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第 9 讲,用样本估计总体,1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点 2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差 3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释 4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想 5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,1用样本估计总体,通常我们对总体作出的估计一般分成两种，一种是用样本 的频率分布估计总体的分布，另一种是用样本的数字特征估计 总体的数字特征,2统计图,(1)频率分布直方图,求极差：极差是一组数据的最大值与最小值的差,决定组距和组数：当样本容量不超过 100 时，常分成 5,12 组组距 .,极差 组数,将数据分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间， 最后一组取闭区间也可以将样本数据多取一位小数分组 列频率分布表：登记频数，计算频率，列出频率分布表 将样本数据分成若干个小组，每个小组内的样本个数称作 频数，频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率频率反映 各个数据在每组所占比例的大小,绘制频率分布直方图：把横轴分成若干段，每一段对应 一个组距，然后以线段为底作一小长方形，它的高等于该组的,频率 组距,，这样得到一系列的长方形，每个长方形的面积恰好是该,组上的频率这些矩形就构成了频率分布直方图，各个长方形,的面积总和等于_,1,(2)频率分布折线图和总体密度曲线 频率分布折线图：连接频率分布直方图中各长方形上端 的中点，就得频率分布折线图,总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组 数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于 一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线,(3)茎叶图,当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不 但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表 示都带来方便,3用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数,众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数,据的众数,中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间 位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的,中位数,平均数,标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准 差的平方通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总 体容量时，样本方差接近总体方差,1在广雅中学“十佳学生”评选的演讲比赛中，如图 9-9-1 是七位评委为某学生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和,),C,一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分别为( 图 9-9-1 A85,85 B84,86， C84,85 D85,86,2(2012 年广东惠州第一次调研)从某小学随机抽取 100 名 同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如,),图 9-9-2).由图中数据可知身高在120,130内的学生人数为( 图 9-9-2,A20,B25,C30,D35,C,3甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人 的平均成绩和方差如下表所示： 从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人,选是(,),C,A甲 C丙,B乙 D丁,方差s2,4(2013 年四川成都二模)在某大型企业的招聘会上，前来 应聘的本科生、硕士研究生和博士研究生共 2000 人，各类毕业 生人数统计图如图 9-9-3，则博士研究生的人数为_,图 9-9-3,240,考点 1,频率分布直方图的绘制及其应用,例 1：(2013 年四川)某学校随机抽取 20 个班，调查各班中 有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图 9-9-4.以组距 为 5 将数据分组成0,5)，5,10)，30,35)，35,40时，所作,的频率分布直方图是(,),图 9-9-4,A C,B D,解析：根据题意，列频率分布表得：,故选 A.,【规律方法】用频率分布直方图解决相关问题时，应正确 理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关,键频率分布直方图有以下几个要点：纵轴表示,频率 组距,；频,率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比；直方图 中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有 的小矩形的面积之和等于 1，即频率之和为 1.,答案：A,【互动探究】,1 (2014 年江苏 ) 某种树木的底部周长 的 取 值 范 围 是 80,130，它的频率分布直方图如图 9-9-5，则在抽测的 60 株树 木中，有_株树木的底部周长小于 100 cm.,图 9-9-5,解析：由题意知，在抽测的 60 株树木中，底部周长小于,100 cm 的株数为(0.0150.025)106024(株),答案：24,考点 2,茎叶图的应用,例 2：(2014 年新课标)某市为了考核甲、乙两部门的工 作情况,随机访问了 50 位市民，根据这 50 位市民对这两部门的 评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图(如图 9-9-6) 图 9-9-6,(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 分 的概率； (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价,解：(1)由所给茎叶图知，50 位市民对甲部门的评分由小到 大排序，排在第 25,26 位的是 75,75，故样本中位数为 75，所以 该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75. 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第 25,26 位,0.1， 0.16.,(2)由所给茎叶图知，50 位市民对甲、乙部门的评分高于,90 分的比率分别为,5 50,8 50,故该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 分的概率的估计 值分别为 0.1,0.16. (3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对 乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门 的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市 民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、 评价差别较大(注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理 的同样给分),【互动探究】,2(2013 年重庆)茎叶图(如图 9-9-7)记录了甲、乙两组各 5,名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).,图 9-9-7,已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，,则 x，y 的值分别为(,),C,A2,5,B5,5,C5,8,D8,8,解析：甲组数据按照从小到大的顺序排，最中间那个数为 15，则 x5，乙组平均数为16.8，则乙组数据的总和为16.85 84，则 y849151824108.,考点 3 用样本的数字特征估计总体的数字特征,例 3：(2014 年广东)某车间 20 名工人年龄数据如下表：,(1)求这 20 名工人年龄的众数与极差；,(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名工人年龄的,茎叶图；,(3)求这 20 名工人年龄的方差,解：(1)这 20 名工人年龄的众数为30，极差为401921. (2)茎叶图(如图 9-9-8)如下：,图 9-9-8,【规律方法】(1)众数体现了样本数据的最大集中点，但无,法客观的反映总体特征.,(2)中位数是样本数据所占频率的等分线.,(3)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小. 标准差、方差越大，数据越分散；标准差、方差越小，数据越 集中.,( ),答案：D,难点突破,统计图与概率的结合,在高考中常以频率分布直方图或茎叶图的形式出现，考查,统计与概率的知识，这也是近几年高考的热点,例题：(2014 年重庆)20 名学生某次数学考试成绩(单位：分),的频数分布直方图(如图 9-9-9)如下：,(1)求频率分布直方图中 a 的值；,(2)分别求出成绩落在50,60)与60,70)中的学生人数； (3)从成绩在50,70)的学生中任选 2 人，求此 2 人的成绩都,在60,70)中的概率,解：(1)频率分布直方图的组距为 10，,(2a3a6a7a2a)101，a,1 200,0.005.,图 9-9-9,
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