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第6节正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1,3,7,10与面积相关的问题4,8,11,12判断三角形的形状2,5,9实际问题与综合问题6,13,14,15,16基础对点练(时间:30分钟)1.(2015石景山区模拟)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, a=4,b=4,A=30,则B等于(B)(A)60(B)60或120(C)30(D)30或150解析:因为a=4,b=4,A=30,由正弦定理=sin B=,因为B是三角形的内角,且ba,所以B=60或120.2.(2016广州四校联考)在ABC中,已知2sin Acos B=sin C,那么ABC一定是(C)(A)直角三角形(B)等腰直角三角形(C)等腰三角形(D)正三角形解析:在三角形中,2sin Acos B=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin Bsin Acos B-cos Asin B=sin(A-B)=0,所以A=B,即三角形为等腰三角形.3.(2016山东省实验中学高三第二次诊断)ABC中,A=,BC=3,则ABC的周长为(D)(A)4sin(B+)+3(B)4sin(B+)+3(C)6sin(B+)+3(D)6sin(B+)+3解析:由正弦定理得,=2,所以三角形的周长AB+AC+BC=2sin B+2sin C+3=2sin B+2sin(-B)+3=3sin B+3cos B+3=6sin(B+)+3,故选D.4.在ABC中,A=60,AB=2,且ABC的面积为,则BC的长为(B)(A)(B)(C)2(D)2解析:S=ABACsin 60=2AC=,所以AC=1,所以BC2=AB2+AC2-2ABACcos 60=3,所以BC=.5.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,且sin2B=sin2C,则ABC的形状为(D)(A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)直角三角形(D)等腰直角三角形解析:因为bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,sin A=sin2A,sin A=1,即A=.又因为sin2B=sin2C,所以由正弦定理得b2=c2,即b=c,故ABC为等腰直角三角形.6.(2016合肥模拟)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为3sin A=5sin B,所以由正弦定理可得3a=5b,所以a=b.因为b+c=2a,所以c=b,所以cos C=-.因为C(0,),所以C=.7.(2015高考安徽卷)在ABC中,AB=,A=75,B=45,则AC=解析:因为A=75,B=45,所以C=60.由正弦定理可得=,解得AC=2.答案:28.(2015高考天津卷)在ABC中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3 ,b-c=2,cos A=-, 则a 的值为.解析:因为cos A=-,0A,所以sin A=.由3=bcsin A得bc=24.又因为b-c=2,所以b=6,c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=36+16+12=64.故a=8.答案:89.设ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且(+)=0,则ABC的形状是 . 解析:由题得2B=A+C,3B=得B=,设AC中点D,则(+)=2=0,即得a=c.所以ABC为等腰三角形,又因为B=,所以ABC为等边三角形.答案:等边三角形10.(2015黑龙江四校联考)ABC的三个内角A,B,C对应的三条边长分别是a,b,c,且满足csin A+acos C=0.(1)求C的值;(2)若cos A=,c=5,求sin B和b的值.解:(1)因为csin A+acos C=0,由正弦定理得2Rsin Csin A+2Rsin Acos C=0,由sin A0,所以tan C=-,又C(0,),所以C=.(2)由cos A=,A(0, ),得sin A=,sin B=sin(-A-C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=(-)+=.由=,得b=3-4.11.(2015高考陕西卷)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求ABC的面积.解:(1)因为mn,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B0,从而tan A=,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为bcsin A=.法二由正弦定理得=,从而sin B=,又由ab知AB,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin(B+)=sin Bcos +cos Bsin =.所以ABC的面积为absin C=.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016武威一中模拟)在ABC中,如果a+c=2b,B=30,ABC的面积为,那么b等于(B)(A)(B)1+(C) (D)2+解析:由三角形面积公式SABC=acsin B=ac=,所以ac=6,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-6,而已知4b2=(a+c)2=a2+c2+12,两个式子作差得到3b2=12+6,所以b=1+.13.(2015济南模拟)在200米高的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30,60,则塔高为(C)(A) m(B) m(C) m(D) m解析:如图,设AB表示山高,CD表示塔高,则DBC=60-30=30,ABC=90-60=30,连接AC,在RtBAC中,cosABC=,所以BC=,在BDC中,DBC=30,DCB=90-60=30,所以BDC=180-DBC-DCB=120,由正弦定理得,=,故DC=.14.(2014高考江苏卷)若ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C的最小值是.解析:由正弦定理可得a+b=2c,又cos C=,当且仅当a=b时取等号,所以cos C的最小值是.答案:15.某炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面C和D处,已知CD=6 km,ACD=45,ADC=75,目标出现于地面B处时,测量得BCD=30,BDC=15,如图,求炮兵阵地到目标的距离.解:在ACD中,CAD=180-ACD-ADC=60,CD=6,ACD=45,根据正弦定理有AD=CD.同理,在BCD中,CBD=180-BCD-BDC=135,CD=6,BCD=30,根据正弦定理得BD=CD.又在ABD中,ADB=ADC+BDC=90,根据勾股定理有AB=CD=CD=(km).所以炮兵阵地到目标的距离为 km.16.(2015高考山东卷)设f(x)=sin xcos x-cos2(x+).(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f()=0,a=1,求ABC的面积的最大值.解:(1)由题意知f(x)=-=-=sin 2x-.由-+2k2x+2k,kZ,可得-+kx+k,kZ;由+2k2x+2k,kZ,可得+kx+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间是-+k,+k(kZ);单调递减区间是+k,+k(kZ).(2)由f()=sin A-=0,得sin A=,由题意知A为锐角,所以cos A=.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得1+bc=b2+c22bc,即bc2+,且当b=c时等号成立.因此bcsin A.所以ABC面积的最大值为.精彩5分钟1.(2015浏阳一中模拟)已知ABC内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若cos B=,b=2,sin C=2sin A,则ABC的面积为(B)(A)(B)(C)(D)解题关键:关键求a,c,选用ABC面积公式SABC=acsin B.解析:由正弦定理=,得c=2a,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得4=a2+c2-2ac,由得a=1,c=2,又sin B=,所以SABC=acsin B=12=.2.(2015临沂模拟)某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45距离为10海里的C处,并测得渔轮正沿方位角为105的方向,以9海里/小时的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救,则舰艇靠近渔轮所需的时间为小时.解题关键:首先根据题意画出图形,再根据两船所用时间相同,在三角形中利用余弦定理列方程求解.解析:如图,设舰艇在B处靠近渔轮,所需的时间为t小时,则AB=21t, CB=9t,在ABC中,根据余弦定理,则有AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 120,可得,212t2=102+81t2+2109t.整理得360t2-90t-100=0,解得t=或t=-(舍去).故舰艇需小时靠近渔轮.答案:9
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