排列组合二项式答案.pdf

计 数 原 理 (排 列 组 合 二 项 式 ) 【 学 法 导 航 】 1 分 类 应 在 同 一 标 准 下 进 行 ， 确 保 “不 漏 ”、 “不 重 ”， 分步 要 做 到 “步 骤 连 续 ”和 “步 骤 独 立 ”， 并 能 完 成 事 项 . 2 界 定 “元 素 与 位 置 ”要 辩 证 地 看 待 ， “特 殊 元 素 ”、 “特 殊位 置 ”可 直 接 优 先 安 排 ， 也 可 间 接 处 理 . 3 解 排 列 组 合 综 合 问 题 注 意 先 选 后 排 的 原 则 ， 复 杂 的 排列 、 组 合 问 题 利 用 分 类 思 想 转 化 为 简 单 问 题 求 解 . 4 常 见 的 解 题 策 略 有 以 下 几 种 ：（ 1 ） 特 殊 元 素 优 先 安 排 的 策 略 ； （ 2 ） 合 理 分 类 与 准 确 分 步 的 策 略 ； （ 3 ） 排 列 、 组 合 混 合 问 题 先 选 后 排 的 策 略 ；（ 4 ） 正 难 则 反 、 等 价 转 化 的 策 略 ； （ 5 ） 相 邻 问 题 捆 绑 处 理 的 策 略 ； （ 6 ） 不 相 邻 问 题 插 空 处 理 的 策 略 ；（ 7 ） 定 序 问 题 除 法 处 理 的 策 略 ； （ 8 ） 分 排 问 题 直 排 处 理 的 策 略 ； （ 9 ） “小 集 团 ”排 列 问 题 中 先 整 体 后 局 部 的 策 略 ；（ 1 0 ） 构 造 模 型 的 策 略 . 5 二 项 式 定 理 解 题 ： 四 大 热 点 ， 四 条 规 律 ：（ 1 ） 四 大 热 点 ： 通 项 运 用 型 ； 系 数 配 对 型 ； 系 数 和 差 型 ； 综 合 应 用 型 .（ 2 ） 四 条 规 律 ： 常 规 问 题 通 项 分 析 法 ； 系 数 和 差 赋 值 法 ； 近 似 问 题 截 项 法 ； 整 除 （ 或 余 数 ） 问 题 展 开 法 .1 . 分 类 加 法 与 分 步 乘 法 计 数 原 理 例 1 .从 甲 地 到 乙 地 ,可 以 乘 火 车 ,也 可 以 乘 汽 车 ,还 可 以 乘 轮船 。 一 天 中 ， 火 车 有 4 班 ， 汽 车 有 2 班 ， 轮 船 有 3 班 。 那 麽 一 天 中 乘 坐 这 些 交 通 工 具 从 甲 地 到 乙 地 共 有 多 少 种 不 同 的 走法 ？ 【 解 析 】 因 为 一 天 中 乘 火 车 有 4 种 走 法 ， 乘 汽 车 有 2 种 走 法 ， 乘轮 船 有 3 种 走 法 ， 每 一 种 走 法 都 可 以 从 甲 地 到 乙 地 ， 因 此 ， 一 天 中 乘 坐 这 些 交 通 工 具 从 甲 地 到 乙 地 共 有 4 +2 +3 =9 种 不 同 的走 法 。 例 2 .（ 东 城 ） 某 银 行 储 蓄 卡 的 密 码 是 一 个 4 位 数 码 ， 某 人 采 用 千 位 、 百 位 上 的 数 字 之 积 作 为 十 位 和 个 位 上 的 数 字 （ 如 2 8 1 6 ）的 方 法 设 计 密 码 ， 当 积 为 一 位 数 时 ， 十 位 上 数 字 选 0 ， 并 且 千 位 、 百 位 上 都 能 取 0 .这 样 设 计 出 来 的 密 码 共 有 （ ）A 9 0 个 B 9 9 个 C 1 0 0 个 D 1 1 2 个 【 解 析 】 由 于 千 位 、 百 位 确 定 下 来 后 十 位 、 个 位 就 随 之 确定 ， 则 只 考 虑 千 位 、 百 位 即 可 ， 千 位 、 百 位 各 有 1 0 种 选 择 ， 所 以 有 1 0 1 0 种 =1 0 0 种 .故 选 C.2 排 列 与 组 合 例 3 . （ 北 京 ） 用 数 字 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 组 成 的 无 重 复 数 字 的 四 位偶 数 的 个 数 为 （ ） A 8 B 2 4 C 4 8 D 1 2 0 【 解 析 】 本 题 主 要 考 查 排 列 组 合 知 识 以 及 分 步 计 数 原 理 知 识 . 属于 基 础 知 识 、 基 本 运 算 的 考 查 .2和 4排 在 末 位 时 ， 共 有 种 排 法 ， 其 余 三 位 数 从 余 下 的 四 个 数 中 任 取 三 个 有 种 排 法 ， 于 是 由 分 步 计 数 原 理 ， 符 合 题 意 的 偶 数 共 有 （ 个 ） .故 选 C. 例 4 . （ 全 国 卷 理 ） 甲 组 有 5 名 男 同 学 ， 3 名 女 同 学 ； 乙 组 有 6名 男 同 学 、 2 名 女 同 学 。 若 从 甲 、 乙 两 组 中 各 选 出 2 名 同 学 ， 则 选 出 的 4 人 中 恰 有 1 名 女 同 学 的 不 同 选 法 共 有 ( D )（ A） 1 5 0 种 （ B） 1 8 0 种 （ C） 3 0 0 种 (D)3 4 5 种 解 : 分 两 类 (1) 甲 组 中 选 出 一 名 女 生 有 种 选 法 ; . (2) 乙 组 中 选 出 一 名 女 生 有 种 选 法 .故 共 有 345种 选 法 .选 D例 5 . （ 四 川 ） 2 位 男 生 和 3 位 女 生 共 5 位 同 学 站 成 一 排 ， 若 男 生 甲 不 站 两 端 ， 3 位 女 生 中 有 且 只 有 两 位 女 生 相 邻 ， 则 不 同 排 法的 种 数 是 A. 6 0 B. 4 8 C. 4 2 D. 3 6【 解 析 】 解 法 一 、 从 3 名 女 生 中 任 取 2 人 “捆 ”在 一 起 记 作 A， （ A共 有 种 不 同 排 法 ） ， 剩 下 一 名 女 生 记 作 B， 两 名 男 生 分 别 记 作 甲 、乙 ； 则 男 生 甲 必 须 在 A、 B之 间 （ 若 甲 在 A、 B两 端 。 