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2019-2020年高中数学 第十二课时 1.9最小二乘法教案 北师大版必修3一、教学目标:经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。二、教学重难点:重点:了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程。 教学内容的难点:对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解教学实施过程中的难点:根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。三、教学方法:动手操作,合作交流。四、教学过程: (一)、利用最小二乘法推导回归系数公式。 回顾上节课:师:我们现在来求距离和。怎么求? 生:利用点到直线的距离公式师生共同:只要求出使距离和最小的、b即可。但是,我们知道点到直线的距离公式计算复杂。怎么办呢?以样本数据点A为例, 可以看出:在ABC中,(教师动画演示)按照一对一的关系,直角边AC越小,斜边AB越小, 当AC无限小时,AB跟AC可近似看作相等。求麻烦,不妨求生: 师:它表示自变量x取值一定时,纵坐标的偏差。假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据:。当自变量取(=1,2,n)时,可以得到(=1,2,n),它与实际收集到的之间的偏差是(=1,2,n)这样用n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。总的偏差为,偏差有正有负,易抵消,所以采用绝对值,由于带绝对值计算不方便所以换成平方,现在的问题就归结为:当,b取什么值时Q最小。将上式展开、再合并,就可以得到可以求出Q取最小值时 (其中,)推导过程用到偏差的平方,由于平方又叫二乘方,所以这种使“偏差的和”最小的方法叫“最小二乘法”。设计意图:培养学生的动手操作能力,最小二乘法的思想是本节课的教学难点,先让学生动手操作画回归直线,教师动画演示,进一步演绎推理来分解难点、突破难点(二)、直线回归方程的应用(1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系(2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量x)代入回归方程对预报量(即因变量Y)进行估计,即可得到个体Y值的容许区间。(3)利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化,通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。应用直线回归的注意事项:(1)做回归分析要有实际意义;(2)回归分析前,最好先作出散点图;(3)回归直线不要外延。(四)、实例分析:某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出()与公司所获得利润()的统计资料如下表:科研费用支出()与利润()统计表 单位:万元年份科研费用支出利润xxxxxxxxxxxx5114532314030342520合计30180要求估计利润()对科研费用支出()的线性回归模型。解:设线性回归模型直线方程为:因为: 根据资料列表计算如下表:年份xxxxxxxxxxxx511453231403034252015544012017075402512116259406-10-2-311004-5-100361049060001030合计3018010002000050100现利用公式()、()、()求解参数的估计值: 所以:利润()对科研费用支出()的线性回归模型直线方程为:求直线回归方程,相关系数和作图,这些EXCEL可以方便地做到。仍以上题的数据为例。于 EXCEL表 中的空白区,选用插入菜单命令中的图表,选中 XY散 点图类型,在弹出的图表向导中按向导的要求一步一步地 操作,如有错误可以返回去重来或在以后修改。适当修饰 图的大小、纵横比例、字体大小、和图符的大小等,使图 美观,最后得到图1,图中有直线称为趋势线,还有直线方程和相关系数。图中的每一个部份如坐标、标题、图例 等都可以分别修饰,这里主要介绍趋势线和直线方程。 图1散点图 鼠标右键点击图中的数据点,出现一个对话框,选 添加趋势线 ,图中自动画上一条直线,再以鼠标右击此线,出现趋势线格式对话框,选择线条的粗细和颜色,在选项中选取显示公式和显示R 平方值,确定后即在图中显示回归方程和相关系数。(五)、课堂练习:第83页,练习A,练习B(六)、小结:经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。(七)、课后作业:第84页,习题2-3A第1、2题,五、教后反思:
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