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习题课离散型随机变量的方差与标准差,第2章概率,学习目标1.进一步理解离散型随机变量的方差的概念.2.熟练应用公式及性质求随机变量的方差.3.体会均值和方差在决策中的应用.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,1.方差、标准差的定义及方差的性质(1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量X的概率分布为,方差V(X)(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn.(其中E(X)标准差为.(2)方差的性质：V(aXb).,a2V(X),2.两个常见分布的方差(1)两点分布：若X01分布，则V(X)；(2)二项分布：若XB(n，p)，则V(X).,p(1p),np(1p),题型探究,例1一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是(1)求这位司机遇到红灯数的均值与方差；,解易知司机遇上红灯次数服从二项分布，,解答,类型一二项分布的方差问题,(2)若遇上红灯，则需等待30s，求司机总共等待时间的均值与方差.,解由已知30，故E()30E()60，V()900V()1200.,解答,解决此类问题的第一步是判断随机变量服从什么分布，第二步代入相应的公式求解.若它服从两点分布，则方差为p(1p)；若它服从二项发布，则方差为np(1p).,反思与感悟,跟踪训练1在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发.记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手一律另加2分.已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的均值与方差.,解用表示小李击中目标的次数，表示他的得分，则由题意知B(10,0.8)，32.因为E()100.88，V()100.80.21.6，所以E()E(32)3E()238226，V()V(32)32V()91.614.4.,解答,例2某投资公司在2017年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率为项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.,类型二均值、方差在决策中的应用,解答,解若按项目一投资，设获利X1万元，则X1的概率分布如下表：,35000，,若按项目二投资，设获利X2万元，则X2的概率分布如下表：,E(X1)E(X2)，V(X1)V(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.,离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定.,反思与感悟,跟踪训练2已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a，0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.记甲射中的环数为，乙射中的环数为.(1)求，的概率分布；,解答,解依据题意知，0.53aa0.11，解得a0.1.乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，乙射中7环的概率为1(0.30.30.2)0.2.，的概率分布分别为,(2)求，的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.,解结合(1)中，的概率分布，可得E()100.590.380.170.19.2，E()100.390.380.270.28.7，V()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96，V()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.E()E()，说明甲平均射中的环数比乙高.又V()V(Y)，则自动包装机_的质量较好.(填“甲”或“乙”),答案,2,3,4,1,解析,解析在均值相等的情况下，方差越小，说明包装的质量越稳定，所以自动包装机乙的质量较好.,乙,规律与方法,1.已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数yaXb的均值和方差，可直接用X的均值，方差的性质求解，即E(aXb)aE(X)b，V(aXb)a2V(X).2.若能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，则可直接用它们的均值、方差公式计算.3.作为统计量，均值和方差本身无优劣，用均值和方差进行决策，一定要结合实际问题，只有理解了实际问题的本质，才能作出正确的决策.,本课结束,
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