资源描述
,第七章 立体几何,第七节 立体几何中的向量方法,考情展望 1.考查利用空间向量判断、证明空间中的线、面位置关系.2.考查利用向量求空间角的大小.3.以解答题为主要考查形式,固本源 练基础 理清教材,(1)平行 (2)垂直,基础梳理,2空间位置关系的向量表示 n1kn2 n1n20 nm0 nkm nkm nm0,3空间角的向量求法 (1)异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量.,(2)直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin |cos |_.直线与平面所成角的范围为0，90,(3)二面角的求法 如图，AB，CD是二面角l的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_.,如图，图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足cos _或_,基础训练,答案：1.(1) (2) (3) (4),4长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为_,5(2015上海普陀区一模)正四棱锥SABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_,答案：30,精研析 巧运用 全面攻克,调研1 如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，BC90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30的角 (1)求证：CM平面PAD； (2)求证：平面PAB平面PAD,考点一 利用空间向量证明平行、垂直 师生共研型,1恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键 2证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算 3证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为证明直线与直线垂直,名师归纳类题练熟,如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证： (1)DE平面ABC； (2)B1F平面AEF.,好题研习,考点二 利用空间向量求线线角和线面角 师生共研型,解析 (1)证明：由该四面体的三视图，可知 BDDC，BDAD，ADDC， BDDC2，AD1. 由题设，BC平面EFGH， 平面EFGH平面BDCFG， 平面EFGH平面ABCEH， BCFG，BCEH，FGEH. 同理EFAD，HGAD，EFHG， 四边形EFGH是平行四边形 又ADDC，ADBD，AD平面BDC ADBC，EFFG， 四边形EFGH是矩形,名师归纳类题练熟,(2015临沂一模)在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为菱形，AA14，AC3，BCB1C5，ABB160，D为AB的中点 (1)求证：B1DB1C1； (2)求直线AA1与平面CB1D所成角的正弦值,好题研习,解：(1)证明：四边形AA1B1B为菱形，ABAA14. 又AC3，BCB1C5，BC2AB2AC2， BAC90，即ACAB 连接AB1，ABB160，AB1AB4. 在AB1C中，由B1C2ABAC2， 得CAB190，ACAB1. ABAB1A，AC平面AA1B1B 又B1D平面AA1B1B，ACB1D 又D为AB的中点，B1DAB ABACA，B1D平面ABC BC平面ABC，B1DBC， 又B1C1BC，B1DB1C1.,考情二面角是高考的重点，也是考查热点，二面角可以将面面位置关系、线面位置关系、线线位置关系很好地融合在一起考查，且命题形式多样化无论是选择题、填空题还是解答题都有关于这个考点常见的命题形式,考点三 利用空间向量求二面角高频考点型,因为AOBD，所以NHBD 因为MNNP，所以BDNP. 因为NH，NP平面NHP，且NHNPN， 所以BD平面NHP. 又因为HP平面NHP，所以BDHP. 又OCBD，HP平面BCD，OC平面BCD， 所以HPOC 因为H为BO中点，故P为BC中点,提醒：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个平面所在的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角,热点破解通关预练,好题研习,考情探索存在性问题在立体几何综合考查中是常考的命题角度，也是考生感觉较难，失分较多的问题，归纳起来立体几何中常见的探索性问题有： (1)探索性问题与空间角相结合； (2)探索性问题与平行或垂直相结合； (3)探索性问题与空间距离相结合,考点四 利用空间向量解决探索性问题 多维探究型,解析 (1) 证明：因为AA1C1C为正方形， 所以AA1AC 因为平面ABC平面AA1C1C, 且AA1垂直于这两个平面的交线AC, 所以AA1平面ABC (2)解：由(1) 知AA1AC, AA1AB由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC 如图， 以A为原点建立空间直角坐标系Axyz, 则B(0,3,0), A1(0,0,4), B1(0,3,4), C1(4,0,4),视点三：探索性问题与空间距离相结合 3(2015淄博模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，ABC60，AB2CB2.在梯形ACEF中，EFAC，且AC2EF，EC平面ABCD (1)求证：BCAF； (2)若二面角DAFC的大小为45，求CE的长,解析 (1)证明：在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcos 603， 所以AB2AC2BC2， 由勾股定理的逆定理，知ACB90，所以BCAC 又因为EC平面ABCD，BC平面ABCD，所以BCEC 又因为ACECC，所以BC平面ACEF， 又AF平面ACEF， 所以BCAF.,学方法 提能力 启智培优,规范答题 向量法求空间角,审题视角 (1)转化为证明C1MAD1. (2)解法一是通过建立空间直角坐标系，用向量法求解 解法二是作出二面角的平面角，通过解三角形求解 满分展示 (1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形， 且AB2CD， 所以ABDC，又由M是AB的中点， 因此CDMA且CDMA(2分),连接AD1，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因为CDC1D1，CDC1D1，可得C1D1MA，C1D1MA，,所以四边形AMC1D1为平行四边形，因此C1MD1A 又C1M平面A1ADD1，D1A平面A1ADD1， 所以C1M平面A1ADD1.(4分),解法二：由(1)，知平面D1C1M平面ABCDAB，过C向AB引垂线交AB于N，连接D1N.(6分),答题模板 利用向量求空间角的步骤： 第一步：建立空间直角坐标系 第二步：确定点的坐标 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标 第四步：计算向量的夹角(或函数值) 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角 第六步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范,温馨提醒 (1)利用向量求角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用 (2)本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴，导致建系不规范 (3)将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化，否则易错,名师指导,
展开阅读全文