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第六节 空间向量及其运算,最新考纲展示 1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直,一、空间向量的有关概念 1空间向量：在空间中，具有_和_的量叫作空间向量，其大小叫作向量的_或_ 2相等向量：方向_且模_的向量 3共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_或_，则这些向量叫作_或_，a平行于b记作 ab. 4共面向量：平行于同一_的向量叫作共面向量,大小,方向,长度,模,相同,相等,平行,重合,共线向量,平行向量,平面,二、空间向量中的有关定理 1共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存在R，使a_. 2共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使p_.,b,xayb,三、两个向量的数量积 1非零向量a，b的数量积 ab|a|b|cosa，b 2空间向量数量积的运算律 (1)结合律：(a)b(ab) (2)交换律：abba. (3)分配律：a(bc)abac.,四、空间向量的坐标表示及其应用 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).,五、用空间向量解决几何问题的一般步骤： 1适当的选取基底a，b，c 2用a，b，c表示相关向量 3通过运算完成证明或计算问题,要理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式利用空间向量的坐标运算可将立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如： (1)判断线线平行或者点共线，可以转化为证ab(b0)ab. (2)证明线线垂直，转化为证abab0，若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则转化为计算x1x2y1y2z1z20. (3)在立体几何中求线段的长度问题时，转化为aa|a|2，或利用空间两点间的距离公式,一、空间向量的有关概念 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面( ) (2)对任意两个空间向量a，b，若ab0，则ab.( ) (3)若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量( ) (4)若ab0，则a，b是钝角( ) 答案：(1) (2) (3) (4),答案：D,答案：A,4在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是_ 解析：设M(0，y,0)，由|MA|MB|得(10)2(0y)2(20)2(10)2(3y)2(10)2，解得y1.M(0，1,0) 答案：(0，1,0),空间向量的线性运算(师生共研),例2 如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为PAB，PBC，PCD，PDA的重心,共线向量定理、共面向量定理的应用(师生共研),(1)试用向量方法证明E，F，G，H四点共面； (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断,例3 如图，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求BD的长,空间向量的数量积及其应用(师生共研),答案：0,
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