高中数学 课时达标检测（十九）空间向量与平行、垂直关系 新人教A版选修2-1

课时达标检测（十九） 空间向量与平行、垂直关系一、选择题1若n(2，3,1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是()A(0，3,1)B(2,0,1)C(2，3,1) D(2,3，1)解析：选D问题即求与n共线的一个向量，即n(2，3，1)(2,3，1)2已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z等于()A3 B6C9 D9解析：选Cl，v与平面平行，uv，即uv0，13(3)(2)z10，z9.3已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量中能作为平面ABC的一个法向量的是()A(1,1，1) B(1，1,1)C(1,1,1) D(1，1，1)解析：选D(1,1,0)，(1,0,1)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则有取x1，则y1，z1.故平面ABC的一个法向量是(1，1，1)4在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()AAC BBDCA1D DA1A解析：选B建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E.，(1,1,0)，(1，1,0)，(1,0，1)，(0,0，1)(1)(1)010，CEBD.5如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等给出下列结论：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为()A1 B2C3 D4解析：选CA1M，D1P，A1MD1P，从而A1MD1P，可得正确又因为B1Q与D1P不平行，故不正确二、填空题6. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_(填序号)解析：由于(1)2(1)2(4)(1)0，4(1)220(1)0，所以正确答案：7在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x1，2cos 2x2,0)和点Q(cos x，1,3)，其中x0，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为_解析：由OPOQ，得0.即(2cos x1)cos x(2cos 2x2)(1)0.cos x0或cos x.x0，x或x.答案：或8如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等腰三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE平面B1DE，则AE_.解析：建立如图所示的坐标系，则B1(0,0,3a)，D，3a，C(0，a,0)设E(a,0，z)(0z3a)，则，(a,0，z3a)由题意得2a2z23az0，解得za或2a.故AEa或2a.答案：a或2a三、解答题9.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E为PC的中点，EFBP于点F.求证：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DCPD1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.(1,1，1)，设F(x，y，z)，则(x，y，z1)，.，x0，即xyz0.又，可设，x，y，z1.由可知，x，y，z，.(1)设n1(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，则有即取z11，则n1(1,1，1)(1,0，1)，n10.又PA平面EDB，PA平面EDB.(2)设n2(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，则有即取z21，则n2(1，1,1)n2，PB平面EFD.10.如图所示，直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.(1)求证：AC平面BB1C1C.(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB1和平面ACB1都平行？证明你的结论解：(1)证明：以点A为坐标原点，AD，AB，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，ADCD1，AB2，D(1,0,0)，B(0,2,0)设AA1a，则A1(0,0，a)，B1(0,2，a)，C1(1,1，a)，C(1,1,0)(1,1,0)，(1，1,0)，(0,0，a)，1100，0000，ACBC，ACBB1，又BCBB1B，AC平面BB1C1C.(2)点P存在证明如下：假设存在一点P(0，y，a)，则(1，y，a)由(1)知，平面BCB1的法向量为.(1，y，a)(1,1,0)1y，又DP平面BCB1，0，y1.设n(x，y，z)为平面ACB1的一个法向量，n0，n0.又(1,1，a)，n为.DP平面ACB1，n，n(1)(y)yyay2y0，y0(舍去)或y1，这与0时相一致，故假设成立存在一点P，且P为A1B1中点，使DP与平面BCB1和平面ACB1都平行