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习题一解答1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件:(1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件;(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件一分钟内呼叫次数不超过次;(3) 从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件寿命在到小时之间。解 (1) , . (2) 记为一分钟内接到的呼叫次数,则, . (3) 记为抽到的灯泡的寿命(单位:小时),则, .2. 袋中有个球,分别编有号码1至10,从中任取1球,设取得球的号码是偶数,取得球的号码是奇数,取得球的号码小于5,问下列运算表示什么事件:(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7).解 (1) 是必然事件; (2) 是不可能事件; (3) 取得球的号码是2,4; (4) 取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10; (5) 取得球的号码为奇数,且不小于5取得球的号码为5,7,9; (6) 取得球的号码是不小于5的偶数取得球的号码为6,8,10; (7) 取得球的号码是不小于5的偶数=取得球的号码为6,8,103. 在区间上任取一数,记,求下列事件的表达式:(1);(2);(3);(4).解 (1) ; (2) ; (3) 因为,所以;(4) 4. 用事件的运算关系式表示下列事件: (1) 出现,都不出现(记为); (2) 都出现,不出现(记为); (3) 所有三个事件都出现(记为); (4) 三个事件中至少有一个出现(记为); (5) 三个事件都不出现(记为); (6) 不多于一个事件出现(记为); (7) 不多于两个事件出现(记为); (8) 三个事件中至少有两个出现(记为)。 解 (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7);(8).5. 一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设表示事件“第次抽到废品”,试用表示下列事件:(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品;(2) 只有第一次抽到废品;(3) 三次都抽到废品;(4) 至少有一次抽到合格品;(2) 只有两次抽到废品。解 (1); (2); (3);(4); (5). 6. 接连进行三次射击,设=第次射击命中,三次射击恰好命中二次,三次射击至少命中二次;试用表示和。解 习题二解答 1从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品,求其中恰有1件次品的概率。解 这是不放回抽取,样本点总数,记求概率的事件为,则有利于的样本点数. 于是2一口袋中有5个红球及2个白球,从这袋中任取一球,看过它的颜色后放回袋中,然后,再从这袋中任取一球,设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求(1) 第一次、第二次都取到红球的概率;(2) 第一次取到红球,第二次取到白球的概率;(3) 二次取得的球为红、白各一的概率;(4) 第二次取到红球的概率。解 本题是有放回抽取模式,样本点总数. 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为.()有利于的样本点数,故 () 有利于的样本点数,故 () 有利于的样本点数,故 () 有利于的样本点数,故 .3一个口袋中装有6只球,分别编上号码1至6,随机地从这个口袋中取2只球,试求:(1) 最小号码是3的概率;(2) 最大号码是3的概率。解 本题是无放回模式,样本点总数.() 最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6这四个球中取2只,且有一次抽到3,因而有利样本点数为,所求概率为 .() 最大号码为3,只能从1,2,3号球中取,且有一次取到3,于是有利样本点数为,所求概率为 .4一个盒子中装有6只晶体管,其中有2只是不合格品,现在作不放回抽样,接连取2次,每次取1只,试求下列事件的概率:(1) 2只都合格;(2) 1只合格,1只不合格;(3) 至少有1只合格。解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为,则注意到,且与互斥,因而由概率的可加性知5掷两颗骰子,求下列事件的概率:(1) 点数之和为7;(2) 点数之和不超过5;(3) 点数之和为偶数。解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为,样本点总数()含样本点,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)()含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) ()含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。 