则 为 使 A、 B不 相 邻 ， 只 有 把 男 生 乙 排 在 A、 B之 间 ， 此 时 就 不 能 满 足 男 生甲 不 在 两 端 的 要 求 ） 此 时 共 有 6 2 1 2 种 排 法 （ A左 B右 和 A右 B 左 ） 最 后 再 在 排 好 的 三 个 元 素 中 选 出 四 个 位 置 插 入 乙 ， 所 以 ，共 有 1 2 4 4 8 种 不 同 排 法 。 解 法 二 ； 同 解 法 一 ， 从 3 名 女 生 中 任 取 2 人 “捆 ”在 一 起 记 作 A，（ A共 有 种 不 同 排 法 ） ， 剩 下 一 名 女 生 记 作 B， 两 名 男 生 分 别 记 作 甲 、乙 ； 为 使 男 生 甲 不 在 两 端 可 分 三 类 情 况 ： 第 一 类 ： 女 生 A、 B在 两 端 ， 男 生 甲 、 乙 在 中 间 ， 共 有 =2 4 种 排 法 ； 第 二 类 ： “捆 绑 ”A和 男 生 乙 在 两 端 ， 则 中 间 女 生 B和 男 生 甲 只 有 一 种 排 法 ， 此 时 共 有 1 2 种 排 法 第 三 类 ： 女 生 B和 男 生 乙 在 两 端 ， 同 样 中 间 “捆 绑 ”A和 男 生 甲 也 只 有 一 种 排 法 。 此 时 共 有 1 2 种 排 法 三 类 之 和 为 2 4 1 2 1 2 4 8 种 。 . 3 .二 项 式 定 理 的 通 项 公 式 例 6 . （ 重 庆 卷 理 ） 的 展 开 式 中 的 系 数 是 （ ） A 1 6 B 7 0 C 5 6 0 D 1 1 2 0 【 解 析 】 设 含 的 为 第 ， 所 以 ， 故 系 数 为 ： ，4 二 项 式 定 理 的 综 合 应 用 例 7 .（ 济 南 ） (x 2 + 1 )(x 2 )9 = a0 + a1 (x 1 ) + a2 (x 1 )2 + a3 (x 1 )3 + + a1 1 (x 1 )1 1 ， 则 a1 + a2 + a3 + +a1 1 的 值 为 . 【 解 析 】 令 x = 1 ， 得 2 (1 ) 9 = a0 ， 令 x = 2 ， 得 (2 2 + 1 )0 = a0 + a1 + +a1 1 ， 联 立 知 a1 + a2 + +a1 1 = 2 . 例 8 .（ 陕 西 ） 若 ,则 的 值 为 A. 2 B.0 C. D. 解 析 ,则 , 同 理 可 以 得 出 , 亦 即 前 2 0 0 8 项 和 为 0 , 则 原 式 = = 故 选 C.【 专 题 综 合 】 1 二 项 式 与 推 理 综 合 问 题例 （ 2 0 0 9 浙 江 卷 理 ） 观 察 下 列 等 式 ： ， ， ， ， 由 以 上 等 式 推 测 到 一 个 一 般 的 结 论 ： 对 于 ， 答 案 解 析 这 是 一 种 需 类 比 推 理 方 法 破 解 的 问 题 ， 结 论 由 二 项 构 成 ， 第 二 项 前 有 ， 二 项 指 数 分 别 为 ， 因 此 对 于 ， 2 排 列 组 合 求 概 率 问 题例 (重 庆 理 ） 锅 中 煮 有 芝 麻 馅 汤 圆 6 个 ， 花 生 馅 汤 圆 5 个 ， 豆 沙 馅 汤 圆 4 个 ， 这 三 种 汤 圆 的 外 部 特 征 完 全 相 同 。 从 中 任 意 舀 取 4个 汤 圆 ， 则 每 种 汤 圆 都 至 少 取 到 1 个 的 概 率 为 （ ） A B C D 【 解 析 】 因 为 总 的 滔 法 而 所 求 事 件 的 取 法 分 为 三 类 ， 即 芝 麻 馅 汤 圆 、 花 生 馅 汤 圆 。 豆沙 馅 汤 圆 取 得 个 数 分 别 按 1 .1 .2 ； 1 ， 2 ， 1 ； 2 ， 1 ， 1 三 类 ， 故 所 求 概 率 为 一 .常 规 问 题 逐 分 法 :有 序 分 配 问 题 指 把 元 素 分 成 若 干 组 ， 可 用 逐 步 下 量分 组 法 . 1.有 甲 乙 丙 三 项 任 务 ， 甲 需 2人 承 担 ， 乙 丙 各 需 一 人 承 担 ， 从 10人 中 选出 4人 承 担 这 三 项 任 务 ， 不 同 的 选 法 种 数 是 种 . 解 析 ： 先 从 10人 中 选 出 2人 承 担 甲 项 任 务 ， 再 从 剩 下 的 8人 中 选 1人 承 担乙 项 任 务 ， 第 三 步 从 另 外 的 7人 中 选 1人 承 担 丙 项 任 务 ， 不 同 的 选 法 共 有 种 .2.12名 同 学 分 别 到 三 个 不 同 的 路 口 进 行 流 量 的 调 查 ， 若 每 个 路 口 4人 ， 则 不 同 的 分 配 方 案 有 种 .3. 公 共 汽 车 上 有 3 个 座 位 ， 现 在 上 来 5 名 乘 客 ， 每 人 坐 1 个 座 位 ， 有 几 种 不 同 的 坐 法 ？解 析 ： 将 5 名 乘 客 看 作 5 个 元 素 ， 3 个 空 位 看 作 3 个 位 置 ， 则 问 题 变 为 从 5 个 不 同 的 元 素 中 任 选 3 个 元 素 放 在 3 个 位 置 上 ， 共 有 种 不 同 坐 法 。4.公 共 汽 车 上 有 5个 座 位 ， 现 在 上 来 3名 乘 客 ， 每 人 坐 1个 座 位 ， 有 几 种 不 同 的 坐 法 ？