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第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布,第7节 二项分布与正态分布,1了解条件概率和两个事件相互独立的概念 2理解n次独立重复试验的模型及二项分布 3借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 4能解决一些简单的实际问题,要点梳理 1条件概率及其性质,事件A,事件B,P(B|A)P(C|A),P(A)P(B),质疑探究1：“相互独立”和“事件互斥”有何不同？ 提示：(1)两事件互斥是指在一次试验中两事件不能同时发生；而相互独立是一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 (2)若A、B独立，则P(AB)P(A)P(B)；若A、B互斥，则P(AB)P(A)P(B),3独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验 一般地，在_条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,相同,(2)二项分布 一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，设在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(Xk)pk(1p)nk(k0,1,2，n) 此时称随机变量X服从二项分布，记作_，并称_为成功概率,XB(n，p),p,质疑探究2：独立重复试验的条件是什么？ 提示：(1)每次试验都是在同样的条件下进行的；(2)各次试验中的条件是相互独立的；(3)每次试验都只有两种结果；(4)在任何一次试验中，事件发生的概率均相等,4两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布，则E(X)_，D(X)_ (2)若XB(n，p)，则E(X)_，D(X)_,p(1p),np,p,np(1p),当一定时，曲线的形状由确定，_，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； _，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图(2)所示,越小,越大,(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P( X )0.6826； P(2 X2)0.9544； P(3 X3)0.9974.,3已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，P(X4)0.84，则P(X0)( ) A0.16 B0.32 C0.68 D0.84 解析 P(X4)0.84，2， P(X0)P(X4)10.840.16. 答案 A,4(2015呼和浩特模拟)抛掷一枚质地均匀的骰子，所得点数的样本空间为S1,2,3,4,5,6，令事件A2,3,5，事件B1,2,4,5,6，则P(A|B)的值为_,5(2015惠州调研)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则DX_.,典例透析,活学活用1 把第(1)题中的事件B：“取到的2个数均为偶数”改为“事件B：取到的2个数均为奇数”，则P(B|A)_.,拓展提高 (1)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算，即正难则反的思想方法； (2)已知两个事件A、B相互独立，它们的概率分别为P(A)、P(B)，则有,(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？ (2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率 解 记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C.由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件 (1)由已知得P(AB)P(A)P(B)0.05， P(AC)P(A)P(C)0.1， P(BC)P(B)P(C)0.125.,考向三 独立重复试验与二项分布 例3 (2014高考辽宁卷)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示,将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立 (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X) 解 (1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，,分布列为,因为XB(3,0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.,拓展提高 二项分布满足的条件： (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的 (2)各次试验中的事件是相互独立的 (3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生 (4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数,(1)求一个试验组为甲类组的概率； (2)观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数求的分布列和数学期望,考向四 正态分布 例4 已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)等于( ) A0.6 B0.4 C0.3 D0.2 思路点拨 正态曲线的对称轴是x2，再根据正态分布的性质及P(4)0.8，数形结合求解,解析 法一 P(4)0.8， P(4)0.2. 由题意知图像的对称轴为直线x2，P(0) P(4)0.2， P(04)1P(0)P(4)0.6.,答案 C,拓展提高 服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上正态曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，因此常利用图形的对称性求概率 活学活用4 已知随机变量服从正态分布N(1，2)，且P(2)0.8，则P(01)等于( ) A0.2 B0.3 C0.4 D0.6,解析 N(1，2)，P(1)P(1)0.5. 又P(2)0.8，P(12)0.80.50.3， 由正态曲线的对称性可知 P(01)P(12)0.3. 故选B. 答案 B,规范答题10 分布列与概率的综合问题 典例 (12分)(2015洛阳市统考)随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建成公共自行车租赁系统某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟至120分钟(含120分钟)收取1元租车服务费，120分钟至180分钟(含180分钟)收取2元租车服务费，180分钟以上的时间按每小时3元计费(不足1小时的按1小时计)，,满分展示,X的分布列为,【答题模板】 第1步：用独立事件分别计算两人都付0元，1元，3元，6元的概率 第2步：用互斥事件求概率之和 第3步：求甲每天所付车费不超过2元的概率 第4步：由重应重复试验分别计算四天中分别有0,1,2,3,4天的概率 第5步：写分布列，计算期望值,思维升华 【方法与技巧】,4若B(n，p)，则Enp，Dnp(1p) 5关于正态总体在某个区域内取值的概率求法 (1)熟记P(X)，P(2X2)， P(3X3)的值 (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. 正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等,P(Xa)1P(Xa)，P(xa)P(Xa) (3)3原则：在实际应用中，通常认为服从正态分布N(，2)的随机变量只取(3，3之间的值，取该区间外的值的概率很小，通常认为一次试验几乎不可能发生,【失误与防范】,1运用公式P(AB)P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立 2独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件 3在实际问题中进行概率、百分比计算时，关键是把正态分布的两个重要参数，求出，然后确定三个区间(范围)：(，)，(2，2)，(3，3)与已知概率值进行联系求解,
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