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17-1 5-1设有一宇 宙飞船， 相对于地 球作匀速 直线运动 ，若在地 球上测得 飞船的长 度为其静止长 度的一半 ，问飞船 相对地球 的速度是 多少 ?解 飞船静 止长度 0l为其固 有长度 ， 地球上 测得其长 度为运动 长度 ， 由长度 收缩公式 ， 有 ： 2)(1 020 lcvll =解得： 23=cv即： ccv 866.0 23=5-2宇宙射 线与大气 相互作用 时能产生 介子衰 变，此衰 变在大气 上层放出 粒子， 已知 粒子的速率为 v 0.998c，在实验室测得静止 粒子的平均寿命为 s102.2 6 ，试问在 8000m高空产 生的 粒子能 否飞到地 面 ?解 地面上 观测到的 子平均 寿命与固 有寿命之 间的关系 20 1 = cvtt 子运行 距离 m1042998.01102.2998.01 2620 = ccvtvvtl子能飞 到地面。 5-3在 S系中观测到两个事件同时发生在 x轴上，其间距离为 1m，在 S系中观测这两个事 件之间的 距离是 2m。求在 S中测得 的这两个 事件发生 的时间间 隔。解 在 S系中两 事件时间 间隔 ,0=t 由 Lorentz变换 222 )/(1)/(1 cuxc uttcuutxx = 得： = = = 2222 22 )/(1)/(1 )/(1)/(1 cuxcucuxcutt cuxcutuxx 将 m1m ,2 = xx 代入上 两式，得 s1077.5,23 9= tcu 17-2 5-4远方一 颗星体以 0.80c的速率 离开我们 ， 我们接 收到它辐 射来的闪 光按 5昼夜的 周期变化 ，求固定 在这星体 上的参考 系中测得 的闪光周 期。 解 所求的 为固有周 期 0T： 380.015)/(1 22 0 = cvTT 昼夜5-5假设一 飞船的速 率可达 u 0.5c， 它沿着 广州和北 京的连线 飞行 ， 已知广 州到北京 的直线 距离为 km1089.1 3 ，问飞 船中的乘 客观测到 广州到北 京的直线 距离是多 少 ?解 已知固 有长度 km1089.1 3 0 =l km106368.15.011089.11 32320 = cvll 5-61966 1972年间 ， 欧洲原 子核研究 中心 (CERN)多次测 量到储存 环中沿 “ 圆形轨 道 ”运行的 粒子的 平均寿命 ， 在 粒子的 速率为 0.9965c时 ， 测得的 平均寿命 是 s1015.26 6 。 粒子固 有寿命的 实验值是 610197.2 s。问实 验结果与 相对论理 论值符合 的程度如 何 ?解 粒子固 有寿命理 论值 s10186.29965.0110615.21 62620 = cvtt与实验 值比较， 相对误差 0.5%，两者 符合得极 好。 5-7在惯性 系 S中的同 一地点发 生 A、 B两个事 件 ， B晚于 A4s， 在另一 惯性系中 S中观测到 B晚于 A5s，求： (1)这两个参考系的相对速率是多少 ?(2)在 S系这两个事件发生的地点 间的距离 是多少 ? 解 (1)由题意 知，固有 时 s40= ，根据 时间膨胀 公式， 20 )/(1 cu= 有： 5/4/)/(1 02 = cu由此得 ,53=cu 即 cu53= (2)应用 Lorentz变换式 ，得： 2)/(1 cuutxx = 17-3 所以 cccutucutuxx 354453)/(1)/(1 22 = = 因而 S系中这 两个事件 发生地点 间相距 3c。5-8有一宇航员乘速率为 1000skm 的火箭由地球前往火星，宇航员测得他经 40h到 达火星 ，求地面 上观测者 测得的时 间与宇航 员测得的 时间差。 解 宇航员 测得的是 固有时间 0t，地面 测得的时 间小时00022.40 1 20 = cvtt 小时400=t所以 小时 40 102.2 =tt 5-9(1)火箭 A以 0.8c的速率 相对于地 球向东飞 行 ， 火箭 B以 0.6c的速率 相对地球 向西飞行 ，求火箭 B测得火 箭 A的速率 的大小和 方向。