解 析 ： 将 5个 空 位 看 作 元 素 ， 而 将 乘 客 看 作 位 置 ， 则 变 成 了 ， 所 以 在 解 决 排 列 组 合 问 题 时 ， 合 理 选 择 主 元 ， 就 是 选 择 合 适 解 题 方 法 的 突 破口 。 二 .可 重 排 列 求 幂 法 :允 许 重 复 排 列 问 题 的 特 点 是 以 元 素 为 研 究 对 象 ， 元素 不 受 位 置 的 约 束 ， 可 逐 一 安 排 元 素 的 位 置 ， 一 般 地 个 不 同 元 素 排 在 个 不 同 位 置 的 排 列 数 有 种 方 法 .1.把 6名 实 习 生 分 配 到 7个 车 间 实 习 共 有 多 少 种 不 同 方 法 ？ 解 析 ： 完 成 此 事 共 分 6步 ， 第 一 步 ； 将 第 一 名 实 习 生 分 配 到 车 间 有 7种 不同 方 案 ， 第 二 步 ： 将 第 二 名 实 习 生 分 配 到 车 间 也 有 7种 不 同 方 案 ， 依 次 类 推 ， 由 分 步 计 数 原 理 知 共 有 种 不 同 方 案 .2. 5 名 运 动 员 争 夺 3 个 项 目 的 冠 军 （ 没 有 并 列 ） ， 所 以 可 能 的 结 果 有 多 少 种 ？解 析 ： 因 为 同 一 运 动 员 可 以 同 时 夺 得 几 项 冠 军 ， 故 运 动 员 可 以 重 复 排 列 ， 将 5 名 运 动 员 看 作 五 个 信 箱 ， 3 项 冠 军 看 成 3 封 信 ， 每 封 信 可 以 投 进五 个 信 箱 ， 有 5 种 投 递 方 法 。 由 乘 法 原 理 知 有 5 3 种 . 三 .特 殊 元 素 优 先 法 ： 某 个 或 几 个 元 素 要 排 在 指 定 位 置 ， 可 先 排 这 个 或 几 个 元 素 ； 再 排 其 它 的 元 素 。1. 6人 站 成 一 横 排 ， 其 中 甲 不 站 左 端 也 不 站 右 端 ， 有 多 少 种 不 同 站 法 ？ 解 析 1： （ 元 素 分 析 法 ） 因 为 甲 不 能 站 左 右 两 端 ， 故 第 一 步 先 让 甲 排 在左 右 两 端 之 间 的 任 一 位 置 上 ， 有 种 站 法 ； 第 二 步 再 让 其 余 的 5人 站 在 其 他 5个 位 置 上 ， 有 种 站 法 ， 故 站 法 共 有 ： 480（ 种 ） .解 析 2： （ 位 置 分 析 法 ） 因 为 左 右 两 端 不 站 甲 ， 故 第 一 步 先 从 甲 以 外 的 5 个 人 中 任 选 两 人 站 在 左 右 两 端 ， 有 种 ； 第 二 步 再 让 剩 余 的 4个 人 （ 含 甲 ） 站 在 中 间 4个 位 置 ， 有 种 ， 故 站 法 共 有 ： （ 种 ） .2 .从 6个 运 动 员 中 选 出 4个 参 加 4 100 米 接 力 赛 。 如 果 甲 、 乙 都 不 能 跑 第 一 棒 ， 那 么 共 有 多 少 种 不 同 的 参 赛 方 案 ？解 析 ： C41A53=240种 . 3.电 视 台 连 续 播 放 6 个 广 告 ， 其 中 含 4 个 不 同 的 商 业 广 告 和 2 个 不 同 的 公益 广 告 ， 要 求 首 尾 必 须 播 放 公 益 广 告 ， 则 共 有 种 不 同 的 播 放 方 式 （ 结 果 用 数 值 表 示 ） . 解 析 ： 分 二 步 ： 首 尾 必 须 播 放 公 益 广 告 的 有 A2 2 种 ； 中 间 4 个 为 不 同 的 商 业 广 告 有 A4 4 种 ， 从 而 应 当 填 A2 2 A4 4 4 8 . 从 而 应 填 4 8 四 .交 叉 问 题 集 合 法 ： 某 些 排 列 组 合 问 题 几 部 分 之 间 有 交 集 ， 可 用 集 合中 求 元 素 个 数 公 式 . 1.从 6名 运 动 员 中 选 出 4人 参 加 4 100米 接 力 赛 ， 如 果 甲 不 跑 第 一 棒 ， 乙不 跑 第 四 棒 ， 共 有 多 少 种 不 同 的 参 赛 方 案 ？ 解 析 ： 设 全 集 = 6人 中 任 取 4人 参 赛 的 排 列 ， A= 甲 跑 第 一 棒 的 排列 ， B= 乙 跑 第 四 棒 的 排 列 ， 根 据 求 集 合 元 素 个 数 的 公 式 得 参 赛 方 法 共 有 ：种 . 2.安 排 5 名 歌 手 的 演 出 顺 序 时 ， 要 求 某 名 歌 手 不 第 一 个 出 场 ， 另 一 名 歌手 不 最 后 一 个 出 场 ， 不 同 排 法 的 总 数 是 7 8 .(用 数 字 作 答 ) . 解 析 ： A55-A44-A44+A33=78五 .相 邻 问 题 捆 绑 法 :题 目 中 规 定 相 邻 的 几 个 元 素 捆 绑 成 一 个 组 ， 当 作 一 个 大 元 素 参 与 排 列 .1.五 人 并 排 站 成 一 排 ， 如 果 必 须 相 邻 且 在 的 右 边 ， 那 么 不 同 的 排 法 种 数 有 种 .解 析 ： 把 视 为 一 人 ， 且 固 定 在 的 右 边 ， 则 本 题 相 当 于 4人 的 全 排 列 ， 种 2 .有 件 不 同 的 产 品 排 成 一 排 ， 若 其 中 A、 B两 件 不 同 的 产 品 排 在 一 起 的 排法 有 4 8 种 ， 则 ？ 解 析 ： 对 于 含 有 某 几 个 元 素 相 邻 的 排 列 问 题 可 先 将 相 邻 元 素 “捆 绑 ”起 来视 为 一 个 大 元 素 ， 与 其 他 元 素 一 起 进 行 了 全 排 列 ， 然 后 瑞 对 相 邻 元 素 内 部 进 行 全 排 列 ， 这 就 是 处 理 相 邻 排 列 问 题 的 “捆 绑 ”方 法 。