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专题1 概率、二项分布与正态分布（理科）【三年高考】1.【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】如图所示,画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段中,而当他的到达时间落在线段或时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率故选B2. 【2016高考新课标2理数】从区间随机抽取个数,，构成n个数对，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为，所以.选C.3【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 .【答案】【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为4【2016高考山东理数】在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 . 【答案】5【2016年高考北京理数】A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；A班6 6.5 7 7.5 8B班6 7 8 9 10 11 12C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（1）试估计C班的学生人数；（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断和的大小，（结论不要求证明）【解析】（1）由题意知，抽出的名学生中，来自班的学生有名，根据分层抽样方法，班的学生人数估计为；（2）设事件为“甲是现有样本中班的第个人”，事件为“乙是现有样本中班的第个人”，由题意可知，；，,.设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，,因此（3）根据平均数计算公式即可知，.6.【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ） A1 B. C. D. 【答案】7.【2015高考新课标1，理4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )（A）0.648 （B）0.432（C）0.36（D）0.312【答案】A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为=0.648，故选A.8. 【2015高考湖北，理4】设，这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是（ ）A B C对任意正数， D对任意正数，【答案】C9.【2015高考广东，理13】已知随机变量服从二项分布，若，则 .【答案】【解析】依题可得且，解得，故应填入10. 【2014高考湖北卷理第7题】由不等式确定的平面区域记为，不等式，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型公式知，该点落在内的概率为，选D.11. 【2014全国1高考理第5题】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）A B C D【答案】D12. 【2014全国2高考理第5题】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45【答案】A【解析】设A=“某一天的空气质量为优良”，B=“随后一天的空气质量为优良”，则，故选A.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 概率问题是每年高考必考内容.主要考查等可能事件的概率计算公式,互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式,相互独立事件的概率乘法公式,事件在n次独立重复试验种恰好发生k次的概率计算公式，以及几何概型，条件概率等基本公式的应用.【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 只要我们理解和掌握各种概率公式及其应用,夯实基础,借助排列组合知识和化归转化思想方法,就能顺利解答高考概率与统计试题.概率统计试题在试卷中的题型逐年发生变化，本部分题多为中低档题.一般是一个选择题、一道解答题.选择题或填空题以中低档题为主， 解答题中等难度，重点考查基本概念及运算，往往与统计问题综合在一起，如以直方图或茎叶图提供问题的背景信息，在同一个问题中同时考查概率与统计的知识，成为近年命题的一个明显趋势.预测2017年的高考在概率依然会有一道小题，一道大题，难度中等，但应充分注意以统计为载体问题实质涉及概率与统计的综合解答题有可能连续出现，本节的内容还是一个重点考查的内容，因为这部分内容与实际生活联系比较大，随着新课改的深入，高考将越来越重视这部分的内容，概率统计将是重点考查内容.概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题.这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神.【2017年高考考点定位】本节内容高考的重点就是利用等可能事件的概率计算公式,互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式,相互独立事件的概率乘法公式, 事件在n次独立重复试验种恰好发生k次的概率计算公式等基本公式的应用, 重点考查学生的抽象概括能力，分析问题，解决问题的能力及分类讨论的数学思想方法.题型既有选择题也有填空题,难度中等偏下.【考点1】随机事件的概率【备考知识梳理】事件A的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P（A）.由定义可知0P（A）1,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是.如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P（A）=.使用公式P（A）=计算时,确定m、n的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏.【规律方法技巧】求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步骤：（1）先确定一次试验是什么,此时一次试验的可能性结果有多少，即求出A.（2）再确定所研究的事件A是什么,事件A包括结果有多少,即求出m.（3）应用等可能性事件概率公式P=计算.【考点针对训练】1【2016届河北省邯郸市高三下第二次模拟】某单位从包括甲、乙在内的5名应聘者中招聘2人，如果这5名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是（ ）A B C D【答案】B2.