(2)如果火 箭 A向正北 飞行 ， 火箭 B仍然向 西飞行 ， 则由火 箭 B测得火 箭 A的速率 大小 中方向 又如何 ?解 (1)选地球 为 S系，火 箭 B为 S系，并 设正东为 x轴正向 ，则对 A有：0,8.0,6.0 xyx = vvcvcu由速度 变换公式 ，得： cc cc ccvcuuvv x 946.06.08.01 6.08.01 2x2x =+ +=方向为 正东。 (2)坐标系 仍如 (1)问， cvvvcu 8.0,0,6.0 yzx = 由速度 变换公式 ，有 cv cuuvv 6.01 x2xx = c vcucuvv 64.01 )/(1 x2 2yy = 0 z=v cvvvv 87.02 z2y2x =+= 17-4 有正东 方向夹角 为 83.46877.06.0coscos 1x1 = ccvv 5-10一空 间飞船以 0.5c的速 率从地球 发射，在 飞行中飞 船又向前 方相对自 己以 0.5c的速率 发射一火 箭，问地 球上的观 测者测得 火箭的速 率是多少 ?解 地面取为 S系，飞船取为 S系，则 cv 5.0= ， cu 5.0 x= 。对地面观测者而言火箭速率c c cc cccvuvuu 8.05.05.01 5.05.01 22xxx =+ +=+=5-1 半人马 星座的口 星距地球 为 16103.4 m ，设有 一飞船以 0.999c的速率 往返于 。 星与地球 之间。由 地球上观 测，飞船 往返一次 需多少时 间 ?若在飞 船上观测 ，往返一 次需多少时间 ? 解 取地球 为 S系，飞 船为 S系，地 球上观测 飞船往返 一次需时 ： cuxt 999.0/103.42/22 16= 81087.2 = S 由 Lorentz变换， 飞船上观 测，往返 一次需时 ： 722 1028.1)/(122 = = cuxcutt s 本题第 二问也可 用尺缩效 应来求， 飞船上看 来，距离 为 xcux = 2)/(1 ，时间 为 uxt /22 = 还可以 用钟慢效 应来求 ， 飞船上 人观测往 返一次这 两件事发 生在同一 地点 ， 故飞船 测得的为固有时 ，因而： 72 1028.1)/(122 = cutt s 5-12地球上 的观测者 发现 ， 一只以 速率 0.60c向东航 行的宇宙 飞船将在 5s后同一 个 以0.80c速率向 西飞行的 慧星相撞 。 (1)飞船中 的人将观 测到慧星 以多大的 速率向他 们接近 ?(2)按照飞 船上的钟 ，还有多 少时间允 许他们离 开原来的 航线避免 相撞 ? 解 地球取 为 S系 ， 飞船取 为 S系 ， 由已知 条件 ， 当取 x轴向东 时 ， cv 6.0= ， cu 80.0 x = ，st 5= 。飞船 上人观测 彗星速率 ccccvuvuu 946.060.080.01 60.080.01 2xxx =+ = 负号表 示彗星向 西飞行。 时间间隔 t在飞船 中观测应 为 t 17-5 221 = cvc xvtt 式中 x为相撞 浅 s中彗星 飞行距离 。 tux = x 所以 s25.9111 2222 = tcvcvucvcxvtt x 5-13设一火 箭的静止 质量为 100t， 当它以 第二宇宙 速度飞行 时 ， 它的质 量增加了 多少 ?解 sm1012.1skm2.11 4=v m0000000009.110312.11 11 2520 = cvmm g109109 20100 = mmmm 5-14要使电 子的速率 从 sm102.1 8 增加到 sm104.2 8 必须做 多少功 ?解 由动能 定理，外 力所作的 功为 )/(11)/(11( 2122202 cvcvcmmcA =代入数 据，得 J1072.4)091.1667.1(10199.8 1414 =A 5-15某粒子 的静止质 量为 0m，当其 动能等于 其静能时 ，其质量 和动量各 等于多少 ?解 动能为 202k cmmcE = 由已知 条件 20k cmE= ，故 2)/(1/1 2= cv 解出 cv 23= 所以有 020 2)/(1 mcvmm = 17-6 因此 cmmvp 03=5-16太阳的 辐射能来 自其内部 的核聚变 反应 。 