数学勾股定理提高题与常考题和培优题(含解析) .doc

数学勾股定理提高题与常考题和培优题(含解析)一选择题（共12小题）1如图，ABC中，AB=AC，AD是BAC的平分线已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A5B6C8D102如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A1B2C3D43在ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A10B8C6或10D8或104如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A5个B4个C3个D2个5下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A3，4，4B3，4，5C3，4，6D3，4，76如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）AB2CD1057如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，按照此规律继续下去，则S9的值为（）A（）6B（）7C（）6D（）782002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A13B19C25D1699如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为（）A3B4C2D410如图：已知ABC为直角三角形，分别以直角边AC、BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1，ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为（）AS1S2BS1S2CS1=S2D不能确定11如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）ACD、EF、GHBAB、EF、GHCAB、CD、GHDAB、CD、EF12如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中ba）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（）Ab2+（ba）2Bb2+a2C（b+a）2Da2+2ab二填空题（共12小题）13点A（3，4）到原点的距离为14已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为15如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应3，3，作腰长为4的等腰ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为16如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，DAB=CDB=90，ABD=45，DCA=30，AB=，则AE=（提示：可过点A作BD的垂线）17一副三角板如图放置，点C在FD的延长线上，ABCF，F=ACB=90，E=45，A=60，若AB=DE=8，则BE=（结果保留根号）18如图，RtABC的周长为，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN若这两个正方形的面积之和为25 cm2，则ABC的面积是 cm219如图，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AFCD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是20如图，RtABC中，ABC=90，DE垂直平分AC，垂足为O，ADBC，且AB=5，BC=12，则AD的长为21如图，ABC是等腰三角形，AB=AC=5，BC=6，E为BA延长线上的一点，AE=AB，D为BC的中点，则DE的长为22如图，在 RtABC中，ABC是直角，AB=4，BC=2，P是BC边上的动点，设BP=x，若能在AC边上找到一点Q，使BQP=90，则x的取值范围是23如图，在四边形ABCD中，A=90，AB=5，AD=3，点M在边AB上，则DM的最大值为24如图，在ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，AOC=120，则当PAB为直角三角形时，AP的长为三解答题（共16小题）25在四边形ABCD中，AB=AD=8，A=60，D=150，四边形周长为32，求BC和CD的长度26正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在下边的正方形网格中作出了RtABC请你按照同样的要求，在下面的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等 27问题背景：在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）请你将ABC的面积直接填写在横线上；（2）若ABC三边的长分别为、2（m0，n0，且mn），运用构图法可求出这三角形的面积为28如图1，在RtABC中，A=90，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DEBC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且PDQ=90（1）求ED、EC的长；（2）若BP=2，求CQ的长29如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABBC，对角线ACCD，点E在边BC上，且AEB=45，CD=10（1）求AB的长；（2）求EC的长30如图，将线段AB放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