【2016届天津市和平区高三三模】已知集合，集合，从集合中随机选取一个数，从集合中随机选取一个数，则的概率为（ ）A B C D【答案】C【解析】从集合中选一个数有种可能,从集合中选一个数有种可能,共有种可能；其中满足的有,共种可能,由古典概型公式可.因此应选C【考点2 】互斥事件有一个发生的概率【备考知识梳理】事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+）=P（A）+P（）=1.当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P（A）=1P（）.对于n个互斥事件A1，A2，An，其加法公式为P（A1+A2+An）=P（A1）+P（A2）+P（An）.概率加法公式仅适用于互斥事件，即当A、B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），否则公式不能使用.【规律方法技巧】如果某事件A发生包含的情况较多，而它的对立事件（即A不发生）所包含的情形较少，利用公式P（A）=1P（）计算A的概率则比较方便.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.【考点针对训练】1【2016届河北省邯郸市高三下第二次模拟】甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标测试.根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为、，则三人中有人达标但没有全部达标的概率为_.【答案】【解析】因三人中有一人或两人达标，其概率为,故应填.2.【2016届广东省佛山市高三上期末】某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责每次献爱心活动均需该组织4位同学参加假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（ ）A B C D【答案】C【考点3】相互独立事件同时发生的概率【备考知识梳理】1.事件A与B的积记作AB，AB表示这样一个事件，即A与B同时发生.当A和B是相互独立事件时，事件AB满足乘法公式P（AB）=P（A）P（B），还要弄清，的区别. 表示事件与同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即，因此有，但=.2.条件概率及其性质(1)对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为.在古典概型中，若用表示事件中基本事件的个数，则.(2)条件概率具有的性质：； 如果和是两互斥事件，则【规律方法技巧】1. 条件概率的求法(1)定义法：先求和，再由，求；(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再求事件所包含的基本事件数，得.2. 求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解3.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A与B来说，才能运用公式P（AB）=P（A）P（B）.在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.首先要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立），当且仅当事件A和事件B互相独立时，才有P（AB）=P（A）P（B）.A、B中至少有一个发生：A+B.（1）若A、B互斥：P（A+B）=P（A）+P（B），否则不成立.（2）若A、B相互独立（不互斥）.法一：P（A+B）=P（AB）+P（A）+P（B）；法二：P（A+B）=1P（）；法三：P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）.某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化.【考点针对训练】1.【2016届江西省上高二中高三全真模拟】某射击手射击一次击中目标的概率是07，连续两次均击中目标的的概率是04，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（ ）A B C D【答案】C【解析】设“某次射中”为事件，“随后一次的射中”为事件，则，所以，故选C2.【2016届湖北省武汉市武昌区高三5月调研考试】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则（ ）A B C D【答案】B【考点4】几何概型【备考知识梳理】1（1）随机数的概念：随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.（2）随机数的产生方法利用函数计算器可以得到01之间的随机数；在Scilab语言中，应用不同的函数可产生01或ab之间的随机数.2.几何概型（1）定义：如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为为几何概率模型，简称几何概型（2）特点：无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；等可能性：每个结果的发生具有等可能性（3）几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.（4）求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答.一般与线性规划知识有联系.3几种常见的几何概型（1）设线段l是线段L的一部分,向线段L上任投一点.若落在线段l上的点数与线段L的长度成正比,而与线段l在线段l上的相对位置无关,则点落在线段l上的概率为：P=l的长度/L的长度（2）设平面区域g是平面区域G的一部分,向区域G上任投一点,若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比,而与区域g在区域G上的相对位置无关,则点落在区域g上概率为：P=g的面积/G的面积（3）设空间区域上v是空间区域V的一部分,向区域V上任投一点.若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比,而与区域v在区域v上的相对位置无关,则点落在区域V上的概率为：P=v的体积/V的体积【规律方法技巧】1.几何概型的常见类型的判断方法(1)与长度(角度)有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解(3)与体积有关的几何概型对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求2.几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，利用公式可求【考点针对训练】1【2016届安徽省安庆市高三第三次模拟】我们知道，可以用模拟的方法估计圆周率的近似值，如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为，落到正方形内的豆子数为，则圆周率的估算值是（ ）A B C D【答案】B【解析】设圆的半径为，则，得，故选B.2. 