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第二节 平面向量的基本定理与坐标表示,1.平面向量的基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线 向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2使a=1e1+2e2,其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个相互垂直的向量,叫做把向量正交分解. (2)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与 x轴,y轴 方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj,有序数对 (x,y) 叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,显然,i= (1,0) ,j= (0,1) ,0= (0,0) .,2.(2016安徽太和中学联考)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),则(a+2b)a= ( ) A.5 B.-2 C.0 D.6 2.A 【解析】因为a+2b=(4,-3),所以(a+2b)a=5.,4.(2015江苏高考)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,nR),则m-n的值为 .,平面向量的基本定理解题的思维模式 (1)选择一组基底(一般以题中给出的考查更好),将条件与结论表示成这组基底的线性组合,再进行向量的运算; (2)充分利用中点向量公式进行向量运算; (3)充分利用特殊位置法进行求解.,利用向量的坐标解题基于以下两点 (1)根据相等向量的向量坐标相等这一原则,通过列方程(组)进行求解; (2)几何图形(特别是含有直角的情况)中的运算可通过建系利用向量坐标转化为代数问题求解,这既简化了思维过程又使计算量得到减少,是复习中应强化的解题思想.,考点3 平面向量平行的坐标运算 典例3 (2015龙岩模拟)已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与a-b平行,则x= . 【解题思路】分别表示出向量a+b与a-b的坐标,由向量平行的充要条件建立关于x的方程求解x.由题意得a+b=(3,x+1),a-b=(-1,1-x),因为a+b与a-b平行,所以3(1-x)-(x+1)(-1)=0,解得x=2. 【参考答案】 2 平面向量平行的坐标运算两步曲 (1)把题中的向量坐标化(如果是几何图形应建系,利用条件把点的坐标求出); (2)利用平行(共线)的坐标公式转化为方程(组)进行求解.,【变式训练】 (2015重庆南开中学模拟)已知向量a=(1,-2),b=(2,x),且(a+b)a,则a与b的夹角为 ( ) A.0 B.45 C.90 D.180 A 【解析】由a=(1,-2),b=(2,x)得a+b=(3,x-2),又由(a+b)a得-6-x+2=0x=-4,即b=(2,-4),所以ab.,构建坐标系解决平面向量问题 向量融“数”、“形”于一体,具有几何、代数的“双重身份”,我们在研究向量问题时,巧妙构造平面直角坐标系,可以将复杂问题简单化,抽象问题直观化.,
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