B均落在格点上（1）AB的长等于；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在线段AB上画出点P，使AP=，并简要说明画图方法（不要求证明）31如图，ABMN于A，CDMN于D点P是MN上一个动点（1）如图BP平分ABC，CP平分BCD交BP于点P若AB=4，CD=6试求AD的长；（2）如图，BPC=BPA，BCBP，若AB=4，求CD的长32定义：若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形（1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；（2）已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、y和z，且xy=2160，求x+y的值；（3）如图，ABC中，AB=，BC=2，AC=1+，求证：ABC是勾股三角形33如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30夹角，长为20km，BC段与AB、CD段都垂直长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）34如图是某学校主楼梯从底楼到二楼的楼梯截面图，已知BC=7米，AB=6+3米，中间平台DE与地面AB平行，且DE的长度为2米，DM、EN为平台的两根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分别为M、N，EAB=30，CDF=45，楼梯宽度为3米（1）若要在楼梯上（包括平台DE）铺满地毯，求地毯的长度；（2）沿楼梯从A点到E点铺设价格为每平方米100元的地毯，从E点到C点铺设价格为每平方米120元的地毯，求用地毯铺满整个楼梯共需要花费多少元钱？35如图，在ABC中，E点为AC的中点，其中BD=1，DC=3，BC=，AD=，求DE的长36在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）请你将ABC的面积直接填写在横线上（2）我们把上述求ABC面积的方法叫做构图法若ABC三边的长分别为、2、，请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的ABC，并求出它的面积37在ABC中，已知AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，且BD=，连接AD，求证：ADAC38如图，在ABC中，AB=AC=28cm，BC=20cm，点D是AB边的中点，若有一动点P在BC边上由点B向点C运动，点Q在CA边上由点C向A运动（1）P、Q两点的运动速度均为3cm/s，经过2秒后，BPD与CPQ是否全等，说明理由（2）若点P的运动速度为2.5cm/s，点Q的运动速度为3.5cm/s，是否存在某一时刻，使BPDCQP39如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和10cm的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？40“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自九章算术，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB、AD的中点，EGAB，FHAD，EG=15里，HG经过点A，问FH多少里？数学勾股定理提高题与常考题和培优题(含解析)参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1（2016荆门）如图，ABC中，AB=AC，AD是BAC的平分线已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A5B6C8D10【分析】根据等腰三角形的性质得到ADBC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：AB=AC，AD是BAC的平分线，ADBC，BD=CD，AB=5，AD=3，BD=4，BC=2BD=8，故选C【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键2（2016株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A1B2C3D4【分析】根据直角三角形a、b、c为边，应用勾股定理，可得a2+b2=c2（1）第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3（2）第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3（3）第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3（4）第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正方形的面积；然后根据a2+b2=c2，可得S1+S2=S3【解答】解：（1）S1=a2，S2=b2，S3=c2，a2+b2=c2，a2+b2=c2，S1+S2=S3（2）S1=a2，S2=b2，S3=c2，a2+b2=c2，a2+b2=c2，S1+S2=S3（3）S1=a2，S2=b2，S3=c2，a2+b2=c2，a2+b2=c2，S1+S2=S3（4）S1=a2，S2=b2，S3=c2，a2+b2=c2，S1+S2=S3综上，可得面积关系满足S1+S2=S3图形有4个故选：D【点评】（1）此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方（2）此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握3（2016东营）在ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