6把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去,假设每间宿舍最多可住8人,试求这三名学生住不同宿舍的概率。解 记求概率的事件为,样本点总数为,而有利的样本点数为,所以 .7总经理的五位秘书中有两位精通英语,今偶遇其中的三位,求下列事件的概率:(1) 事件:“其中恰有一位精通英语”;(2) 事件:“其中恰有二位精通英语”;(3) 事件:“其中有人精通英语”。解 样本点总数为(1) ;(2) ;(3) 因,且与互斥,因而 .8设一质点一定落在平面内由轴、轴及直线所围成的三角形内,而落在这三角形内各点处的可能性相等,计算这质点落在直线的左边的概率。解 记求概率的事件为,则为图中阴影部分,而,最后由几何概型的概率计算公式可得111/3图2.3.9(见前面问答题2. 3)10已知,求(1),;(2);(3);(4);(5).解 (1),;(2);(3);(4), ;(5)11设是两个事件,已知,试求及解 注意到 ,因而 . 于是, ;.习题三解答1已知随机事件的概率,随机事件的概率,条件概率,试求及.解 2一批零件共100个,次品率为10%,从中不放回取三次(每次取一个),求第三次才取得正品的概率。解 .3某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28,两项投资都做的概率为0.19(1) 已知他已投入基金,再购买股票的概率是多少?(2) 已知他已购买股票,再投入基金的概率是多少?解 记基金,股票,则(1) (2) .4给定,验证下面四个等式: ,解 5有朋自远方来,他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,若坐火车,迟到的概率是0.25,若坐船,迟到的概率是0.3,若坐汽车,迟到的概率是0.1,若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。解 迟到,坐火车,坐船,坐汽车,乘飞机,则 ,且按题意,.由全概率公式有: 6已知甲袋中有6只红球,4只白球;乙袋中有8只红球,6只白球。求下列事件的概率:(1) 随机取一只袋,再从该袋中随机取一球,该球是红球;(2) 合并两只袋,从中随机取一球,该球是红球。解 (1) 记该球是红球,取自甲袋,取自乙袋,已知,所以(2) 7某工厂有甲、乙、丙三个车间,生产同一产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求该厂产品的次品率。解 8发报台分别以概率0.6,0.4发出和,由于通信受到干扰,当发出时,分别以概率0.8和0.2收到和,同样,当发出信号时,分别以0.9和0.1的概率收到和。求(1) 收到信号的概率;(2) 当收到时,发出的概率。解 记 收到信号,发出信号(1) (2) .9设某工厂有三个车间,生产同一螺钉,各个车间的产量分别占总产量的25%,35%,40%,各个车间成品中次品的百分比分别为5%,4%,2%,如从该厂产品中抽取一件,得到的是次品,求它依次是车间生产的概率。解 为方便计,记事件为车间生产的产品,事件次品,因此 10设与独立,且,求下列事件的概率:,.解 11已知独立,且,求.解 因,由独立性有从而 导致 再由 ,有 所以 。最后得到 12甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次,命中率分别为1/3,1/2,2/3,求目标被命中的概率。解 记 命中目标,甲命中,乙命中,丙命中,则 ,因而13设六个相同的元件,如下图所示那样安置在线路中,设每个元件不通达的概率为,求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。21解 记 通达,43元件通达,65则 , 所以图3.1 14假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立,试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。解 .15灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。解 .16设在三次独立试验中,事件出现的概率相等,若已知至少出现一次的概率等于19/27,求事件在每次试验中出现的概率.解 记在第次试验中出现, 依假设 所以, , 此即 .17加工一零件共需经过3道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率。解 注意到,加工零件为次品,当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记 第道工序为次品, 则次品率 18三个人独立破译一密码,他们能独立译出的概率分别为0.25,0.35,0.4. 求此密码被译出的概率。解 记 译出密码, 第人译出, 则19将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次,恰有5次出现正面的概率是多少?有4次至6次出现正面的概率是多少?