太阳每 秒钟向周 围空间辐 射出的能 量约 为 sJ105 28 ，由于 这个原因 ，太阳每 秒钟减少 多少质量 ?解 ( ) kg1056.5103105 1228282 = cEm 5-17一颗核 弹含 有 20kg的钚 ， 爆炸后 的生成物 的静止质 量比原来 的静止质 量小 410分之一， 求爆炸中 释放的能 量。 解 由质能 关系，得 ： 2mcE= 284 )103(1020 = J1080.1 14= 5-18假设一个静止质量为 0m、动能为 202cm的粒子同一个静止质量为 02m，处于静止状态 的粒子相 碰撞并结 合在一起 ，试求碰 撞后结合 在一起的 粒子的静 止质量。 解 依题意 ，得： )1)/(11( 220k = cvcmE 202cm= 故有 cvcv 2323)/(11 2 =由动量 守恒、能 量守恒定 律，得 2020 )/(1)/(1 cvvmcvvm = 22022020 )/(1)/(112 cvcmcvcmcm =+可解得 00 17mm= 5-19在北京 的正负电 子对撞机 中 ， 电子可 以被加速 到动能为 eV108.2 9k =E 。 这种电子的速 率与光速 相差多大 ?一个电 子的动量 是多大 ?(电子的 静止能量 eV10511.0 60 =E )。 解 因为 = 111220k cmE 所以 548010511.0 108.21111 6920k2 =+=+= cmE 17-7 999999983.0548011 2=( ) 18 sm9.4106.11 = ccvc 1183120 smkg105.1000000083.01011.954801 = ccvvmp 5-20静止质 量为 0M的粒子 在静止时 衰变为静 止质量为 10m和 20m的两个 粒子。试 求静止质量 为 10m的粒子 的能量 1E和速度 1v。解 根据动 量、能量 守恒定律 列出方程 () () += += 2 110 111 2222021110 222202121020 cvvmcvvm cvcmcvcmcM 令 cv11= 、 cv22= ，上两 式化为 () () += += 4110 311 2222021110 222021100 mm mmM 从 (4)式得 ( ) ()51 2121021220 2121022 mm m+=(5)式代入 (3)式消去 2，经代 数运算解 出 21 22 2021020 0101 21 += mmM Mm 21 22 2021020 0101 21 += mmM Mmcv 20 22021020222101 21 cMmmMcmE += 17-8 5-21试估计 地球、太 阳的史瓦 西半径解 :史瓦西 半径 22cGMrs=地球： kg106 24M 则： m109.8)103( 106107.62 328 241 = =sr 太阳： kg102 30M则： 328 301 103)103( 102107.62 = = sr m 5-22典型中 子星的质 量与太阳 质量 M 2 1030kg 同数量 级，半径 约为 10km若进 一步坍缩为 黑洞 ， 其史瓦 西半径为 多少 ?一个质 子那么大 小的微黑 洞 (10-15cm)， 质量是 什么数量 级 ?解 :(1)史瓦西 半径与太 阳的相同 ， 3103= sr m(2)1510= sr cm 1710= m由 22cGMrs=得 9128172 107.6107.62 )103(102 = = GcrMs kg5-23简述广 义相对论 的基本原 理和实验 验证 解 :广义相 对论的基 本原理是 等效原理 和广义相 对性原理 等效原 理又分为 弱等效原 理和强等 效原理 弱等效 原理是 ： 在局部 时空中 ， 不可能 通过力学实验区 分引力和 惯性力 ， 引力和 惯性力等 效 强等效 原理是 ： 在局部 时空中 ， 任何物 理实验 都不能 区分引力 和惯性力 ，引力和 惯性力等 效 广义相 对性原理 是：所有 参考系都 是平权的 ，物理定 律的表述 相同 广义相 对论的实 验验证有 ： 光线的 引力偏转 ， 引力红 移 ， 水星近 日点进动 ， 雷达回 波延迟等
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