A10B8C6或10D8或10【分析】分两种情况考虑，如图所示，分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理求出BD与CD的长，即可求出BC的长【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，AB=10，AC=2，AD=6，在RtABD和RtACD中，根据勾股定理得：BD=8，CD=2，此时BC=BD+CD=8+2=10；如图2所示，AB=10，AC=2，AD=6，在RtABD和RtACD中，根据勾股定理得：BD=8，CD=2，此时BC=BDCD=82=6，则BC的长为6或10故选C【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键4（2016漳州）如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A5个B4个C3个D2个【分析】首先过A作AEBC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案【解答】解：过A作AEBC，AB=AC，EC=BE=BC=4，AE=3，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）3AD5，AD=3或4，线段AD长为正整数，AD的可以有三条，长为4，3，4，点D的个数共有3个，故选：C【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小值，然后求出AD的取值范围5（2016南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A3，4，4B3，4，5C3，4，6D3，4，7【分析】在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可【解答】解：A、因为32+4242，所以三条线段能组锐角三角形，不符合题意；B、因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意；C、因为3+46，且32+4262，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意；D、因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意故选：C【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形掌握组成钝角三角形的条件是解题的关键6（2016淄博）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）AB2CD105【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明ABGCDHBCE，可得GE=BEBG=2、HE=CHCE=2、HEG=90，由勾股定理可得GH的长【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，在ABG和CDH中，ABGCDH（SSS），AG2+BG2=AB2，1=5，2=6，AGB=CHD=90，1+2=90，5+6=90，又2+3=90，4+5=90，1=3=5，2=4=6，在ABG和BCE中，ABGBCE（ASA），BE=AG=8，CE=BG=6，BEC=AGB=90，GE=BEBG=86=2，同理可得HE=2，在RTGHE中，GH=2，故选：B【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出GHE为等腰直角三角形是解题的关键7（2016青海）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，按照此规律继续下去，则S9的值为（）A（）6B（）7C（）6D（）7【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2=S1，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律“Sn=（）n3”，依此规律即可得出结论【解答】解：在图中标上字母E，如图所示正方形ABCD的边长为2，CDE为等腰直角三角形，DE2+CE2=CD2，DE=CE，S2+S2=S1观察，发现规律：S1=22=4，S2=S1=2，S3=S2=1，S4=S3=，Sn=（）n3当n=9时，S9=（）93=（）6，故选：A【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律“Sn=（）n3”本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律是关键8（2016黔东南州）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A13B19C25D169【分析】根据题意，结合图形求出ab与a2+b2的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值【解答】解：根据题意得：c2=a2+b2=13，4ab=131=12，即2ab=12，则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25，故选C【点评】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键9（2016黄冈校级自主招生）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为（）A3B4C2D4【分析】在RtAOB、RtDOC中分别表示出AO2、DO2，从而在RtADO中利用勾股定理即可得出AD的长度【解答】解：在RtAOB中，AO2=AB2BO2；RtDOC中可得：DO2=DC2CO2；可得AD2=AO2+DO2=AB2BO2+DC2CO2=18，即可得AD=3故选A【点评】此题