解 (1) ;(2) .20某宾馆大楼有4部电梯,通过调查,知道在某时刻,各电梯正在运行的概率均为0.75,求:(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率;(2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率;(3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。解 (1) (2) (3) 习题四解答1. 下列给出的数列,哪些是随机变量的分布律,并说明理由。(1);(2);(3);(4)。解 要说明题中给出的数列,是否是随机变量的分布律,只要验证是否满足下列二个条件:其一条件为,其二条件为。依据上面的说明可得(1)中的数列为随机变量的分布律;(2)中的数列不是随机变量的分布律,因为;(3)中的数列为随机变量的分布律;(4)中的数列不是随机变量的分布律,这是因为。2. 试确定常数,使成为某个随机变量X的分布律,并求:;。解 要使成为某个随机变量的分布律,必须有,由此解得;(2) (3)。3. 一口袋中有6个球,在这6个球上分别标有-3,-3,1,1,1,2这样的数字。从这袋中任取一球,设各个球被取到的可能性相同,求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。解 X可能取的值为-3,1,2,且,即X的分布律为X-312概率X的分布函数 0 = 1 4. 一袋中有5个乒乓球,编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取3个,以X表示取出的3个球中最大号码,写出X的分布律和分布函数。解 依题意X可能取到的值为3,4,5,事件表示随机取出的3个球的最大号码为3,则另两个球的只能为1号,2号,即;事件表示随机取出的3个球的最大号码为4,因此另外2个球可在1、2、3号球中任选,此时;同理可得。X的分布律为X345概率X的分布函数为 0 1 5. 在相同条件下独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为0.6,求击中目标的次数X的分布律。解 依题意X服从参数的二项分布,因此,其分布律,具体计算后可得X012345概率6. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时,各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下,分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。(1) 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品;(2) 每次取出的产品都不放回这批产品中;(3) 每次取出一件产品后总是放回一件正品。解 (1)设事件表示第次抽到的产品为正品,依题意,相互独立,且而即X服从参数的几何分布。(2)由于每次取出的产品不再放回,因此,X可能取到的值为1,2,3,4,X的分布律为X1234概率(3)X可能取到的值为1,2,3,4,所求X的分布律为X1234概率由于三种抽样方式不同,导致X的分布律也不一样,请仔细体会它们的不同处。7. 设随机变量,已知,求与的值。解 由于,因此。由此可算得 即 解得;此时,。 8. 掷一枚均匀的硬币4次,设随机变量X表示出现国徽的次数,求X的分布函数。解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为,因此X服从的二项分布,即由此可得X的分布函数 0, , , , , 1, 9. 某商店出售某种物品,根据以往的经验,每月销售量X服从参数的泊松分布,问在月初进货时,要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要?解 设至少要进件物品,由题意应满足即 查泊松分布表可求得 。10. 有一汽车站有大量汽车通过,每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001,在某天该段时间内有1000辆汽车通过,求事故次数不少于2的概率。解 设X为1000辆汽车中出事故的次数,依题意,X服从的二项分布,即,由于较大,较小,因此也可以近似地认为X服从的泊松分布,即,所求概率为11. 某试验的成功概率为0.75,失败概率为0.25,若以X表示试验者获得首次成功所进行的试验次数,写出X的分布律。解 设事件表示第次试验成功,则,且相互独立。随机变量X取意味着前次试验未成功,但第次试验成功,因此有所求的分布律为X12概率0.7512. 设随机变量X的密度函数为 , 0, 其他,试求:(1)常数;(2)X的分布函数。解 (1)成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件,其一为;其二为,因此有,解得,其中舍去,即取。(2)分布函数 = = 13. 设随机变量X的密度函数为,求:(1)系数;(2);(3)X的分布函数。解 (1)系数必须满足,由于为偶函数,所以解得;(2);(3) = = = = 14. 证明:函数 (为正的常数)为某个随机变量X的密度函数。证 由于,且,因此满足密度函数的二个条件,由此可得为某个随机变量的密度函数。 15. 