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第一部分 教材梳理,第3节 二次函数,第三章 函 数,知识要点梳理,概念定理,1. 二次函数的概念 一般地，如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)，特别注意a不为零，那么y叫做x的二次函数. y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)叫做二次函数的一般式. 2. 二次函数的图象和性质 二次函数的图象是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫做抛物线. 抛物线的主要特征(也叫抛物线的三要素)：有开口方向；有对称轴；有顶点.,3. 二次函数图象的画法：五点法 (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴. (2)求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D. 将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象; 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D. 由C,M,D三点可粗略地画出二次函数的草图.如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A,B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图象.,方法规律,1. 二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况： (1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式(y=ax2+ bx+c). (2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式y=a(x-h)2+k. (3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式y=a(x-x1)(x-x2). (4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.,2. 二次函数图象的平移 平移规律：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”，概括成八个字，即：“左加右减，上加下减”. 3. 二次函数的图象与各项系数之间的关系 抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用： (1)a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样. a0时，抛物线开口向上；a0时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，开口越小.,(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y= ax2+bx+c的对称轴是直线x=- ，故：b=0时，对称轴为 y轴； 0(即a,b同号)时，对称轴在y轴左侧； 0,抛物线与y轴交于正半轴； c0,抛物线与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线 的对称轴在y轴右侧，则 0.,中考考点精讲精练,考点1 二次函数的图象和性质,考点精讲 【例1】(2014深圳)二次函数y=ax2+bx+c图象如图3-3-1，下列正确的个数为 ( ) bc0；2a-3c0；2a+b0； ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，当x1x2时， x10，x20；a+b+c0； 当x1时，y随x增大而减小. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5,思路点拨：根据抛物线开口向上可得a0，结合对称轴在y轴右侧得出b0，根据抛物线与y轴的交点在负半轴可得c0，再根据有理数乘法法则判断；再由不等式的性质判断；根据对称轴在直线x=1的左侧判断；根据图象与x轴的两个交点分别在原点的左右两侧判断；由x=1时，y0判断；根据二次函数的增减性判断. 答案：B,解题指导：解此类题的关键是掌握二次函数的图象与性质. 解此类题要注意以下要点： (1)二次函数的图象与系数的关系； (2) 会利用对称轴的范围求2a与b的关系，并能把握二次函数与方程之间的转换； (3) 二次函数的性质.,考题再现 1. (2015梅州)对于二次函数y=-x2+2x有下列结论： 它的对称轴是直线x=1；设y1=-x21+2x1，y2=-x22+2x2，则当x2x1时，有y2y1；它的图象与x轴的两个交点是 (0，0)和(2，0)；当0x2时，y0.其中正确结论的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4,C,2. (2014广东)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的大致图象如图3-3-2，关于该二次函数，下列说法错误的是 ( ) A. 函数有最小值 B. 对称轴是直线x= C. 当x ，y随x的增大而减小 D. 当-1x2时，y0,D,3. (2013深圳)已知二次函数y=a(x-1)2-c的图象如图3-3-3所示，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是 ( ),A,考题预测 4. 已知二次函数y=x2+(m-1)x+1，当x1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是 ( ) A. m=-1 B. m=3 C. m-1 D. m-1,D,5. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图3-3-4所示，对称轴是直线x=-1，下列结论：abc0；2a+b=0； a-b+c0；4a-2b+c0,其中正确的是 ( ) A. B. 只有 C. D. ,D,6. 如图3-3-5，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于P,Q两点，则函数y=ax2+(b-1)x+c的图象可能是 ( ),A,考点2 求二次函数的解析式及图象的平移,考点精讲 【例2】已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，-3). (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式.,思路点拨：(1)根据已知条件，利用交点式得出y=a(x-1)(x-3)，再求出a的值，然后利用配方法即可求出顶点坐标； (2)根据左加右减原则可得出平移后的抛物线的解析式. 解：(1)抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)， 可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3). 把C(0，-3)代入，得3a=-3. 解得a=-1. 故抛物线的解析式为y=-(x-1)(x-3)，即y=-x2+4x-3. y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1， 顶点坐标为(2，1). (2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=-x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)落在直线y=-x上.,解题指导：解此类题的关键是根据已知条件选用合适的形式设二次函数的解析式以及根据平移性质得出平移后的解析式. 