2019-2020年高中数学 4.1《数学归纳法》教案 新人教版选修4-5.doc

2019-2020年高中数学 4.1数学归纳法教案 新人教版选修4-5教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学难点：数学归纳法中递推思想的理解.教学过程：一、复习准备：1. 分析：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒. 回顾：数学归纳法两大步：（i）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立；（ii）归纳递推：假设n=k（kn0， kN*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 2. 练习：已知，猜想的表达式，并给出证明？ 过程：试值， 猜想 用数学归纳法证明.3. 练习：是否存在常数a、b、c使得等式对一切自然数n都成立，试证明你的结论.二、讲授新课：1. 教学数学归纳法的应用： 出示例1：求证分析：第1步如何写？n=k的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？关键：在假设n=k的式子上，如何同补？小结：证n=k+1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形. 出示例2：求证：n为奇数时，xn+yn能被x+y整除.分析要点：（凑配）xk+2+yk+2=x2xk+y2yk=x2(xk+yk)+y2ykx2yk=x2(xk+yk)+yk(y2x2)=x2(xk+yk)+yk(y+x)(yx). 出示例3：平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)=n2n+2个部分.分析要点：n=k+1时，在k+1个圆中任取一个圆C，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆C与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆C分成2k段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了2k个平面部分.因此，f(k+1)=f(k)+2k=k2k+2+2k=(k+1)2(k+1)+2.2. 练习： 求证: （nN*）. 用数学归纳法证明： （）能被264整除； （）能被整除（其中n，a为正整数） 是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）3n+9对任意正整数n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.3. 小结：两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n=k到n=k+1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.三、巩固练习： 1. 练习：教材50 1、2、5题 2. 作业：教材50 3、4、6题.第二课时 4.2 数学归纳法教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点：理解经典不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1. 求证：.2. 求证：.二、讲授新课：1. 教学例题： 出示例1：比较与的大小，试证明你的结论. 分析：试值 猜想结论 用数学归纳法证明 要点：. 小结：试值猜想证明 练习：已知数列的各项为正数，Sn为前n项和，且，归纳出an的公式并证明你的结论. 解题要点：试值n=1,2,3,4， 猜想an 数学归纳法证明 出示例2：证明不等式. 要点： 出示例3：证明贝努利不等式. 2. 练习：试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n1,nN*且a、b、c互不相等时，均有an+cn2bn.解答要点：当a、b、c为等比数列时，设a=, c=bq (q0且q1). an+cn=.当a、b、c为等差数列时，有2b=a+c，则需证()n (n2且nN*). 当n=k+1时，(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)(ak+1+ck+1+akc+cka)=(ak+ck)(a+c)()k()=()k+1 .3. 小结：应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式；技巧：凑配、放缩.三、巩固练习：1. 用数学归纳法证明： .2. 已知.3. 作业：教材P54 3、5、8题.来源：