将 A、 B两 件 产 品 看 作 一 个 大 元 素 ， 与 其 他 产 品 排 列 有 种 排 法 ； 对 于 上 述 的 每 种 排 法 ， A、 B两 件 产 品 之 间 又 有 种 排 法 ， 由 分 步 计 数 原 理 得 满 足 条件 的 不 同 排 法 有 =4 8 种 ， 故 3 . 3 个 女 生 与 5 个 男 生 排 在 一 起 ， 女 生 必 须 在 一 起 ， 可 以 有 多 少 种 不 同 的方 法 ？ 解 析 ： 因 为 3 个 女 生 必 须 排 在 一 起 ， 所 以 可 以 把 她 们 看 作 一 个 整 体 ， 连同 5 个 男 生 共 6 个 元 素 ， 排 成 一 排 有 A 6 6 种 不 同 的 排 法 ， 同 时 每 种 排 法 中 ， 女 生 之 间 又 有 A3 3 种 不 同 的 排 法 ， 利 用 分 步 记 数 原 理 ， 可 得 有 A6 6 A3 3种 不 同 的 排 法 。 六 .相 离 问 题 插 空 法 :元 素 相 离 （ 即 不 相 邻 ） 问 题 ， 可 先 把 无 位 置 要 求 的几 个 元 素 全 排 列 ， 再 把 规 定 的 相 离 的 几 个 元 素 插 入 上 述 几 个 元 素 的 空 位 和 两 端 .1.七 人 并 排 站 成 一 行 ， 如 果 甲 乙 两 个 必 须 不 相 邻 ， 那 么 不 同 的 排 法 种 数 是 种 .解 析 ： 除 甲 乙 外 ， 其 余 5个 排 列 数 为 种 ， 再 用 甲 乙 去 插 6个 空 位 有 种 ， 不 同 的 排 法 种 数 是 种 .2.有 两 排 座 位 ， 前 排 1 1 个 座 位 ， 后 排 1 2 个 座 位 ， 现 安 排 2 个 就 座 ， 规 定 前 排 中 间 的 3 个 座 位 不 能 坐 ， 并 且 这 2 人 不 左 右 相 邻 ， 那 么 不 同 排 法 的种 数 是 （ ） (A) 2 3 4 (B) 3 4 6 (C)3 5 0 (D) 3 6 3解 析 ： 对 于 前 排 中 某 个 元 素 互 不 不 相 邻 的 排 列 问 题 ， 可 先 将 其 它 元 素 排 成 一 排 ， 然 后 将 不 相 邻 的 元 素 插 入 这 些 排 好 的 元 素 之 间 及 两 端 的 空 隙中 ， 这 就 是 解 决 互 不 相 邻 问 题 最 为 奏 效 的 插 空 法 。 将 前 排 中 间 的 5 号 、 6 号 、 7 号 座 位 和 待 安 排 2 人 的 取 出 ， 再 将 剩 下 的 1 8 座位 排 成 一 列 ， 然 后 妆 待 安 排 2 人 的 座 位 插 入 这 1 8 座 位 之 间 及 两 端 的 空 隙 中 ， 使 这 2 人 的 座 位 互 不 相 邻 ， 有 种 方 法 ； 但 在 前 排 的 4 号 与 8 号 座 位 、前 排 的 1 1 号 与 后 排 的 1 号 座 位 之 间 可 以 同 时 插 入 待 安 排 2 人 的 座 位 满 足 条 件 ， 有 种 方 法 。 由 分 类 计 数 原 理 得 到 不 同 排 法 的 种 数 有 （ 种 ） ， 选（ B） 3.7 人 排 成 一 排 照 相 ， 若 要 求 甲 、 乙 、 丙 三 人 不 相 邻 ， 有 多 少 种 不 同 的排 法 ？ 解 析 ： 先 将 其 余 4 人 站 好 ， 有 A4 4 种 排 法 ， 再 于 4 人 之 间 及 两 端 5 个 “空 隙 ”中 选 3 个 位 置 将 甲 、 乙 、 丙 插 入 ， 有 A5 3 种 方 法 。 由 分 步 记 数 原 理 ， 这 样 共 有 A4 4 A5 3 种 不 同 的 排 法 。七 .全 员 分 配 组 配 法 : 1. 将 4名 教 师 分 派 到 3所 中 学 任 教 ， 每 所 中 学 至 少 1名 教 师 ， 则 不 同 的 分派 方 案 共 有 多 少 种 ？ 解 析 ： 可 分 两 步 进 行 ： 第 一 步 先 将 4 名 教 师 分 为 三 组 （ 1 ， 1 ， 2 ） ，（ 2 ， 1 ， 1 ） ， （ 1 ， 2 ， 1 ） ， 共 有 ： （ 种 ） ， 第 二 步 将 这 三 组 教 师 分 派 到 3 种 中 学 任 教 有 种 方 法 。 由 分 步 计 数 原 理 得 不 同 的 分 派 方 案 共 有 ： （ 种 ） ， 因 此 共 有 3 6 种 方 案 .2.5本 不 同 的 书 ， 全 部 分 给 4个 学 生 ， 每 个 学 生 至 少 一 本 ， 不 同 的 分 法 种 数 为 240种 .3.四 个 不 同 球 放 入 编 号 为 1， 2， 3， 4的 四 个 盒 中 ， 则 恰 有 一 个 空 盒 的 放 法 有 多 少 种 ？解 析 ： 先 取 四 个 球 中 二 个 为 一 组 ， 另 二 组 各 一 个 球 的 方 法 有 种 ， 再 排 ： 在 四 个 盒 中 每 次 排 3个 有 种 ， 故 共 有 种 .4.9名 乒 乓 球 运 动 员 ， 其 中 男 5名 ， 女 4名 ， 现 在 要 进 行 混 合 双 打 训 练 ， 有 多 少 种 不 同 的 分 组 方 法 ？解 析 ： 先 取 男 女 运 动 员 各 2名 ， 有 种 ， 这 四 名 运 动 员 混 和 双 打 练 习 有 中 排 法 ， 故 共 有 种 .5 .对 某 种 产 品 的 6 件 不 同 正 品 和 4 件 不 同 次 品 一 一 进 行 测 试 ， 至 区 分 出 所 有 次 品 为 止 ， 若 所 有 次 品 恰 好 在 第 5 次 测 试 时 被 全 部 发 现 ， 则 这 样 的 测试 方 法 有 多 少 种 可 能 ? 