高考数学 3.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式课件.ppt

第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)同角三角函数的基本关系: 平方关系:_. 商数关系:_.,sin2+cos2=1,(2)三角函数的诱导公式:,-sin,-sin,sin,cos,cos,-cos,cos,-cos,sin,-sin,tan,-tan,-tan,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)sin2=1-cos2,cos2=_.,1-sin2,(2)特殊角的三角函数值,0,1,0,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:统一法,整体代换法. (2)数学思想:转化与化归的思想. (3)记忆口诀:三角函数诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”.,【小题快练】 1.思考辨析静心思考判一判 (1)120角的正弦值是 ，余弦值是 ( ) (2)同角三角函数关系式中的角是任意角.( ) (3)六组诱导公式中的角可以是任意角.( ) (4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与的大小无关.( ),【解析】(1)错误.sin 120=sin(180-60)=sin 60= cos 120=cos(180-60)=-cos 60= (2)错误.在tan = 中 +k，kZ. (3)错误.对于正、余弦的诱导公式角可以为任意角，而对于正切的诱导公式 k，kZ. (4)正确.诱导公式的“符号看象限”中的符号是把任意角都看成锐角时原函数值的符号，因而与的大小无关. 答案：(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修4P21T5改编)已知f(x)= 则f(- )的值为( ) A.0 B.1 C.-5 D.-9 【解析】选C.f(- )=sin 0+2sin(- )-4cos(- )+3cos(-)= 0+2(-1)-40+3(-1)=-5.,(2)(必修4P22T3改编)已知tan =-2,则 =_. 【解析】原式= 答案:-2,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2015泰安模拟)sin 600的值为( ) 【解析】选B.sin 600=sin(360+240)=sin 240=sin(180+ 60)=-sin 60=,(2)(2015梅州模拟)已知为锐角，且tan(-)+3=0,则sin 的值是( ) 【解析】选B.方法一：由tan(-)+3=0得tan =3，即 sin =3cos ,所以sin2=9(1-sin2),10sin2=9,sin2= 又因为为锐角，所以sin =,方法二：因为为锐角，且tan(-)+3=0,所以-tan +3=0即 tan =3.在如图直角三角形中，令A=，BC=3则AC=1，故 所以,考点1 诱导公式的应用 【典例1】(1)(2015兰州模拟)计算：2sin( )+cos 12+ tan =_. (2)已知cos( -)= ，则sin(- )=_. (3)(2015淮南模拟)已知f(x)= 则f( )=_.,【解题提示】(1)利用诱导公式化大角为小角，再求值. (2)注意角 -与- 的关系，用诱导公式转化求值. (3)利用诱导公式先化简，再求值.,【规范解答】(1)原式= 答案：1,(2)因为 所以 答案：,(3)因为f(x)= 所以 答案：-1,【互动探究】在本例题(2)的条件下，求 的值. 【解析】,【规律方法】 1.诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2.含2整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2的整数倍的三角函数式中可直接将2的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5-)= cos(-)=-cos .,【变式训练】(2015济宁模拟)计算： 【解析】原式 答案：-1,【加固训练】1.(2015南昌模拟)已知sin(x+ )= ，则cos(x+ ) 的值为( ) 【解析】选B.因为 所以,2.已知A= (kZ)，则A的值构成的集合是( ) A.1，-1,2，-2 B.-1,1 C.2，-2 D.1，-1,0,2，-2 【解析】选C. 当k为偶数时，A= k为奇数时，,3.(2014扬州模拟)已知点(tan ,sin(- )是角终边上一点，则cos( +)=_. 【解析】将(tan ,sin(- )化简得：(1，- )，在第四象限， 所以sin = 则 答案：,考点2 同角三角函数关系式的应用 【典例2】(1)(2015青岛模拟)已知是第四象限角，sin = 则tan =( ) (2)化简：(1+tan2 )(1-sin2 )=_. (3)(2015银川模拟) 若tan = ，则 =_，sin22sin cos =_.,【解题提示】(1)先求cos ，再求tan ，注意角的范围. (2)切化弦,注意应用公式的变形. (3)第一个式子的分子分母都是关于sin ，cos 的一次式，第二个式子的分母看成1，然后转化为sin2 +cos2 ，此时分子分母都是关于sin ，cos 的二次式，利用商数关系转化成关于tan 的表达式求解.,【规范解答】(1)选C.