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是在RtAOB、RtDOC中分别表示出AO2、DO2，需要我们熟练掌握勾股定理的表达形式10（2016雅安校级自主招生）如图：已知ABC为直角三角形，分别以直角边AC、BC为直径作半圆AmC和BnC，以AB为直径作半圆ACB，记两个月牙形阴影部分的面积之和为S1，ABC的面积为S2，则S1与S2的大小关系为（）AS1S2BS1S2CS1=S2D不能确定【分析】根据题给图形可知：S1=（AC）2+（BC）2（AB）2+SABC，S2=SABC，在RtABC中BC2+AC2=AB2，继而即可得出答案【解答】解：在RtABC中，BC2+AC2=AB2，S1=（AC）2+（BC）2（AB）2+SABC=（BC2+AC2AB2）+SABC=SABC，S2=SABCS1=S2故选C【点评】本题考查的是勾股定理，根据题意得出阴影部分的面积与直角三角形三条边的关系是解答此题的关键11（2016海淀区校级模拟）如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）ACD、EF、GHBAB、EF、GHCAB、CD、GHDAB、CD、EF【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，EF2=12+22=5，GH2=22+32=13因为AB2+EF2=GH2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH故选：B【点评】考查了勾股定理逆定理的应用12（2016富顺县校级模拟）如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中ba）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（）Ab2+（ba）2Bb2+a2C（b+a）2Da2+2ab【分析】先求出AE即DE的长，再根据三角形的面积公式求解即可【解答】解：DE=ba，AE=b，S四边形ABCD=4SADE+a2=4（ba）b+a2=b2+（ba）2故选：A【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键二填空题（共12小题）13（2016淮阴区一模）点A（3，4）到原点的距离为5【分析】易得点A的横纵坐标的绝对值与到原点的距离构成直角三角形，利用勾股定理求解即可【解答】解：点A的坐标为（3，4）到原点O的距离：OA=5，故答案为：5【点评】本题主要利用了“平面内一点到原点的距离等于其横纵坐标的平方和的算术平方根”这一知识点14（2016道外区二模）已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为10或90【分析】根据题意作出图形分为高线在三角形内和高线在三角形外两种情况，然后根据勾股定理计算求解即可【解答】解：由题意可作图如图1，AC=5，CD=3，CDAB，根据勾股定理可知：AD=4，BD=1BC2=12+32=10如图2，AC=5，CD=3，CDAB，根据勾股定理可知：AD=4，BD=9，BC2=92+32=90故答案是：10或90【点评】本题考查了等腰三角形的性质，作出图形利用三角形知识求解即可注意：需要分类讨论15（2016烟台）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应3，3，作腰长为4的等腰ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为【分析】先利用等腰三角形的性质得到OCAB，则利用勾股定理可计算出OC=，然后利用画法可得到OM=OC=，于是可确定点M对应的数【解答】解：ABC为等腰三角形，OA=OB=3，OCAB，在RtOBC中，OC=，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，OM=OC=，点M对应的数为故答案为【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2也考查了等腰三角形的性质16（2016绥化）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，DAB=CDB=90，ABD=45，DCA=30，AB=，则AE=2（提示：可过点A作BD的垂线）【分析】过A作AFBD，交BD于点F，由三角形ABD为等腰直角三角形，利用三线合一得到AF为中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AF的长，在直角三角形AEF中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AE的长即可【解答】解：过A作AFBD，交BD于点F，AD=AB，DAB=90，AF为BD边上的中线，AF=BD，AB=AD=，根据勾股定理得：BD=2，AF=，在RtAFE中，EAF=DCA=30，EF=AE，设EF=x，则有AE=2x，根据勾股定理得：x2+3=4x2，解得：x=1，则AE=2故答案为：2【点评】此题考查了勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键17（2016徐州二模）一副三角板如图放置，点C在FD的延长线上，ABCF，F=ACB=90，E=45，A=60，若AB=DE=8，则BE=82（结果保留根号）【分析】过B作BGFC，交FC于点G；由三角函数求出BC的长，由等腰直角三角形得性质和含30角的直角三角形的性质得出BG=DG=BC=2，求出BD，即可得出BE的长【解答】解：过B作BGFC，交FC于点G，如图所示：ABCF，F=ACB=90，E=45，A=60，AB=8，ABC=BCG=30，BC=ABsin60=AB=4，EDF和BGD都为等腰直角三角形，BG=DG=BC=2，BD=BG=2，BE=DEBD=82；故答案为：82【点评】此题考查了勾股定理，平行线的性质，含30度直角三角形的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握勾股定理是解本题的关键18（2016南京一模）如图，RtABC的周长为，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN若这两个正方形的面积之和为25 