解 析 ： 第 5 次 必 测 出 一 次 品 ， 余 下 3 件 次 品 在 前 4 次 被 测 出 ， 从 4 件 中 确 定最 后 一 件 次 品 有 种 方 法 ， 前 4 次 中 应 有 1 件 正 品 、 3 件 次 品 ， 有 种 ， 前 4 次 测 试 中 的 顺 序 有 种 ， 由 分 步 计 数 原 理 即 得 ： （ ） 5 7 6 。6 .3 名 教 师 分 配 到 6 个 班 里 ， 各 人 教 不 同 的 班 级 ， 若 每 人 教 2 个 班 ， 有 多 少 种 分 配 方 法 ？7 .将 1 0 本 不 同 的 专 著 分 成 3 本 ， 3 本 ， 3 本 和 1 本 ， 分 别 交 给 4 位 学 者 阅 读 ， 问 有 多 少 种 不 同 的 分 法 ？8 .某 外 商 计 划 在 四 个 候 选 城 市 投 资 3个 不 同 的 项 目 ,且 在 同 一 个 城 市 投 资 的 项 目 不 超 过 2个 ,则 该 外 商 不 同 的 投 资 方 案 有 ( ) A.16种 B.36种 C.42种 D.60种 解 析 ： 有 两 种 情 况 ， 一 是 在 两 个 城 市 分 别 投 资 1 个 项 目 、 2 个 项 目 ， 此 时有 ， 二 是 在 两 个 城 市 分 别 投 资 1 ， 1 ， 1 个 项 目 ， 此 时 有 ， 共 有 =6 0 ， 故 选 （ D） .八 .同 元 分 配 隔 板 法 : 1.10个 三 好 学 生 名 额 分 到 7个 班 级 ， 每 个 班 级 至 少 一 个 名 额 ， 有 多 少 种不 同 分 配 方 案 ？ 解 析 ： 10个 名 额 分 到 7个 班 级 ， 就 是 把 10个 名 额 看 成 10个 相 同 的 小 球 分成 7堆 ， 每 堆 至 少 一 个 ， 可 以 在 10个 小 球 的 9个 空 位 中 插 入 6块 木 板 ， 每 一 种 插 法 对 应 着 一 种 分 配 方 案 ， 故 共 有 不 同 的 分 配 方 案 为 种 .2. 6名 学 生 分 6本 相 同 的 书 ， 每 人 至 少 1本 ， 有 多 少 种 不 同 分 法 ？ 解 析 ： 将 6本 书 分 成 4份 ， 先 把 书 排 成 一 排 ， 插 入 3个 隔 板 ， 6本 书 中 间 有5个 空 隙 ， 则 分 法 有 ： （ 种 ） .3 . 求 方 程 x+y+z10的 正 整 数 解 的 个 数 。 (即 ： 10个 相 同 的 小 球 分 给 三 人 ， 每 人 至 少 1个 ， 有 多 少 种 方 法 ？ )解 析 ： 将 10个 球 排 成 一 排 ， 球 与 球 之 间 形 成 9个 空 隙 ， 将 两 个 隔 板 插 入 这 些 空 隙 中 （ 每 空 至 多 插 一 块 隔 板 ） ， 规 定 由 隔 板 分 成 的 左 、 中 、 右 三部 分 的 球 数 分 别 为 x， y， z之 值 （ 如 图 ） 则 隔 板 与 解 的 个 数 之 间 建 立 了 一 一 对 立 关 系 ， 故 解 的 个 数 为 个 . 4.求 方 程 x+y+z=10 的 非 负 整 数 解 的 个 数 。解 析 ： 注 意 到 x 、 y 、 z 可 以 为 零 ， 故 上 题 解 法 中 的 限 定 “ 每 空 至 多 插 一 块 隔 板 ” 就 不 成 立 了 。 怎 么 办 呢 ？ 只 要 添 加 三 个 球 ， 给 x、 y、 z 各 一 个 球 。 这 样 原 问 题 就 转 化 为 求 x+y+z=13 的 正 整 数 解 的 个 数 了 ， 故 解 的 个 数 为 =66个 。5.将 20个 相 同 的 小 球 放 入 编 号 分 别 为 1， 2， 3， 4的 四 个 盒 子 中 ， 要 求 每 个 盒 子 中 的 球 数 不 少 于 它 的 编 号 数 ， 求 放 法 总 数 。解 析 ： 先 在 编 号 1， 2， 3， 4的 四 个 盒 子 内 分 别 放 0， 1， 2， 3个 球 ， 有 1 种 方 法 ； 再 把 剩 下 的 14个 球 ， 分 成 4组 ， 每 组 至 少 1个 ， 由 例 25知 有 =286 种 方 法 。 九 .定 序 均 分 缩 倍 法 :在 排 列 问 题 中 限 制 某 几 个 元 素 必 须 保 持 一 定 的 顺序 ， 可 用 缩 小 倍 数 的 方 法 . 1.五 人 并 排 站 成 一 排 ， 如 果 必 须 站 在 的 右 边 （ 可 以 不 相 邻 ） 那 么 不 同 的排 法 种 数 是 种 . 解 析 ： 在 的 右 边 与 在 的 左 边 排 法 数 相 同 ， 所 以 题 设 的 排 法 只 是 5个 元 素全 排 列 数 的 一 半 ， 即 种 . 2.由 数 字 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 组 成 没 有 重 复 数 字 的 六 位 数 ， 其 中 个 位 数字 小 于 十 位 数 字 的 共 有 （ ） 个 （ A） 2 1 0 （ ） 3 0 0 （ C） 4 6 4 （ D） 6 0 0解 析 ： 对 于 部 分 元 素 定 序 排 列 问 题 ， 可 先 把 定 序 元 素 与 其 它 元 素 一 同 进 行 全 排 列 ， 然 后 根 据 定 序 排 列 在 整 体 排 列 中 出 现 的 概 率 ， 即 用 定 序 排 列数 去 均 分 总 排 列 数 获 解 。 若 不 考 虑 附 加 条 件 ， 组 成 的 六 位 数 有 个 。 