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,欢迎进入数学课堂,2.3.2双曲线的简单几何性质,一、知识再现前面我们学习了椭圆的简单的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率.我们来共同回顾一下椭圆x2/a2+y2/b2=1(ab0)几何性质的具体内容及其研究方法.,|x|a、|y|b,x2/a21、y2/b21,中心对称，轴对称,-x代x、-y代y,A1(-a,0),A2(a,0)B1(0-b),B2(0,b),分别令x=0，y=0,a(长半轴长)c（半焦距长）b（短半轴长)a2=b2+c2,焦距与长轴长的比e=c/a0e1,a(长半轴长)c（半焦距长）b（短半轴长)a2=b2+c2,焦距与长轴长的比e=c/a00、b0)的各支向外延伸时，与矩形的两条对角线所在的直线逐渐接近.,请思考：结论正确吗?,F2,y,B1,A2,A1,B2,0,x,F1,（一）、我们共同来设计一个方案：,八、我们一起来证明,1、由双曲线的对称性我们只需研究第一象限的情形；,2、如何说明双曲线x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交呢？,M(x,y),Q,（2）如何说明|MQ|逐渐减小且不等于0呢？,0,x,y,b,a,L,N(x,Y),（3）如何证明|MN|逐渐减小且不等于0呢？我们可用方程的思想解决：|MN|=Y-y，求出M、N点坐标即可.,为此我们过点M作一条直线L与y轴平行，交矩形对角线与N点，坐标记为N（x，Y）.我们需证明N点在M点上方，即证yY.又|MQ|MN|，所只需证明|MN|逐渐减小且不等于0即可.,（1）我们在第一象限内双曲线图象上任取一点M（x,y），过M点向矩形的对角线y=bx/a引垂线，垂足为Q点。我们只需说明|MQ|逐渐减小且不等于0即可.,（二）、我们来证明,先取双曲线在第一象限内的部分进行证明这一部分的方程可写为,0,x,y,N(x,Y),Q,M(x,y),在该式子中x(xa)逐渐增大时，|MN|逐渐减小且不等于0.又|MQ|MN|，所以|MQ|逐渐减小且不等于0.即双曲线x2/a2-y2/b2=1在第一象限内与矩形的对角线所在的直线逐渐接近且不相交.在其它象限内，我们可类似证明.,y,N(x,Y),M(x,y),（三）、请注意：,1、当焦点在y轴上时也可类似证明具有同样性质；,2、我们把两条直线y=bx/a叫做双曲线的渐近线.,3、当焦点在x轴上时，方程为x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，渐近线方程为y=bx/a；当焦点在y轴上时，方程为y2/a2-x2/b2=1(a0,b0)，渐近线方程为y=ax/b.,九、动脑筋,1、如何求双曲线的渐近线？例：求下列双曲线的渐近线（1）9y2-16x2=144；（2）9y2-16x2=-144.,规律总结：（1）求矩形对角线所在的直线方程；,解答：（1）y=4x/3，（2）y=4x/3,0,y,b,a,（2）化成标准式后再将1换成0或直接将常数项换为0.,2、双曲线与其渐近线之间是否是一对一关系？,例：当渐近线方程为y=bx/a时，双曲线的标准方程一定是x2/a2-y2/b2=1吗？为什么？,x,y=bx/a,y=-bx/a,3、类比作椭圆的简图,如何较规范地作出双曲线的图形？,例：画出下列双曲线的图形（1）9y2-16x2=144；（2）x2-y2=4.,注:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.,M,-3,3,4,-4,十、让我们来共同回顾本节课我们共同学习了那些内容：,y,F2,B1,A2,A1,B2,0,x,F1,X=a,X=-a,y,F2,B1,A2,A1,B2,0,x,F1,X=a,X=-a,y,x,o,A2,A1,B1,B2,F1,F2,双曲线的渐近线,当焦点在x轴上时，方程为x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，渐近线方程为y=bx/a；当焦点在y轴上时，方程为y2/a2-x2/b2=1(a0,b0)，渐近线方程为y=ax/b.,B1,A2,A1,B2,0,x,F1,X=a,X=-a,1、离心率e的变化对双曲线图形有何影响？如何解释？,十一、课后请你思考题,0,y,b,a,F1,C,F2,x,0,y,e1,e2,e3,e4,2、如图，双曲线和椭圆的离心率分别为e1、e2、e3、e4,试比较e1、e2、e3、e4的大小.,再见!,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,同学们,来学校和回家的路上要注意安全,
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