因为是第四象限角，sin = 所以cos = 故tan = (2)原式= 答案：1,(3) 答案：,【一题多解】解答本例题(3)，你还知道几种解法？ 解答本题，还有以下两种解法： 方法一：因为tan = 所以sin = 所以,方法二：因为tan = 所以sin = cos ， 又因为sin2 +cos2 =1， 所以 由tan = 0,知是二、四象限角. 当是第二象限角时， 此时 当是第四象限角时，,此时 答案：,【规律方法】同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用sin2 +cos2 =1可实现 的正弦、余弦的互化，利用 =tan 可以实现角 的弦切互化. (2)关系式的逆用及变形用：1=sin2 +cos2 ，sin2 =1-cos2 ， cos2 =1-sin2 . (3)sin ，cos 的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin ， cos 的齐次式，或含有sin2，cos2及sin cos 的式子求值时， 可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2cos2=1”代换后转化 为“切”后求解.,【变式训练】1.(2015长沙模拟)化简： =_. 【解析】原式= 答案： sin 2x,2.已知 则sin xcos x+cos2x=_. 【解析】由已知,得 解得tan x=2， 所以 答案：,【加固训练】1.(2015海口模拟) 记cos(-80)=k，那么tan 100 等于( ) 【解析】选B.因为cos(-80)=cos 80=k， 所以sin 80= 所以tan 100=-tan 80=,2.化简:cos4-sin4+1= . 【解析】原式=(cos2-sin2)(cos2+sin2)+1 =cos2-sin2+1 =2cos2. 答案:2cos2,考点3 诱导公式、同角三角函数关系式的综合应用 知考情 利用诱导公式、同角三角函数关系式化简求值是高考的重点,常与三角恒等变换结合,达到化简的目的,在高考中常以选择题、解答题的形式出现.,明角度 命题角度1：利用诱导公式求值 【典例3】(2014安徽高考)设函数f(x)(xR)满足f(x+)= f(x)+sin x，当0x时，f(x)=0,则f( )=( ) 【解题提示】由函数f(x)满足的关系式，逐步降角，直到把 转化到区间0，)上，再利用当0x时，f(x)=0求值.,【规范解答】选A.由f(x+)=f(x)+sin x,得 f(x+2)=f(x+)+sin(x+) =f(x)+sin x-sin x=f(x), 所以f( )=f( ) =f( )=f( ) =f( )+sin . 因为当0x时,f(x)=0. 所以,命题角度2：综合利用诱导公式和同角三角函数关系式求值 【典例4】(2015衡水模拟)已知 且- ，则cos( -)等于( ) 【解题提示】明确 +与 -的关系是解题的关键，求值时要注意角的范围.,【规范解答】选D.因为 所以cos( -)= sin =sin( +).因为-0，所以 所以,悟技法 1.诱导公式用法的一般思路 (1)化大角为小角. (2)角中含有加减 的整数倍时，用公式去掉 的整数倍. 2.常见的互余和互补的角 (1)常见的互余的角： -与 +; +与 -; +与 -等. (2)常见的互补的角： +与 -; +与 -等.,3.三角函数式化简的方向 (1)切化弦，统一名. (2)用诱导公式，统一角. (3)用因式分解将式子变形，化为最简.,通一类 1.(2015合肥模拟)设f(x)=cos(-x)+2cos 2x+3cos 4x+4cos 5x，则f( )=( ) 【解析】选D.f( )= = =,2.(2015汕头模拟)已知sin(3-)=-2sin( +)，则 sin cos 等于( ) 【解析】选A.因为sin(3-)=sin(-)=-2sin( +)， 所以sin =-2cos ，所以tan =-2， 所以,3.(2015福州模拟)计算： =_. 【解析】原式= = = 答案：-1,巧思妙解5 巧用平方关系求值 【典例】(2015西安模拟)已知sin +cos = ，(0，)，则tan =_. 【常规解法】 由 消去cos 整理得， 25sin2-5sin -12=0.,解得sin = 或sin = 因为(0，)， 所以sin = 又由sin cos = 得， cos = 所以tan = 答案：,【巧妙解法】 因为sin +cos = , 所以(sin +cos )2=1+2sin cos = 即2sin cos = 所以(sin -cos )2=1-2sin cos = 又2sin cos = 0，0， 所以sin 0，cos 0，,即sin -cos 0， 故sin -cos = 联立得 所以tan = 答案：,【方法指导】平方关系的灵活应用 (1)根据平方关系sin2 +cos2 =1，三者：sin +cos ， sin cos ，sin -cos 中知道一个就可求另外两个. (2)开方求sin +cos ，或sin -cos 时，一定要注意角的取值范围对其值符号的影响.,【类题试解】已知sin -cos = ,(0,),则sin 2=( ) 【常规解法】选A.由 消去cos 整理得2sin2- sin +1=0，解得sin = 又由sin -cos = 得，cos = ,故sin 2=2sin cos =-1.,【巧妙解法】选A.将等式sin -cos = 两边平方，整理得sin2+cos2-2sin cos =22sin cos =-1sin 2=-1.,