在 这 些 六 位 数 中 ， 只 有 个 位 数字 小 于 和 个 位 数 字 大 于 十 位 数 字 这 两 种 情 况 ， 而 这 两 种 情 况 在 整 体 排 列 中 出 现 的 概 率 均 为 ， 故 所 求 六 位 数 为 =3 0 0 个 ， 应 选 （ B） .3.7 个 节 目 ， 甲 、 乙 、 丙 三 个 节 目 按 给 定 顺 序 出 现 ， 有 多 少 种 排 法 ？ 解 析 ： 7 个 节 目 的 全 排 列 为 A7 7 ,甲 、 乙 、 丙 之 间 的 顺 序 已 定 。 所 以 有 A7 7 A3 3 =8 4 0 种 。4.把 棵 不 同 的 蔬 菜 ， 分 别 捆 成 捆 ， 在 下 列 情 况 下 ， 分 别 有 多 少 分 捆 的 方 法 ？ 每 捆 棵 ； 一 捆 3棵 ， 一 捆 2棵 ， 一 捆 1棵 .解 析 ： 5.把 6棵 不 同 的 菜 ， 分 别 种 在 3块 不 同 的 土 地 上 ， 在 下 列 情 况 下 ， 分 别 有多 少 种 植 方 法 ？ 每 块 地 上 种 2棵 ； 甲 地 3棵 ， 乙 地 2棵 ， 丙 地 1棵 ； 一 块 地 上 3棵 ， 一 块 地 上 2棵 ， 一 块 地 上 1棵 .解 析 ： 6.如 果 是 7棵 不 同 的 菜 ， 种 到 3块 土 地 上 ， 一 块 地 上 3棵 ， 一 块 地 上 2棵 ，还 有 一 块 地 上 2棵 呢 ？ 解 析 ：7 . 7 个 节 目 ， 甲 、 乙 、 丙 三 个 节 目 按 给 定 顺 序 出 现 ， 有 多 少 种 排 法 ？ 解 析 ： 7 个 节 目 的 全 排 列 为 A7 7 ,甲 、 乙 、 丙 之 间 的 顺 序 已 定 。 所 以 有 A7 7 A3 3 =8 4 0 种 。8 .有 3 个 男 生 ， 3 个 女 生 ， 排 成 一 列 ， 高 矮 互 不 相 等 。 要 求 从 前 到 后 ， 女 生 从 高 到 矮 排 列 ， 有 多 少 种 不 同 的 排 法 ？解 析 ： A6 6 /A3 3 =1 2 0 9 .有 10人 ， 按 照 下 列 要 求 分 组 ， 求 不 同 的 分 法 种 数 。 分 成 两 组 ， 一 组 人 ， 一 组 人 。 分 为 甲 、 乙 两 组 ， 一 组 人 ， 一 组 人 。 分 成 甲 、 乙 两 组 ， 每 组 人 。 两 组 ， 每 组 人 。解 析 ： 从 人 中 选 人 作 为 一 组 ， 其 余 人 自 为 一 组 ， 有 C106=210种 。 从 人 中 选 人 作 为 一 组 ， 其 余 人 自 为 一 组 ， 再 分 别 作 为 甲 乙 组 ， 共 有 C106A22 420种 。 先 从 人 中 选 人 作 为 甲 组 ， 剩 下 人 自 为 乙 组 ， 共 有 C105=252种 方 法 。 从 人 中 选 人 作 为 一 组 ， 剩 下 人 为 另 一 组 ， 由 于 两 组 人 数 相 同 ， 组 与 组 之 间 没 有 顺 序 ， 所 以 ， 每 种 方 法 都 重 复 了 A22次 ， 故 有 C105 A22=126中 方 法 。1 0 .信 号 兵 把 红 旗 与 白 旗 从 上 到 下 挂 在 旗 杆 上 表 示 信 号 ， 现 有 3 面 红 旗 、 2 面 白 旗 ， 把 5 面 旗 都 挂 上 去 ， 可 表 示 不 同 信 号 的 种 数 是 （ ） （ 用 数 字作 答 ） 。 解 析 ：1 1 .某 工 程 队 有 6 项 工 程 需 要 单 独 完 成 ， 其 中 工 程 乙 必 须 在 工 程 甲 完 成 后 才 能 进 行 ， 工 程 丙 必 须 在 工 程 乙 完 成 后 才 能 进 行 ， 有 工 程 丁 必 须 在 工 程丙 完 成 后 立 即 进 行 。 那 么 安 排 这 6 项 工 程 的 不 同 排 法 种 数 是 。 （ 用 数 字 作 答 ）解 析 ： =3 0 1 2 .有 9 本 不 同 的 书 ： （ 1 ） 分 给 甲 2 本 ， 乙 3 本 ， 丙 4 本 ； （ 2 ） 分 给 三 个 人 ， 分 别 得 2 本 ， 3 本 ， 4 本 。 解 析 ： （ 1 ） 先 让 甲 选 ， 有 种 ； 再 让 乙 选 ，有 种 ； 剩 下 的 给 丙 ， 有 种 ， 共 有 种 不 同 的 分 法 ； （ 2 ） 先 将 9 本 书 分 成 2 本 ， 3 本 ， 4 本 共 有 三 堆 ， 再 将 三 堆 分 给 三 个 人 ， 共 有 种 不 同 的 分 法 。1 3 . 为 构 建 和 谐 社 会 出 一 份 力 ， 一 文 艺 团 体 下 基 层 宣 传 演 出 ， 准 备 的 节 目 表 中 原 有 4个 歌 舞 节 目 ， 如 果 保 持 这 些 节 目 的 相 对 顺 序 不 变 ， 拟 再 添 2个 小 品 节 目 ， 则 不 同 的 排 列 方 法 有 多 少 种 ？ 解 析 ： A66/A44=30十 .部 合 条 件 排 除 法 :在 选 取 的 总 数 中 ， 只 有 一 部 分 合 条 件 ， 可 以 从 总 数 中 减 去 不 符 合 条 件 数 ， 即 为 所 求 .1.以 正 方 体 的 顶 点 为 顶 点 的 四 面 体 共 有 58种 . 解 析 ： 正 方 体 8个 顶 点 从 中 每 次 取 四 点 ， 理 论 上 可 构 成 四 面 体 ， 但 6个 表面 和 6个 对 角 面 的 四 个 顶 点 共 面 都 不 能 构 成 四 面 体 ， 所 以 四 面 体 实 际 共 有 个 .2.从 正 方 体 的 八 个 顶 点 中 任 取 三 个 点 为 顶 点 作 三 角 形 ， 其 中 直 角 三 角 形 的 个 数 为 （ ） 个（ ） 5 6 （ B） 5 2 （ C） 4 8 （ D） 4 0 解 析 ： 几 何 图 形 问 题 是 高 考 的 常 考 点 。 