求出与密度函数 对应的分布函数的表达式。解 当时,当时,当时,综合有 16. 设随机变量X在上服从均匀分布,求方程有实根的概率。解 X的密度函数为 ; 其他.方程有实根的充分必要条件为,即,因此所求得概率为。 17. 设某药品的有效期X以天计,其概率密度为 ; 0, 其他.求:(1) X的分布函数;(2) 至少有200天有效期的概率。解 (1) = = (2) 。 18. 设随机变量X的分布函数为 求X的密度函数,并计算和。解 由分布函数与密度函数的关系,可得在的一切连续点处有,因此 所求概率;。 19. 设随机变量X的分布函数为,求(1) 常数;(2);(3) 随机变量X的密度函数。解:(1)要使成为随机变量X的分布函数,必须满足,即 计算后得 解得 另外,可验证当时,也满足分布函数其余的几条性质。(2) (3)X的密度函数。 20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(单位:min)服从的指数分布,其密度函数为 ,某顾客在窗口等待服务,若超过10min,他就离开。(1)设某顾客某天去银行,求他未等到服务就离开的概率;(2)设某顾客一个月要去银行五次,求他五次中至多有一次未等到服务的概率。解 (1)设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间,依题意X服从的指数分布,且顾客等待时间超过10min就离开,因此,顾客未等到服务就离开的概率为;(2)设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数,则Y服从的二项分布,所求概率为21. 设X服从,借助于标准正态分布的分布函数表计算:(1);(2);(3);(4);(5)。解 查正态分布表可得(1);(2);(3);(4) (5)。22. 设X服从,借助于标准正态分布的分布函数表计算:(1);(2);(3);(4);(5);(6)。解 当时,借助于该性质,再查标准正态分布函数表可求得(1);(2);(3);(4);(5);(6)。23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布,合格品的规格规定为,求该厂滚珠的合格率。解 所求得概率为24. 某人上班所需的时间(单位:min)已知上班时间为8:30,他每天7:50出门,求:(1)某天迟到的概率;(2)一周(以5天计)最多迟到一次的概率。解 (1)由题意知某人路上所花时间超过40分钟,他就迟到了,因此所求概率为;(2)记Y为5天中某人迟到的次数,则Y服从的二项分布,5天中最多迟到一次的概率为。习题五解答1. 二维随机变量只能取下列数组中的值:,且取这些组值的概率依次为,求这二维随机变量的分布律。解 由题意可得的联合分布律为XY01-100002002. 一口袋中有四个球,它们依次标有数字。从这袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋中任取一球。设每次取球时,袋中每个球被取到的可能性相同。以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字,求的分布律及。解 X可能的取值为,Y可能的取值为,相应的,其概率为或写成XY12310230。3. 箱子中装有10件产品,其中2件为次品,每次从箱子中任取一件产品,共取2次,定义随机变量X、Y如下:X= 0, 若第一次取出正品; Y= 0, 若第二次取出正品; 1, 若第一次取出次品; 1, 若第二次取出次品。分别就下面两种情况求出二维随机变量的联合分布律:(1)放回抽样;(2)不放回抽样。解 (1)在放回抽样时,X可能取的值为,Y可能取的值也为,且或写成 XY0101(2)在无放回情形下,X、Y可能取的值也为0或1,但取相应值的概率与有放回情形下不一样,具体为或写成XY01014. 对于第1题中的二维随机变量的分布,写出关于X及关于Y的边缘分布律。解 把第1题中的联合分布律按行相加得X的边缘分布律为X-102概率按列相加得Y的边缘分布律为Y01概率5. 对于第3题中的二维随机变量的分布律,分别在有放回和无放回两种情况下,写出关于X及关于Y的边缘分布律。解 在有放回情况下X的边缘分布律为X01概率Y的边缘分布律为Y01概率在无放回情况下X的边缘分布律为X01概率Y的边缘分布律为Y01概率6. 求在D上服从均匀分布的随机变量的密度函数及分布函数,其中D为x轴、y轴及直线围成的三角形区域。解 区域D见图5.2。易算得D的面积为,所以的密度函数y1-1 0 1 x 的分布函数当或时,; 图5.2 当时, ; 当时,;当时,;当时,综合有 7. 对于第6题中的二维随机变量的分布,写出关于X及关于Y的边缘密度函数。解 X的边缘密度函数为= = Y的边缘密度函数为 = = 8. 在第3题的两种情况下,X与Y是否独立,为什么?解 在有放回情况下,由于,而,即;容易验证,由独立性定义知X与Y相互独立。在无放回情况下,由于,而,易见,所以X与Y不相互独立。9. 在第6题中,X与Y是否独立,为什么?解 ,而,易见,所以X与Y不相互独立。10. 设X、Y相互独立且分别具有下列的分布律:X-2-100.5Y-0.513概率概率写出表示的分布律的表格。解 由于X与Y相互独立,因此例如其余的联合概率可同样算得,具体结果为XY-0.513-2-100.511. 