解此类题要注意以下要点： (1)二次函数有三种形式，即一般式、顶点式和交点式，要根据已知条件灵活选择合适的形式； (2)一般求出二次函数的解析式后，利用配方法可求二次函数的顶点坐标； (3)二次函数图象的平移规律：“左加右减，上加下减”.,考题再现 1. (2013茂名)下列二次函数的图象，不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是 ( ) A. y=3x2+2 B. y=3(x-1)2 C. y=3(x-1)2+2 D. y=2x2 2. (2012广州)将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为 ( ) A. y=x2-1 B. y=x2+1 C. y=(x-1)2 D. y=(x+1)2,D,A,3. (2010广东)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图3-3-6所示，它与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，与y轴的交点坐标为(0，3). (1)求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式； (2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围.,解：(1)将点(-1，0)，(0，3)代入y=-x2+bx+c中，得 解得 y=-x2+2x+3. (2)令y=0，解方程-x2+2x+3=0， 得x1=-1，x2=3. 抛物线开口向下，当-1x3时，y0.,考题预测 4. 将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ( ) A. y=(x-1)2+4 B. y=(x-4)2+4 C. y=(x+2)2+6 D. y=(x-4)2+6 5. 将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为 ( ) A. y=(x+2)2+3 B. y=(x-2)2+3 C. y=(x+2)2-3 D. y=(x-2)2-3,B,B,6. 将二次函数y=x2-2x化为y=(x-h)2+k的形式，结果为 ( ) A. y=(x-1)2 B. y=(x-1)2-1 C. y=(x+1)2+1 D. y=(x-1)2+1 7. 将y=(2x-1)(x+2)+1化成y=a(x+m)2+n的形式为( ) A. B. C. D.,B,C,考点3 二次函数综合题,考点精讲 【例3】(2013茂名)如图3-3-7所示，抛物线yax2- x+2与x轴交于点A和点B，与 y轴交于点C，已知点B的坐标 为(3，0). (1)求a的值和抛物线的 顶点坐标； (2)分别连接AC,BC. 在 x轴下方的抛物线上求一点M， 使AMC与ABC的面积相等； (3)设N是抛物线对称轴上的 一个动点，d=|AN-CN|.探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由.,思路点拨：(1)先把点B坐标代入y=ax2- x+2，可求得 a的值，再利用配方法将一般式化为顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标； (2)由AMC与ABC的面积相等，得出这两个三角形AC边上的高相等，又由点B与点M都在AC的下方，得出BMAC，则点M既在过点B与AC平行的直线上，又在抛物线上，由此求出点M的坐标； (3)连接BC并延长，交抛物线的对称轴于点N，连接AN，根据轴对称的性质得出AN=BN，并且根据三角形三边关系定理得出此时d=|AN-CN|=|BN-CN|=BC最大.运用待定系数法求出直线BC的解析式，再将对称轴的x值代入，求出y的值，得到点N的坐标，然后利用勾股定理求出d的最大值BC即可.,解：(1)抛物线 经过点B(3，0)， 解得 顶点坐标为,(2)抛物线 的对称轴为直线 与x轴交于点A和点B，点B的坐标为(3，0)， 点A的坐标为(-6，0). 又当x=0时，y=2， C点坐标为(0，2). 设直线AC的解析式为y=kx+b， 直线AC的解析式为,SAMC=SABC， 点B与点M到AC的距离相等. 又点B与点M都在AC的下方， BMAC. 设直线BM的解析式为 将点B(3，0)代入，得 解得n=-1. 直线BM的解析式为 由,解得 点M的坐标是(-9，-4). (3)在抛物线对称轴上存在一点N，使d=|AN-CN|的值最大.点N 的坐标为 ,d的最大值为BC= .,解题指导：解此类题的关键是要能根据已知条件，将问题的要求正确推导转化为可以列式求解的更直观的推论，如题中，要使得AMC与ABC的面积相等，必须推导出两个三角形AC边上的高相等和BMAC的结论. 解此类题要注意以下要点： (1)待定系数法求一次函数、二次函数的解析式； (2)二次函数的性质； (3)三角形的面积求法，轴对称的性质等.,考题再现 1. (2014广州)已知平面直角坐标系中两定点A(-1，0),B(4，0)，抛物线y=ax2+bx-2(a0)过点A，B，顶点为C，点P(m，n)(n0)为抛物线上一点. (1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标； (2)当APB为钝角时，求m的取值范围； (3)若m ，当APB为直角时，将该抛物线向左或向 右平移 个单位，点C,P平移后对应的点分别记 为C,P，是否存在t，使得首尾依次连接A，B，P，C所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由.,解：(1)抛物线y=ax2+bx-2(a0)过点A，B， 解得 抛物线的解析式为 ,(2)如答图3-3-1，以AB为直径作圆M，则抛物线在圆内的部分，能使APB为钝角， M的半径= . P是抛物线与y轴的交点， OP=2. P在M上， P的对称点为(3，-2). 当-1m0或3m4时，APB为钝角. (3)存在；当多边形周长最短时， ,抛物线平移方向为向左平移.,考题预测 2. 如图3-3-8，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，顶点M关于x轴的对称点是M. (1)求抛物线的解析式； (2)若直线AM与此抛物线的另一个交点为C，求CAB的面积； (3)是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.,解：(1)将A，B两点的坐标代入函数解析式，得 解得 抛物线的解析式为y=x2-2x-3.,(2)将抛物线的解析式化为顶点式，得y=(x-1)2-4. 点M的坐标为(1，-4)，点M的坐标为(1，4). 设AM的解析式为y=kx+b，将点A，M的坐标代入，得 解得 AM的解析式为y=2x+2. 联立AM与抛物线，得 解得 C点坐标为(5，12).SABC= 412=24.,(3)存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形. 由APBQ是正方形，A(-1，0)，B(3，0)，得 P(1，-2)，Q(1，2)，或P(1，2)，Q(1，-2). 当顶点为P(1，-2)时，设抛物线的解析式为y=a(x-1)2-2， 将A点坐标代入函数解析式，得a(-1-1)2-2=0. 解得a= . 抛物线的解析式为 当P为(1，2)时，设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2， 将A点坐标代入函数解析式，得a(-1-1)2+2=0. 解得a=- . 抛物线的解析式为y=- (x-1)2+2. 综上所述：抛物线y= (x-1)2-2或y=- (x-1)2+2，使得四边形APBQ为正方形.,
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