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第五篇平面向量(必修4)第1节平面向量的概念及线性运算【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的基本概念1,10平面向量的线性运算4,6,9共线向量问题2,8三点共线问题3,11综合问题5,7,12,13,14基础对点练(时间:30分钟)1.给出下列命题:向量与向量的长度相等,方向相反;+=0;两个相等向量的起点相同,则其终点必相同;与是共线向量,则A、B、C、D四点共线.其中不正确的命题的个数是(A)(A)2(B)3(C)4(D)1解析:正确;中+=0,而不等于0;正确;中与所在直线还可能平行,综上可知不正确.故选A.2.“存在实数,使得a=b”,是“a与b共线”的 (A)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当a0,b=0,a=b不成立.3.已知=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则下列三点一定共线的是(B)(A)A,B,C(B)A,B,D(C)B,C,D(D)A,C,D解析:因为=+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b=2,所以A,B,D三点共线.4.(2016安徽模拟)若点M在ABC的边AB上,且=,则等于(D)(A)+(B)2-2 (C)+(D)+解析:如图,由=,知=,所以=+=+=+(-)=+.5.如图,在ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为(C) (A)3(B)1(C)(D)解析:法一设=(R),则=+=+=+(-)=+(-)=(1-)+,则解得m=,故选C.法二=m+=m+,因为B,P,N三点共线,所以m+=1,所以m=.故选C.6.(2016兰州一中期中)在ABC中,AB=2,BC=3,ABC=60,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若=+,则+等于(D)(A)1(B)(C)(D)解析:在RtABD中,BD=ABcos60=1,所以=,所以=.因为=+=+,所以2=+,即=+,所以=,=,所以+=+=.故选D.7.(2015新乡期末)在ABC中,AB=3,AC=2,=+,则直线AD通过ABC的(C)(A)垂心(B)外心(C)内心(D)重心解析:因为AB=3,AC=2,所以|=,|=.即|=|=,设=,=,则|=|,所以=+=+.由向量加法的平行四边形法则可知,四边形AEDF为菱形,所以AD为菱形的对角线,所以AD平分EAF,所以直线AD通过ABC的内心.8.(2015杨浦区二模)已知e1,e2是不平行的向量,设a=e1+ke2,b=ke1+e2,则a与b共线的充要条件是实数k等于.解析:a与b共线的充要条件是存在实数使得a=b,所以e1+ke2=(ke1+e2)=ke1+e2,因为e1,e2是不平行的向量,所以解得k=1.答案:19.已知D,E,F分别为ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列命题:=a-b;=a+b;=-a+b;+=0.其中正确命题的序号为.解析:=a,=b,=+=-a-b,=+=a+b,=(+)=(-a+b)=-a+b,所以+=-b-a+a+b+b-a=0.所以正确命题为.答案:10.给出下列命题:向量的长度与向量的长度相等;向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;零向量与任意数的乘积都为零.其中不正确命题的序号是.解析:与是相反向量,模相等,正确;由0方向是任意的且与任意向量平行,不正确;相等向量大小相等、方向相同,又起点相同,则终点相同;零向量与任意数的乘积都为零向量,不正确.答案:能力提升练(时间:15分钟)11.(2015湖北黄冈中学期中)已知向量i与j不共线,且=i+mj,=n i+j.若A,B,D三点共线,则实数m,n应满足的条件是(C)(A)m+n=1(B)m+n=-1(C)mn=1(D)mn=-1解析:由A,B,D三点共线可设=(R),于是有i+mj=(ni+j)=ni+j,又i,j不共线,因此所以mn=1.12.在ABC中,P是BC边的中点,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c+a+b=0,则ABC的形状为(C)(A)直角三角形(B)钝角三角形(C)等边三角形(D)等腰三角形但不是等边三角形解析:由题意知c-a(+)+b(-)=0,所以(c-)-=0,所以(c-)=,又,不共线,所以所以a=b=c.13.(2016武侯区校级模拟)已知点O为ABC内一点,且+2+3=0,则AOB,AOC,BOC的面积之比等于.解析:如图所示,延长OB到点E,使得=2,分别以,为邻边作平行四边形OAFE,则+2=+=,因为+2+3=0,所以-=3,又因为=2,所以=2,所以=,所以SABC=2SAOB;同理SABC=3SAOC,SABC=6SBOC,所以AOB,AOC,BOC的面积比=321,答案:32114.(2015晋江市校级期中)如图,已知OCB中,B,C关于点A对称,D是将OB分成21的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b.(1)用a,b表示向量,;(2)若=,求实数的值.解:(1)由题意知A是BC的中点,且=,由平行四边形法则得+=2,则=2-=2a-b,则=-=2a-b-b=2a-b.(2)由题图知,因为=-=2a-b-a=(2-)a-b,=2a-b,所以=,解得=.精彩5分钟【教师备用】 (2015辽宁五校联考)在ABC中,点M,N分别在AB,AC上,且=2,=,线段CM与BN相交于点P,且=a,=b,则用a和b表示为(A)(A)=a+b(B)=a+b(C)=a+b(D)=a+b解题关键:注意方程思想的应用.解析:由题意知=a,=,=b,= b,则=-=b-a,=-=b-a.设=(b-a),=(b-a),由-=,得(b-a)-(b-a)=a,得解得因此=+=a+(b-a)=a+b.(2015河南实验中学期中)已知三个不同的点A,B,C在同一条直线l上,O为直线l外一点,若p+q+r=0.其中p,q,rR,则p+q+r=.解题关键:注意分类讨论解题.解析:因为三个不同的点A,B,C在同一条直线l上,所以存在实数(0)使=.所以-=(-),即(-1)+-=0.因为p+q+r=0,所以当r=0时,由与不共线知p=q=0,此时p+q+r=0;当r0时,可知p,q0,且=.此时p+q+r=0.答案:09
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