0,而向量与不共线,accb0,故选A.答案:A11若a,b,c均为单位向量,且ab0,(ac)(bc)0,则|abc|的最大值为()A.1 B1C. D2解析:由向量a,b,c都是单位向量可得a21,b21,c21,由ab0及(ac)(bc)0,可得(ab)cc21,因为|abc|2a2b2c22ab2ac2bc,所以有|abc|232(acbc)1,故|abc|1.所以|abc|的最大值为1.答案:B12定义平面向量之间的一种运算“”如下:对任意的a(m,n),b(p,q),令abmqnp.下列说法错误的是()A若a与b共线,则ab0BabbaC对任意的R,有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2解析:根据题意可知若a,b共线,可得mqnp,所以abmqnp0,所以A正确;因为abmqnp,而banpmq,故二者不相等,所以B错误;对于任意的R,(a)b(ab)mqnp,所以C正确;(ab)2(ab)2m2q2n2p22mnpqm2p2n2q22mnpq(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2,所以D正确故选B.答案:B第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)13一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m,若牵绳与船前进方向的夹角为,人的拉力为50 N,则纤夫对船所做的功为_J.解析:功W6050cos1 500(J)答案:1 50014设向量a,b满足|a|2,b(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为_解析:设a(x,y),x0,y0,则x2y0且x2y220,解得x4,y2(舍去),或者x4,y2,则a(4,2)答案:(4,2)15(xx山东卷)已知向量与的夹角为120,且|3,|2.若,且,则实数的值为_解析:,由于,所以0,即()()(1)94(1)32()0,解得.答案:16(xx江苏卷)如图(1),在矩形ABCD中,AB,BC2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若,则的值是_ 解析:以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图(2),则B(,0),E(,1)设F(x,2)(0x),由可得x,则x1,所以F(1,2),(,1)(1,2).答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)在边长为1的等边三角形ABC中,设2,3.(1)用向量,作为基底表示向量;(2)求.解:(1).(2)()()|cos150|cos301()1.18(12分)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a(1,2)(1)若|b|2,且ab,求b的坐标(2)若|c|,且2ac与4a3c垂直,求a与c的夹角解:(1)设b(x,y),由|b|2,ab得得或所以b(2,4)或b(2,4)(2)由已知(2ac)(4a3c),(2ac)(4a3c)8a23c22ac0,又|a|,|c|,解得ac5,所以cosa,c,a,c0,所以a与c的夹角为.19(12分)如图,平行四边形ABCD中,a,b,H,M是AD,DC的中点,F使BFBC.(1)以a,b为基底表示向量与;(2)若|a|3,|b|4,a与b的夹角为120,求.解:(1)连接AF,由已知得ab.ab,b(ab)ab.(2)由已知得ab|a|b|cos12034()6,从而(ab)(ab)|a|2ab|b|232(6)42.20(12分)设a,b是两个不共线的非零向量(1)若a与b起点相同,t为何值时,a、tb、(ab)三个向量的终点在一条直线上?(2)若|a|b|,且a与b的夹角为60,那么t为何值时,|atb|的值最小?解:(1)设atbma(ab),mR,化简得(m1)a(t)b.因为a与b不共线,故,即t时,a、tb、(ab)三个向量的终点在一条直线上(2)|atb|2(atb)2|a|2t2|b|22t|a|b|cos60(1t2t)|a|2,故当t时,|atb|有最小值|a|.21(12分)已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,2e1e2,e1e2,2e1e2,且A,E,C三点共线(1)求实数的值;(2)若e1(2,1),e2(2,2),求的坐标;(3)已知点D(3,5),在(2)的条件下,若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标解:(1)(2e1e2)(e1e2)e1(1)e2.A,E,C三点共线,存在实数k,使得k,即e1(1)e2k(2e1e2),得(12k)e1(k1)e2.e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,解得k,.(2)3e1e2(6,3)(1,1)(7,2)(3)A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,.设A(x,y),则(3x,5y),(7,2),解得,即点A的坐标为(10,7)22(12分)已知在等边ABC中,点P为线段AB上一点,且(01)(1)若等边三角形边长为6,且,求|;(2)若,求实数的取值范围解:(1)当时,()22,62262cos1202228,所以|2.(2)设等边三角形的边长为a,则()()a2a2,()()a22a2,所以a2a2a22a2,即220,解得.又01,1
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