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2.4 等比数列(1),一.复习回顾：,1前n项和的最大值和最小值问题,(1) 利用,由,利用二次函数配方法求得最值。（注意：n为正整数）,(2)利用,:,当,0，d0，前n项和有最大值。可由,，求得n的值。,当,0，前n项和有最大值。可由,，求得n的值。,2等差数列前n项和的性质,性质1.等差数列的依次每k项之和Sk,S2kSk， S3kS2k组成一个公差为k2d的等差数列；,性质2.,A,若an共有2n项，则S2n=k(an+an+1) ( an,an+1为中间项)， 并且S偶 -S奇=nd，S奇/S偶=an/an+1,若an共有2n-1时，则S2n-1=(2n-1)an (an为中间项) S奇-S偶=an+1, S奇/S偶=n/n-1,B,性质3.,（1）若an为等差数列，则,（2）若anbn为等差数列，它们的前n项和为Sn，Tn则,二、讲解新课：,.课题导入,课本P48页的4个例子：,(1)细胞分裂问题,(2)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”,(3)计算机病毒感染问题,(4)银行复利计算问题,1，2，4，8，16，,1，,，,，,，,，,1，20，,，,，,，,，,，,，,，,，,请同学们仔细观察一下，看看以上、 四个数列有什么共同特征？,从第 二项起，每一项与它前一项之比 等于同一常数.,如果一个数列从第 _项起，每一项与它的前一项的 _等于 _一个常数，那么这个数列就叫做 这个常数叫做等 数列的 _,1.等比数列定义：,二,比,同,等比数列,公比,等差数列定义,如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母d表示,公比通常用字母q表示,比,q0,等比数列,由于等比数列的每一项都有可能作分母， 故a 1 0 且 q 0,等差数列,由于等差数列是作差 故a 1 d 没有要求,判断数列是等差数列的方法,判断数列是等比数列的方法,或 an+1-an=d(n1),an an-1=d(n2),想一想,判断下列数列是否为等比数列。若是，则公比是多少，若不是，请说明理由,1)、 16，8，4，2， 1， ；,2)、 5，-25，125，- 625，；,4)、 2，2，2，2，2，；,3) 、1，0，1，0，1，；,5)、 0，0，0，0，0，；,公比是0.5,公比是-5,不是,不是,公比是1,2.等比数列的每一项都不为0，即an0。,6)、 -2，-4，-8，-16，；,7)、 3，9，27，81，243，；,公比是2,公比是3,等比数列中：,非零的常数数列既是等差数列又是等比数列,叠乘法,叠加法,等比数列通项公式推导:,等差数列通项公式推导: 设公差为 d 的 等差数列 a n ，则有:,a n a 1 = ( n1 ) d (n2）,等差数列 a n 的首项为 a 1，公差为 d 的通项公式为 _,a n = a 1 + ( n1 ) d，n N +,设公比为 q的等比数列 a n ，则有:,q,q,q,首项为 a 1，公比为 q 的等比数列的通项公式：,a n= a 1 q n1,(a 1 0 且 q 0 n N +),(n2）,等比数列的通项公式,问题：用 和 表示第 项 .,不完全归纳法,等比数列,等差数列,常数列都是等差数列,但常数列却不一定是等比数列，,如0，0，0，0，,等差数列通项公式:,等比数列通项公式:,首项为 a 1，公差为 d 的通项公式为 _,a n = a 1 + ( n1 ) d，n N +,首项为 a 1，公比为 q 的 的通项公式：,a n= a 1 q n1,(a 1 0 且 q 0,n N +),a n = a m + ( nm ) d，n N +,变形公式:,变形公式:,等比数列,等差数列,等差数列通项公式:,等比数列通项公式:,a n = pn + q，n N +,a n= a 1 q n1,(a 1 0 且 q 0,n N +),d=p a1=p+q,a n = a 1 + ( n1 ) d，n N +,一次函数形式：,q=c a1=bc,指数函数形式：,a n= b c n,函数观点；,函数观点；,方程思想.,方程思想.,方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用.,方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用.,问题1：如果在a与b中间插入一个数，使 a,b成等比数列，那么应满足什么条件？,问题2： a,b成等比数列,思考：,问题： 是a,b成等比数列,注意：,若a，b异号则无等比中项；若a，b同 号则有两个等比中项,等比数列所有奇数项符号相同； 所有偶数项符号相同。,练习：,三、例题讲解,例1（P50）某种放射性物质不断变化为其他物质,每经 过一年剩留的这种物质是原来的84.这种物质的半衰 期为多长(精确到1年)?,例2（P50）根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的 前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?,例3（P51）一个等比数列的第3项和第4项分别是12 和18,求它的第1项和第2项.,例5已知anbn是项数相同的等比数列， 求证anbn也是等比数列,四、练习,P52 1、2、3、4、5,补充: 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数 成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16， 第二个数与第三个数的和是12，求这四个数,四、作业,1课本作业： A组18题,
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