设X与Y是相互独立的随机变量,X服从上的均匀分布,Y服从参数为5的指数分布,求的联合密度函数及。解. 由均匀分布的定义知 由指数分布的定义知 因为X与Y独立,易得的联合密度函数 y 0.2 x 图5.3概率,其中区域见图5.3,经计算有。 12. 设二维随机变量的联合密度函数为 求:(1)系数;(2);(3)证明X与Y相互独立。解 (1)必须满足,即,经计算得;(2);(3)关于X的边缘密度函数 = 同理可求得Y的边缘密度函数为 易见,因此X与Y相互独立。13. 已知二维随机变量的联合密度函数为 (1)求常数;(2)分别求关于X及关于Y的边缘密度函数;(3)X与Y是否独立?解 (1)满足,即解得;(2)X的边缘密度函数 = Y的边缘密度函数为 = (3),而,易见,因此X与Y不相互独立。14. 设随机变量X与Y的联合分布律为XY01012且,(1) 求常数的值;(2)当取(1)中的值时,X与Y是否独立?为什么?解 (1)必须满足,即,可推出,另外由条件概率定义及已知的条件得由此解得,结合可得到,即 (2)当时,可求得,易见因此,X与Y不独立。15. 对于第2题中的二维随机变量的分布,求当时X的条件分布律。解 易知,因此时X的条件分布律为X|Y=2123概率16. 对于第6题中的二维随机变量的分布,求当时Y的条件密度函数。解 X的边缘密度函数为(由第7题所求得) 由条件密度函数的定义知当时Y的条件密度函数为 = 习题六解答1. 设X的分布律为X-2-0.5024概率求出:以下随机变量的分布律。(1);(2);(3)。解 由X的分布律可列出下表概率-2-0.502401.524631.51-1-340.250416由此表可定出(1)的分布律为0246概率(2)的分布律为-3-113概率(3)的分布律为0416概率其中。2. 设随机变量X服从参数的泊松分布,记随机变量 试求随机变量Y的分布律。解 由于X服从参数的泊松分布,因此而 ;。即Y的分布律为Y01概率3. 设X的密度函数为 求以下随机变量的密度函数:(1);(2);(3)。解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数,然后再求密度函数。如果为单调可导函数,则也可利用性质求得。(1)解法一:设,则Y的分布函数= = 解法二:,而,则 = = (2)设,则,Y的密度函数 = (3)设,由于X只取中的值,所以也为单调函数,其反函数,因此Y的密度函数为 = 4. 对圆片直径进行测量,测量值X服从上的均匀分布,求圆面积Y的概率密度。解 圆面积,由于X均匀取中的值,所以X的密度函数 且为单调增加函数,其反函数,Y的密度函数为 = 5. 设随机变量X服从正态分布,试求随机变量的函数的密度函数。解 ,所以,此时不为单调函数不能直接利用性质求出。须先求Y的分布函数。 . = 6. 设随机变量X服从参数为1的指数分布,求随机变量的函数的密度函数。解 的反函数,因此所求的Y的密度函数为 = 7. 设X服从,证明服从,其中为两个常数且。证明 由于,所以,记,则当时,为单增函数,其反函数,因此Y的密度函数为,即证明了。8. 设随机变量X在区间上服从均匀分布,随机变量 试求随机变量函数Y的分布律。解 ,则 而 ;。因此所求分布律为Y-101概率09. 设二维随机变量的分布律XY求以下随机变量的分布律:();();();()。解概率-210-1210123246369从而得到(1)概率()-1012概率()从联合分布律可求得的边缘分布律为概率由此得的分布律为概率()1236概率. 设随机变量、相互独立,,() 记随机变量,求的分布律;() 记随机变量,求的分布律。从而证实:即使、服从同样的分布,与的分布并不一定相同,直观地解释这一结论。解()由于,且与独立,由分布可加性知,即,经计算有概率()由于概率因此概率 易见与的分布并不相同。直观的解释是的与的取值并不相同,这是因为与并不一定同时取同一值,因而导致它们的分布也不同。. 设二维随机变量的联合分布律为XY() 求的分布律;() 求的分布律。解 ()随机变量可能取到的值为,中的一个,且综合有概率()随机变量可能取到的值为,中的一个,且同理可求得综合有概率. 设二维随机变量服从在上的均匀分布,其中为直线,所围成的区域,求的分布函数及密度函数。解 的联合密度函数为-2 0 2 x 图6.2 y 2 设,则的分布函数 其中区域,当时,积分区域见图6.2,此时-2 0 2 x y 2当时,积分区域见图6.3,此时-2 0 2 x y 2图6.4图6.3其中是区域限在中的那部分。当时,积分区域见图6.4,此时-2 0 2 x y 2图6.5其中是区域限在中的那部分。当时,积分区域见图6.5,此时。综合有 的密度函数 13. 设的密度函数为,用函数表达随机变量的密度函数。解 设,则的分布函数。对积分变量作变换,得到于是 ,交换积分变量的次序得从而,的密度函数为,把与的地位对换,同样可得到的密度函数的另一种形式。习题七解答1. 设的分布律为, X-1012概率求(1),(2),(3),(4)。解 由随机变量X的分布律,得X-1012-X+1210-1X21014P所以 另外,也可根据数学期望的性质可得:2.设随机变量X服从参数为的泊松分布,且已知,求的值。解3. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次命中目标的概率为0.4,试求的数学期望。