cm2，则ABC的面积是5 cm2【分析】根据正方形的面积公式，勾股定理求得a2=c2+b2=25，据此可以求得a=5又由RtABC的周长为可以求得b+c=3，所以ABC的面积=bc=（c+b）2（c2+b2）2【解答】解：如图，a2=c2+b2=25，则a=5又RtABC的周长为，a+b+c=5+3，b+c=3（cm）ABC的面积=bc=（c+b）2（c2+b2）2=（3）2252=5（cm2）故答案是：5【点评】本题考查了勾股定理的应用解答此题时，巧妙地运用了完全平方公式的变形来求ABC的面积19（2016黄冈模拟）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，点D在AB上，AD=AC，AFCD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是1.5【分析】连接DF，由勾股定理求出AB=5，由等腰三角形的性质得出CE=DE，由线段垂直平分线的性质得出CF=DF，由SSS证明ADFACF，得出ADF=ACF=BDF=90，设CF=DF=x，则BF=4x，在RtBDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：连接DF，如图所示：在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，AB=5，AD=AC=3，AFCD，CE=DE，BD=ABAD=2，CF=DF，在ADF和ACF中，ADFACF（SSS），ADF=ACF=90，BDF=90，设CF=DF=x，则BF=4x，在RtBDF中，由勾股定理得：DF2+BD2=BF2，即x2+22=（4x）2，解得：x=1.5；CF=1.5；故答案为：1.5【点评】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质；熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键20（2016江西三模）如图，RtABC中，ABC=90，DE垂直平分AC，垂足为O，ADBC，且AB=5，BC=12，则AD的长为【分析】连接AE，根据垂直平分线的性质可得AE=EC，然后在直角ABE中利用勾股定理即可列方程求得EC的长，然后证明AODCOE，即可求得【解答】解：连接AEDE是线段AC的垂直平分线，AE=EC设EC=x，则AE=EC=x，BE=BCEC=12x，在直角ABE中，AE2=AB2+BE2，x2=52+（12x）2，解得：x=即EC=ADBC，D=OEC，在AOD和COE中，AODCOE，AD=EC=故答案是：【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确列方程求得EC的长是关键21（2016孝义市三模）如图，ABC是等腰三角形，AB=AC=5，BC=6，E为BA延长线上的一点，AE=AB，D为BC的中点，则DE的长为【分析】根据题意结合等腰三角形的性质得出ADBC，BD=DC=3，再利用相似三角形的判定与性质得出EN，BN的长，即可得出答案【解答】解：连接AD，过点E作ENBC于点N，AB=AC=5，D为BC的中点，ADBC，BD=DC=3，AB=AC=5，AD=4，ENBC，ADEN，ABDEBN，=，=，解得：BN=4.5，EN=6，DN=1.5，DE=故答案为：【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和相似三角形的判定与性质，正确得出EN，DN的长是解题关键22（2016碑林区校级三模）如图，在 RtABC中，ABC是直角，AB=4，BC=2，P是BC边上的动点，设BP=x，若能在AC边上找到一点Q，使BQP=90，则x的取值范围是x2【分析】先根据勾股定理计算出AC=6，由于BQP=90，根据圆周角定理得到点Q在以PB为直径的圆M上，而点Q在AC上，则有AC与M相切于点Q，连结MQ，根据切线的性质得MQAC，MQ=BM=x，然后证明RtCMQRtCAB，再利用相似比得到x：4=（2x）：6，最后解方程即可【解答】解：ABC=90，AB=4，BC=2，AC=6，BQP=90，点Q在以PB为直径的圆M上，点Q在AC上，AC与M相切于点Q，连结MQ，如图，则MQAC，MQ=BM=x，QCM=BCA，RtCMQRtCAB，QM：AB=CM：AC，即x：4=（2x）：6，x=当P与C重合时，BP=2，BP=x的取值范围是：x2，故答案为：x2【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和O相交dr；直线l和O相切d=r；直线l和O相离dr也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质23（2016长春模拟）如图，在四边形ABCD中，A=90，AB=5，AD=3，点M在边AB上，则DM的最大值为【分析】连结BD，作辅助线构建直角三角形，根据勾股定理即可求出DM的最大值【解答】解：连结BD，A=90，AB=5，AD=3，在RtABD中，BD=，即DM的最大值为，故答案为：，【点评】本题考查了勾股定理、关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方24（2016余干县二模）如图，在ABC中，AB=AC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，AOC=120，则当PAB为直角三角形时，AP的长为2或2【分析】利用分类讨论，当APB=90时，分两种情况讨论，情况一：如图1，易得PBA=30，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出结论；情况二：利用锐角三角函数得AP的长；如图2，当BAP=90时，如图