求 解 时 ， 一 要 熟 悉 几 何 图 形 性 质及 点 、 线 、 面 位 置 关 系 ； 二 要 按 同 一 标 准 分 类 ， 避 免 重 复 、 遗 漏 ； 三 若 直 接 求 解 困 难 或 头 绪 繁 多 时 ， 可 从 其 反 而 去 考 虑 ， 将 其 转 化 为 简 单 的 问题 去 解 决 。 从 正 方 体 的 8 个 顶 点 中 任 取 3 个 顶 点 可 构 成 个 三 角 形 ， 其 中 非 直 角 三 角 形的 有 两 类 ： 上 底 面 的 每 个 顶 点 所 在 的 侧 面 对 角 线 与 下 底 面 相 应 的 对 角 线 构 成 1 个 正 三 角 形 ， 上 底 面 的 4 个 顶 点 共 4 个 非 直 角 三 角 形 ； 下 底面 的 4 个 顶 点 所 在 的 侧 面 对 角 线 与 上 底 面 相 应 的 结 角 线 共 构 成 4 个 非 直 角 三 角 形 。 故 所 求 直 角 三 角 形 共 有 个 ， 选 （ C） 。3.正 方 体 8个 顶 点 可 连 成 多 少 队 异 面 直 线 ？ 解 析 ： 因 为 四 面 体 中 仅 有 3对 异 面 直 线 ， 可 将 问 题 分 解 成 正 方 体 的 8个 顶点 可 构 成 多 少 个 不 同 的 四 面 体 ， 从 正 方 体 8个 顶 点 中 任 取 四 个 顶 点 构 成 的 四 面 体 有 个 ， 所 以 8个 顶 点 可 连 成 的 异 面 直 线 有 3 58=174对 .4 . 四 面 体 的 顶 点 和 各 棱 中 点 共 10点 ， 在 其 中 取 4个 不 共 面 的 点 ， 不 同 的 取 法 共 有 141种 .解 析 ： 10个 点 中 任 取 4个 点 共 有 种 ， 其 中 四 点 共 面 的 有 三 种 情 况 ： 在 四 面 体 的 四 个 面 上 ， 每 面 内 四 点 共 面 的 情 况 为 ， 四 个 面 共 有 个 ； 过 空间 四 边 形 各 边 中 点 的 平 行 四 边 形 共 3个 ； 过 棱 上 三 点 与 对 棱 中 点 的 三 角 形 共 6个 .所 以 四 点 不 共 面 的 情 况 的 种 数 是 种 . 十 一 .标 号 排 位 分 步 法 :把 元 素 排 到 指 定 位 置 上 ， 可 先 把 某 个 元 素 按 规定 排 入 ， 第 二 步 再 排 另 一 个 元 素 ， 如 此 继 续 下 去 ， 依 次 即 可 完 成 . 1.将 数 字 1， 2， 3， 4填 入 标 号 为 1， 2， 3， 4的 四 个 方 格 里 ， 每 格 填 一 个数 ， 则 每 个 方 格 的 标 号 与 所 填 数 字 均 不 相 同 的 填 法 有 9种 . 解 析 ： 先 把 1填 入 方 格 中 ， 符 合 条 件 的 有 3种 方 法 ， 第 二 步 把 被 填 入 方 格的 对 应 数 字 填 入 其 它 三 个 方 格 ， 又 有 三 种 方 法 ； 第 三 步 填 余 下 的 两 个 数 字 ， 只 有 一 种 填 法 ， 共 有 3 3 1=9种 填 法 ， 选 .2.设 有 编 号 为 1， 2， 3， 4， 5的 五 个 球 和 编 号 为 1， 2， 3， 4， 5的 盒 子 现 将 这 5个 球 投 入 5个 盒 子 要 求 每 个 盒 子 放 一 个 球 ， 并 且 恰 好 有 两 个 球 的 号码 与 盒 子 号 码 相 同 ， 问 有 多 少 种 不 同 的 方 法 ？ 解 析 ： 从 5个 球 中 取 出 2个 与 盒 子 对 号 有 种 ， 还 剩 下 3个 球 与 3个 盒 子 序 号不 能 对 应 ， 利 用 枚 举 法 分 析 ， 如 果 剩 下 3， 4， 5号 球 与 3， 4， 5号 盒 子 时 ， 3号 球 不 能 装 入 3号 盒 子 ， 当 3号 球 装 入 4号 盒 子 时 ， 4， 5号 球 只 有 1种 装 法 ， 3号 球 装 入 5号 盒 子 时 ， 4， 5号 球 也 只 有 1种 装 法 ， 所 以 剩 下 三 球 只 有 2种 装 法 ， 因 此 总 共 装 法 数 为 种 .3.四 人 各 写 出 一 张 贺 卡 ， 先 集 中 起 来 ， 然 后 每 人 从 中 拿 一 张 别 人 送 出 的 贺 卡 ， 则 四 张 贺 卡 的 不 同 分 配 方 式 有 9种 。解 析 ： 同 . 十 二 .圆 排 多 排 单 排 法 :把 元 素 排 成 几 排 的 问 题 可 归 结 为 一 排 考 虑 ， 再 分 段 处 理 。1.6个 不 同 的 元 素 排 成 前 后 两 排 ， 每 排 3个 元 素 ， 那 么 不 同 的 排 法 种 数 是 720种 .解 析 ： 前 后 两 排 可 看 成 一 排 的 两 段 ， 因 此 本 题 可 看 成 6个 不 同 的 元 素 排 成 一 排 ， 共 种 ， 选 .2.8个 不 同 的 元 素 排 成 前 后 两 排 ， 每 排 4个 元 素 ， 其 中 某 2个 元 素 要 排 在 前 排 ， 某 1个 元 素 排 在 后 排 ， 有 多 少 种 不 同 排 法 ？解 析 ： 看 成 一 排 ， 某 2个 元 素 在 前 半 段 四 个 位 置 中 选 排 2个 ， 有 种 ， 某 1 个 元 素 排 在 后 半 段 的 四 个 位 置 中 选 一 个 有 种 ， 其 余 5个 元 素 任 排 5个 位 置上 有 种 ， 故 共 有 种 排 法 . 3.5对 姐 妹 站 成 一 圈 ， 要 求 每 对 姐 妹 相 邻 ， 有 多 少 种 不 同 站 法 ？