解 所以 故 4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量,它在2000,4000(单位:吨)上服从均匀分布。若每售出一吨,可得外汇3万美元,若销售不出而积压,则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源,才能使平均收益最大?解 设随机变量Y表示平均收益(单位:万元),进货量为吨Y= 则要使得平均收益最大,所以得 (吨)5. 一台设备由三大部件构成,在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1,0.2,0.3,假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的数学期望和方差。解 X的可能取值为0,1,2,3,有所以X的分布律为X0123Pr0.5040.3980.0920.0066. 设X的密度函数为,求(1);(2)。解 (1) (2)注:求解(1)时利用被积函数是奇函数的性质,求解(2)时化简为可以看成为是服从参数为1的指数分布随机变量的二阶原点矩。 7. 某商店经销商品的利润率的密度函数为,求,。解 (1) (2)故8. 设随机变量X的密度函数为 0 求、。解9. 设随机变量的联合分布律为XY0100.30.210.40.1求、。解 关于X与Y的边缘分布律分别为:X01Y01Pr0.50.5Pr0.70.310. 设随机变量X,Y相互独立,它们的密度函数分别为 求。解 ,所以,所以,X,Y相互独立,所以。11. 设服从在A上的均匀分布,其中A为x轴、y轴及直线所围成的区域,求(1);(2);(3)的值。y0 x解 先画出A区域的图-1 xAy-1-1-y 2 0 其他 0 其他 0 其他12. 设随机变量的联合密度函数为 0 其他求。y10 1 x解 先画出区域的图G 0 其他 0 其他 13. 设随机变量X,Y相互独立,且,求。解14. 设,求(1);(2)。解:(1) (2) 15. 设随机变量相互独立,求。 解 16. 验证:当为二维连续型随机变量时,按公式及按公式算得的值相等。这里,、依次表示的分布密度。 证明 17. 设的方差为2.5,利用契比晓夫不等式估计的值。 解 18. 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,根据切比雪夫不等式估计的值。解 所以 21. 在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。在1年内每人的死亡率为0.1%,参加保险的人在1年的第一天交付保险费10元,死亡时家属可以从保险公司领取2000元。试用中心极限定理求保险公司亏本的概率。解 设死亡人数为,保险公司亏本当且仅当,即。于是,由棣莫弗拉普拉斯定理,公司亏本的概率为习题九解答 1. 设是来自服从参数为的泊松分布的样本,试写出样本的联合分布律。 解 2. 设是来自上的均匀分布的样本,未知(1)写出样本的联合密度函数;(2)指出下列样本函数中哪些是统计量,哪些不是?为什么?(3)设样本的一组观察是:0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。 解(1) 0 其他(2)和是,和不是。因为和中不含总体中的唯一未知参数,而和中含有未知参数。(3)样本均值样本方差样本标准差。 3. 查表求,。解 ,。 4. 设,求常数,使。 解 由t分布关于纵轴对称,所以即为。由附表5.6可查得,所以。 5. 设是来自正态总体的样本,试证:(1);(2)。证明:(1)独立同分布于,由分布的定义,即。(2)易见,即,由分布的定义,即。 6. 设是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个都服从。(1)试给出常数,使得服从分布,并指出它的自由度;(2)试给出常数,使得服从t分布,并指出它的自由度。 解(1)易见,即为二个独立的服从的随机变量平方和,服从分布,即;自由度为2。(2)由于,则。又,与相互独立,则即 即,自由度为3。 7. 设是取自总体的一个样本,在下列三种情况下,分别求:(1);(2);(3),其中。 解 (1) (2)(3),其中 8. 某市有100000个年满18岁的居民,他们中10%年收入超过1万,20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本,求:(1)样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率;(2)样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。 解(1)引入新变量: 1,第个样本居民年收入超过1万 0,第个样本居民年收入没超过1万其中易见:又因,故可以近似看成有放回抽样,相互独立。样本中年收入超过1万的比例即为,由于较大,可以使用渐近分布求解,即,所求概率即为(2)同(1)解法引入新变量: 1,第个样本居民受过高等教育 0,第个样本居民未受过高等教育其中答:(1)样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918;(2)样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。