3，利用锐角三角函数得AP的长【解答】解：当APB=90时，分两种情况讨论，情况一：如图1，AO=BO，PO=BO，AOC=120，AOP=60，AOP为等边三角形，OAP=60，PBA=30，AP=AB=2；情况二：如图2，AO=BO，APB=90，PO=BO，AOC=120，BOP=60，BOP为等边三角形，OBP=60，AP=ABsin60=4=2；当BAP=90时，如图3，AOC=120，AOP=60，AP=OAtanAOP=2=2故答案为：2或2【点评】本题主要考查了勾股定理，含30直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，利用分类讨论，数形结合是解答此题的关键三解答题（共16小题）25（2016春周口期末）在四边形ABCD中，AB=AD=8，A=60，D=150，四边形周长为32，求BC和CD的长度【分析】如图，连接BD，构建等边ABD、直角CDB利用等边三角形的性质求得BD=8；然后利用勾股定理来求线段BC、CD的长度【解答】解：如图，连接BD，由AB=AD，A=60则ABD是等边三角形即BD=8，1=60又1+2=150，则2=90设BC=x，CD=16x，由勾股定理得：x2=82+（16x）2，解得x=10，16x=6所以BC=10，CD=6【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质根据已知条件推知CDB是解题关键26（2016高安市一模）正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一实线上；连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在下边的正方形网格中作出了RtABC请你按照同样的要求，在下面的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等 【分析】本题中得出直角三角形的方法如图：如果设AE=x，BE=4x，如果FEG=90，AFEGBE，AFBG=AEBE=x（4x），当x=1时，AFBG=3，AF=1，BG=3或AF=3，BG=1，当x=2时，AFBG=4，AF=1，BG=4或AF=2，BG=2或AF=4，BG=1，当x=3时，AFBG=3，AF=1，BG=3或AF=3，BG=1（同x=1时），由此可画出另两种图形【解答】解：如图所示：【点评】本题中借助了勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识来得出有可能的直角三角形的情况，要学会对已学知识点的运用27（2016南开区一模）问题背景：在ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）请你将ABC的面积直接填写在横线上；（2）若ABC三边的长分别为、2（m0，n0，且mn），运用构图法可求出这三角形的面积为5mn【分析】（1）是直角边长为1，2的直角三角形的斜边；是直角边长为1，3的直角三角形的斜边；是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可得【解答】解：（1）SABC=33122313=；（2）构造ABC如图所示，SABC=3m4nm4n3m2n2m2n=5mn故答案为：（1）；（2）5mn【点评】此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答28（2016封开县二模）如图1，在RtABC中，A=90，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DEBC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且PDQ=90（1）求ED、EC的长；（2）若BP=2，求CQ的长【分析】（1）由勾股定理求得BC=10通过“两角法”证得CDECAB，则对应边成比例DE：AB=CE：CB=CD：CA，由此可以求得DE、CE的值；（2）如图2，当P点在AB上时，由PDQ=90就可以得出2=4，就可以证明PBDQED，就可以EQ的值，从而求得CQ的值；如图21，当P点在AB的延长线上时，证明PBDQED，由相似三角形的性质就可以求出结论；【解答】解：（1）如图1，A=90，AB=6，AC=8，根据勾股定理得到，BC=10CD=BC=5DEBCA=CDE=90C=CCDECABDE：AB=CE：CB=CD：CA，即DE：6=CE：10=5：8DE=，CE=；（2）如图2，CDECAB，B=DECPDQ=901+4=901+2=902=4，PBDQED，=，=，EQ=，CQ=CEEQ=如图21，B=DEC，PBD=QEDPDQ=901+2=903+2=901=3，PBDQED=，=，EQ=，CQ=+=，故CQ=或；【点评】本题考查了直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，等腰三角形的性质的运用，三角函数值的运用，解答时运用三角函数值求证三角形的角相等是难点，证明三角形相似是关键29（2016石家庄一模）如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABBC，对角线ACCD，点E在边BC上，且AEB=45，CD=10（1）求AB的长；（2）求EC的长【分析】（1）在RtACD中，根据三角函数可求AC=，DAC=30，根据平行线的性质得到ACB=30，在RtACB中，根据三角函数可求AB的长；（2）在RtABE中，根据三角函数可求BE，BC，再根据EC=BCBE即可求解【解答】解：（1）在RtACD中，D=60，CD=10，AC=，DAC=30，又ADBC，ACB=DAC=30，在RtACB中，AB=AC=（2）在RtABE中，AEB=45，BE=AB=，由（1）可知，BC=AB=15，EC=BCBE=【点评】本题主要考查了勾股定理，三角函数，根据三角函数求出线段的长是本题的基本思路30（2016滨海新区二模）如图，将线段AB放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