解 析 ： 首 先 可 让 5位 姐 姐 站 成 一 圈 ， 属 圆 排 列 有 种 ， 然 后 再 让 妹 妹 插 入 其 间 ， 每 位 均 可 插 入 其 姐 姐 的 左 边 和 右 边 ， 有 2种 方 式 ， 故 不 同 的 安 排方 式 种 不 同 站 法 . 说 明 ： 从 个 不 同 元 素 中 取 出 个 元 素 作 圆 形 排 列 共 有 种 不 同 排 法 .十 三 .对 应 等 价 转 换 法 :对 应 思 想 是 教 材 中 渗 透 的 一 种 重 要 的 解 题 方 法 ， 它 可 以 将 复 杂 的 问 题 转 化 为 简 单 问 题 处 理 .1.圆 周 上 有 10点 ， 以 这 些 点 为 端 点 的 弦 相 交 于 圆 内 的 交 点 有 多 少 个 ？ 解 析 ： 因 为 圆 的 一 个 内 接 四 边 形 的 两 条 对 角 线 相 交 于 圆 内 一 点 ， 一 个 圆的 内 接 四 边 形 就 对 应 着 两 条 弦 相 交 于 圆 内 的 一 个 交 点 ， 于 是 问 题 就 转 化 为 圆 周 上 的 10个 点 可 以 确 定 多 少 个 不 同 的 四 边 形 ， 显 然 有 个 ， 所 以 圆 周上 有 10点 ， 以 这 些 点 为 端 点 的 弦 相 交 于 圆 内 的 交 点 有 个 . 2.某 城 市 的 街 区 有 12个 全 等 的 矩 形 组 成 ， 其 中 实 线 表 示 马 路 ， 从 到 的 最短 路 径 有 多 少 种 ？ AB 解 析 ： 可 将 图 中 矩 形 的 一 边 叫 一 小 段 ， 从 到 最 短 路 线 必 须 走 7小 段 ， 其中 ： 向 东 4段 ， 向 北 3段 ； 而 且 前 一 段 的 尾 接 后 一 段 的 首 ， 所 以 只 要 确 定 向 东 走 过 4段 的 走 法 ， 便 能 确 定 路 径 ， 因 此 不 同 走 法 有 种 .3.马 路 上 有 编 号 为 1， 2， 3 ， 9九 只 路 灯 ， 现 要 关 掉 其 中 的 三 盏 ， 但 不 能 关 掉 相 邻 的 二 盏 或 三 盏 ， 也 不 能 关 掉 两 端 的 两 盏 ， 求 满 足 条 件 的 关 灯方 案 有 多 少 种 ？ 解 析 ： 把 此 问 题 当 作 一 个 排 对 模 型 ， 在 6盏 亮 灯 的 5个 空 隙 中 插 入 3盏 不亮 的 灯 种 方 法 ,所 以 满 足 条 件 的 关 灯 方 案 有 10种 . 说 明 ： 一 些 不 易 理 解 的 排 列 组 合 题 ， 如 果 能 转 化 为 熟 悉 的 模 型 如 填 空 模型 ， 排 队 模 型 ， 装 盒 模 型 可 使 问 题 容 易 解 决 . 4.在 1 0 0 名 选 手 之 间 进 行 单 循 环 淘 汰 赛 （ 即 一 场 比 赛 后 ， 失 败 者 退 出 比赛 ） ， 最 后 产 生 一 名 冠 军 ， 需 举 行 多 少 场 比 赛 ？ 解 析 ： 要 产 生 一 名 冠 军 ， 需 要 淘 汰 9 9 名 选 手 。 要 淘 汰 掉 一 名 选 手 ， 必 须举 行 一 场 比 赛 ； 反 之 ， 每 场 比 赛 恰 淘 汰 一 名 选 手 。 两 者 之 间 一 一 对 应 。 故 要 淘 汰 9 9 名 选 手 ， 应 举 行 9 9 场 比 赛 ， 从 而 产 生 一 名 冠 军 。十 四 .多 元 问 题 分 类 法 ： 元 素 多 ， 取 出 的 情 况 也 多 种 ， 可 按 结 果 要 求 分 成 不 相 容 的 几 类 情 况 分 别 计 数 ， 最 后 总 计 .1.某 高 校 从 某 系 的 10名 优 秀 毕 业 生 中 选 4人 分 别 到 西 部 四 城 市 参 加 中 国 西 部 经 济 开 发 建 设 ， 其 中 甲 同 学 不 到 银 川 ， 乙 不 到 西 宁 ， 共 有 多 少 种 不同 派 遣 方 案 ？ 解 析 ： 因 为 甲 乙 有 限 制 条 件 ， 所 以 按 照 是 否 含 有 甲 乙 来 分 类 ， 有 以 下 四种 情 况 ： 若 甲 乙 都 不 参 加 ， 则 有 派 遣 方 案 种 ； 若 甲 参 加 而 乙 不 参 加 ， 先 安 排甲 有 3种 方 法 ， 然 后 安 排 其 余 学 生 有 方 法 ， 所 以 共 有 ； 若 乙 参 加 而 甲 不 参 加 同 理 也 有 种 ； 若 甲 乙 都 参 加 ， 则 先 安 排 甲 乙 ， 有 7种 方 法 ， 然后 再 安 排 其 余 8人 到 另 外 两 个 城 市 有 种 ， 共 有 方 法 .所 以 共 有 不 同 的 派 遣 方 法 总 数 为 种 .2.从 4台 甲 型 和 5台 乙 型 电 视 机 中 任 取 3台 ， 其 中 至 少 要 甲 型 和 乙 型 电 视 机 各 一 台 ， 则 不 同 的 取 法 共 有 70种 .解 析 ： 至 少 要 甲 型 和 乙 型 电 视 机 各 一 台 可 分 两 种 情 况 ： 甲 型 1台 乙 型 2 台 ； 甲 型 2台 乙 型 1台 ； 故 不 同 的 取 法 有 台 .3.从 1， 2， 3 ， 100这 100个 数 中 ， 任 取 两 个 数 ， 使 它 们 的 乘 积 能 被 7整 除 ， 这 两 个 数 的 取 法 （ 不 计 顺 序 ） 共 有 多 少 种 ？解 析 ： 被 取 的 两 个 数 中 至 少 有 一 个 能 被 7整 除 时 ， 他 们 的 乘 积 就 能 被 7整 除 ， 将 这 100个 数 组 成 的 集 合 视 为 全 集 I,能 被 7整 除 的 数 的 集 合 记 做 共 有14个 元 素 ,不 能