习题十解答1. 设是取自总体X的一个样本,在下列情形下,试求总体参数的矩估计与最大似然估计:(1),其中未知,;(2),其中未知,。解 (1),故的矩估计量有。另,X的分布律为,故似然函数为对数似然函数为:令 解得的最大似然估计量。可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。(2),令,故的矩估计量。另,X的密度函数为 故似然函数为 对数似然函数为解得的最大似然估计量。可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。2. 设是取自总体X的一个样本,其中X服从参数为的泊松分布,其中未知,求的矩估计与最大似然估计,如得到一组样本观测值X01234频数17201021求的矩估计值与最大似然估计值。解 ,故的矩估计量。由样本观测值可算得另,X的分布律为故似然函数为对数似然函数为解得的最大似然估计量,故的最大似然估计值。3. 设是取自总体X的一个样本,其中X服从区间的均匀分布,其中未知,求的矩估计。解 ,令,故的矩估计量。4. 设是取自总体X的一个样本,X的密度函数为 其中未知,求的矩估计。解 ,令,故的矩估计量为。5. 设是取自总体X的一个样本,X的密度函数为 其中未知,求的矩估计和最大似然估计。解 ,令,故的矩估计量为,另,似然函数 对数似然函数为解得的最大似然估计量为。6. 设是取自总体X的一个样本,总体X服从参数为的几何分布,即,其中未知,求的最大似然估计。解 似然函数 对数似然函数解得的最大似然估计量为。7. 已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布,其中未知,现在观测到六个时间间隔数据(单位:s):1.8,3.2,4,8,4.5,2.5,试求该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。解 根据习题1的结果,的矩估计和最大似然估计量都为,故平均时间间隔的矩估计和最大似然估计都为,即为。由样本观测值可算得。8. 设总体X的密度函数为,其中未知,设是取自这个总体的一个样本,试求的最大似然估计。解 似然函数 ,对数似然函数为得的最大似然估计量为。9. 在第3题中的矩估计是否是的无偏估计?解 故的矩估计量是的无偏估计。10. 试证第8题中的最大似然估计是的无偏估计。证明:故的最大似然估计是的无偏估计。11. 设为总体的样本,证明都是总体均值的无偏估计,并进一步判断哪一个估计有效。证明 所以都是总体均值的无偏估计。又 可见,所以二个估计量中更有效。12. 设是取自总体的一个样本,其中未知,令,试证是的相合估计。证明 易见又 ,由第九章公式(9),故 。由切比雪夫不等式,当,对任给,即是的相合估计。习题十一解答1. 某车间生产滚珠,从长期实践中知道,滚珠直径X服从正态分布,从某天生产的产品中随机抽取6个,量得直径如下(单位:mm):14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1,求的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。解 由于已知,所以选用的置信区间。当,查表得,当,查表得。代入数据得的双侧0.9置信区间观测值为,即为。的双侧0.99置信区间观测值为,即为。2. 假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布,未知。为了合理的确定对该商品的进货量,需对和作估计,为此随机抽取七个月,其销售量分别为:64,57,49,81,76,70,59,试求的双侧0.95置信区间和方差的双侧0.9置信区间。解 由于和都未知,故的双侧置信区间为,的双侧置信区间为,代入数据得,的0.95双侧置信区间观测值为,即为。的0.9双侧置信区间观测值为,即为。3. 随机地取某种子弹9发作试验,测得子弹速度的,设子弹速度服从正态分布,求这种子弹速度的标准差和方差的双侧0.95置信区间。解 由于未知,故的双侧置信区间为,代入数据得,的0.95双侧置信区间观测值为,即为。故的0.95双侧置信区间观测值为,即为。4. 已知某炼铁厂的铁水含碳量(1%)正常情况下服从正态分布,且标准差。现测量五炉铁水,其含碳量分别是:4.28,4.4,4.42,4.35,4.37(1%),试求未知参数的单侧置信水平为0.95的置信下限和置信上限。解 由于已知,故的单侧置信下限为,的单侧置信上限为,代入数据得,故的0.95单侧置信下限观测值为,的0.95单侧置信上限观测值为。5. 某单位职工每天的医疗费服从正态分布,现抽查了25天,得元,元,求职工每天医疗费均值的双侧0.95置信区间。解 由于未知,故的双侧置信区间为,代入数据得,故的0.95双侧置信区间观测值为,即为。6. 某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。设罐头质量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响。从甲生产线并假设抽取10只管头测得其平均质量,已知其总体标准差;从乙生产线抽取20只罐头测得其平均质量,已知其总体标准差,求甲乙两
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