B均落在格点上（1）AB的长等于；（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，在线段AB上画出点P，使AP=，并简要说明画图方法（不要求证明）取格点C、D，连接CD，CD与AB交于点P，则点P即为所求（可根据APCBPD证明）【分析】（1）利用格点，根据勾股定理求出AB的长；2）根据三角形相似，使得AP为AB长度的即可【解答】解：（1）AB=；（2）如图所示：取格点C、D，连接CD，CD与AB交于点P，则点P即为所求（可根据APCBPD证明）故答案为；取格点C、D，连接CD，CD与AB交于点P，则点P即为所求（可根据APCBPD证明）【点评】本题考查了勾股定理，充分利用格点的特点和相似三角形的性质是解题的关键31（2016安徽模拟）如图，ABMN于A，CDMN于D点P是MN上一个动点（1）如图BP平分ABC，CP平分BCD交BP于点P若AB=4，CD=6试求AD的长；（2）如图，BPC=BPA，BCBP，若AB=4，求CD的长【分析】（1）过点P作PEBC于E，过点B作BFCD于F，利用角平分线性质定理可得AP=PE，再由全等三角形的判定方法可知RtABPRtEBP，同理可证RtCEPRtCDP，进而可得AB=BE，CE=CD，即BC=10，易证四边形ABFD是矩形，所以BF=AD，利用勾股定理求出BF的长即可；（2）如图2，延长CB和PA，记交点为点Q根据等腰QPC“三合一”的性质证得QB=BC；由相似三角形（QABQDC）的对应边成比例得到，则CD=2AB，问题得解；【解答】解：（1）过点P作PEBC于E，过点B作BFCD于F，ABMN于A，CDMN于D，BP平分ABC，AP=PE，在RtABP和RtEBP中，RtABPRtEBP，AB=BE=4，同理可得CE=CD=6，BC=BE+CE=10，易证四边形ABFD是矩形，BF=AD，CF=64=2，AD=4；（2）延长CB和PA，记交点为点QBPC=BPA，BCBP，QB=BC（等腰三角形“三合一”的性质）BAMN，CDMN，ABCD，QABQDC，CD=2AB=24=8【点评】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形32（2016安徽模拟）定义：若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形（1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；（2）已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、y和z，且xy=2160，求x+y的值；（3）如图，ABC中，AB=，BC=2，AC=1+，求证：ABC是勾股三角形【分析】（1）直接根据“勾股三角形”的定义，判断得出即可；（2）利用已知得出等量量关系组成方程组，进而求出x+y的值；（3）过B作BHAC于H，设AH=x，利用勾股定理首先得出AH=BH=，HC=1，进而得出A=45，C=60，B=75，即可得出结论【解答】（1）解：“直角三角形是勾股三角形”是假命题；理由如下：对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x、y和z，若满足x2+y2=z2，则称这个三角形为勾股三角形，无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；（2）解：由题意可得：，解得：x+y=102；（3）证明：过B作BHAC于H，如图所示：设AH=xRtABH中，BH=，RtCBH中，（）2+（1+x）2=4，解得：x=，AH=BH=，HC=1，A=ABH=45，tanHBC=，HBC=30，BCH=60，B=75，452+602=752ABC是勾股三角形【点评】此题主要考查了新定义、多元方程组解法、勾股定理和锐角三角函数关系，利用勾股定理得出AH，HC的长是解题关键33（2016苏州模拟）如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30夹角，长为20km，BC段与AB、CD段都垂直长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）【分析】过B点作BEl1，交l1于E，CD于F，l2于G在RtABE中，根据三角函数求得BE，在RtBCF中，根据三角函数求得BF，在RtDFG中，根据三角函数求得FG，再根据EG=BE+BF+FG即可求解【解答】解：过B点作BEl1，交l1于E，CD于F，l2于G在RtABE中，BE=ABsin30=20=10km，在RtBCF中，BF=BCcos30=10=km，CF=BFsin30=km，DF=CDCF=（30）km，在RtDFG中，FG=DFsin30=（30）=（15）km，EG=BE+BF+FG=（25+5）km故两高速公路间的距离为（25+5）km【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算34（2016海宁市一模）如图是某学校主楼梯从底楼到二楼的楼梯截面图，已知BC=7米，AB=6+3米，中间平台DE与地面AB平行，且DE的长度为2米，DM、EN为平台的两根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分别为M、N，EAB=30，CDF=45，楼梯宽度为3米（1）若要在楼梯上（包括平台DE）铺满地毯，求地毯的长度；（2）沿楼梯从A点到E点铺设价格为每平方米100元的地毯，从E点到C点铺设价格为每平方米120元的地毯，求用地毯铺满整个楼梯共需要花费多少元钱？【分析】（1）由图可知：地毯的总长度是（AB+BC）的长，已知了楼道的宽度，可由矩形的面积公式求出地毯的总面积；（2）关键是求出AN、NE、DF、FC的长，可设AN=x，然后用x表示出EN、DF、CF的长，由于CDF是等腰直角三角形，则DF=CF，根据这个等量关系，可求出x的值，进而可求出AN、NE、DF、CF的长，然后再根据两段地毯的单价求出铺满楼梯所花费的总价钱【解答】解：（1）地毯的长度=AB+B