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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,北师大版 选修2-1,空间向量与立体几何,第二章,2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 第2课时 空间向量运算的坐标表示,第二章,1空间向量坐标运算的法则 若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则 ab_； ab_ ； a_ ； 空间向量平行的坐标表示为ab(b0)x1x2，y1y2，z1z2(R),(x1x2，y1y2，z1z2),(x1x2，y1y2，z1z2),(x1，y1，z1)(R),(x2x1，y2y1，z2z1),x1x2y1y2z1z2,对应坐标的乘积之和,x1x2y1y2z1z20,1设i，j，k为单位正交基底，即i(1,0,0)，j(0,1,0)，k(0,0,1)，在此基底下，a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，即aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k，根据向量线性运算与数量积运算的定义及运算律，可得出ab，a，ab，ab，ab，|a|及cosa，b的坐标表示,2空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键这些公式为我们用向量的知识解决立体几何问题提供了有力的工具 3运用空间向量解决立体几何问题，先要考察原图形是否方便建立直角坐标系，将问题中涉及的点、线(向量)、面(向量的线性组合)用坐标表示，如果容易表示则先建系，将点用坐标表示出来，然后，利用垂直、平行、共面的条件通过向量运算推证有关结论，利用向量的模、向量夹角的计算公式来求线段长度及角，最后将计算的结果转化为几何结论；当图形中的点不方便用坐标表示时，可直接设出向量的基底，将各条件、结论中涉及的向量表示为基底的线性组合，再运用向量线性运算及数量积运算的规则进行推理、计算最后转化为相应几何结论,4若ab0，则ab；若ab(b0，R)，则aB 解两直线垂直或平行的问题，或利用向量证明立体几何的问题，应先将几何中的相关量用向量的形式表示，或建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量运算求解,已知a(2，1，2)，b(0，1,4)求： (1)ab； (2)ab； (3)2a(b)； (4)(ab)(ab) 分析 利用空间向量的运算法则坐标形式求解,向量运算的坐标表示,解析 (1)ab(2，1，2)(0，1,4) (20，11，24)(2，2,2) (2)ab(2，1，2)(0，1,4) (20，11，24)(2,0，6) (3)(2a)(b)(4，2，4)(0,1，4) 40(2)1(4)(4)14. (4)(ab)(ab)a2b2 414(0116)8. 总结反思 进行运算时可以适当地选择求解方法，如计算(ab)(ab)，可以先求ab与ab，再点乘，也可以用公式写出a2b2|a|2|b|2然后计算,已知a(2，1，2)，b(0，1,4)，求3a2b，aB 分析 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和,解析 因为a(2，1，2)，b(0，1,4)， 所以3a2b3(2，1，2)2(0，1,4)(32,3(1)，3(2)(20,2(1)，24)(6，3，6)(0，2,8)(6，5,2) ab(2，1，2)(0，1,4)20(1)(1)(2)40187. 总结反思 空间向量的加、减、数乘、数量积运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活地应用,空间向量的垂直与平行的判断,总结反思 已知两个空间向量的坐标，当这两个向量平行或垂直时，就可以根据aba1b1a2b2a3b30，aba1xb1，a2xb2，a3xb3(xR)进行求解其中，a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3),设a(1,5，1)，b(2,3,5)，若(kab)(a3b)，则k_. 分析 由向量线性运算的坐标表示可求出kab，a3b，再由向量共线的坐标表示可求出k.,分析 (1)向量的模(大小)的公式是什么？ (2)计算两个向量的夹角或其余弦值，要先计算哪些量？,数量积的应用,总结反思 1.空间两点间的距离(线段长度)的求法 空间两点可以确定一个向量，通过求向量的模或根据两点间的距离公式求出两点间的距离 2关于两直线夹角的求法 (1)通过建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量的坐标，然后计算两直线的方向向量的夹角 (2)空间两条直线夹角的范围与向量夹角的范围不同，当所求两向量夹角为钝角时，则两直线夹角是与此钝角互补的锐角,总结反思 此类问题考查了空间向量的运算，考查了转化与化归的思想值得注意的是：要建立合适的坐标系，使运算简便；要在运算时别出错,综合应用,总结反思 解题时要根据题设中关于x的方程有实根，得到t的取值范围为3t4，而不是tR.,如图，在矩形ABCD中，AB1，ADa，PA平面ABCD，且PA1，问：在BC边上是否存在点Q，使得PQQD？说明理由,分析 可建立空间直角坐标系，转化为空间向量来求解,总结反思 两向量平行或两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件错解就忽视了这一点,
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