【2016届山东省临沂十八中高三三模】已知，是的导函数，则在区间任取一个数使得的概率为（ ）A B C D【答案】D【解析】由，得，因此所求概率为，选D.【考点5】二项分布与正态分布【备考知识梳理】1. 二项分布在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为 ()，此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率2. 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线它反映了总体在各个范围内取值的概率根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线及轴所围图形的面积3正态分布密度函数：，（，）其中是圆周率；是自然对数的底；是随机变量的取值；为正态分布的均值；是正态分布的标准差.正态分布一般记为 正态分布的定义及表示函数，其中实数和（0）为参数.我们称的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线.如果对于任何实数，随机变量满足则称随机变量服从正态分布，正态分布完全由参数确定，因此正态分布常记作，如果随机变量服从正态分布，则记为正态分布）是由均值和标准差唯一决定的分布4正态曲线有以下性质：（1）曲线位于轴上方，与轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；（3）曲线在处达到峰值；（4）曲线与轴围成的图形的面积为1；（5）当一定时，曲线随着的变化而沿轴平移；（6）当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散5正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4.6标准正态曲线：标准正态曲线:当=0、=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-x+），其相应的曲线称为标准正态曲线 .标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题.，以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率7一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率.只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可8.“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的.这种认识便是进行推断的出发点.关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能.课本是借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想.进行假设检验一般分三步：第一步，提出统计假设.课本例子里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸服从正态分布；第二步，确定一次试验中的取值a是否落入范围（-3，+3）；第三步，作出推断.如果a（-3，+3），接受统计假设；如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设【规律方法技巧】1. 二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的(2)各次试验中的事件是相互独立的(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数2.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中.我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，即，.由于试验的独立性，次试验中，事件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为.而在次试验中，事件恰好发生次的概率为，.它恰好是的二项展开式中的第项3. 牢记且理解事件中常见词语的含义：(1) 、中至少有一个发生的事件为；(2) 、都发生的事件为；(3) 、都不发生的事件为；(4) 、恰有一个发生的事件为；(5) 、至多一个发生的事件为.4. 关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记P(-X+)，P(-2X+2)，P(-3Xb,bc时称为“凹数”（如213,312等），若，且a,b,c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是（ ）A B C D【答案】C 9. 【2016届陕西省安康市高三第三次联考】在一次全国高中五省大联考中, 有万名学生参加, 考后对所有学生成绩统计发现, 英语成绩服从正态分布.用茎叶图列举了名学生的英语成绩, 巧合的是这个数据的平均数和方差恰好比所有万个数据的平均数和方差都多,且这个数据的方差为.（1）求；（2）给出正态分布的数据： 若从这万名学生中随机抽取名, 求该生英语成绩在的概率；若从这万名学生中随机抽取万名, 记为这万名学生中英语成绩在的人数, 求的数学期望. 10. 【2016年河南省商丘市高三三模】如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况，该题满分为分.已知甲、乙两组的平均成绩相同，乙组某个数据的个位数模糊，记为.（）求的值，并判断哪组学生成绩更稳定；（）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于分的概率.【解析】（I）， . ， 甲组成绩比乙组稳定. （II）记甲组名同学为：；乙组名同学为：，分别从甲乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为： 共个基本事件，其中得分之和低于分的共个，所以得分之和低于分的概率为. 11.【2015届清华附中考前适应性练习】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题意得，由条件概率公式得，所以应选A12. 【2015届中国人民大学附属中学高考冲刺五】从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由已知及定积分的几何意义知：图中阴影图形的面积，所以所求概率；13.【2015届甘肃省天水市一中高三第五次高考模拟考试】将一颗骰子先后抛掷次，观察向上的点数以第一次向上点数为横坐标，第二次向上的点数为纵坐标的点 在圆的内部的概率为 【答案】【解析】根据题意可知，的所有可能有共种情况，而满足在圆的内部的点有共13种可能，故所求的概率为14. 【2015届江西省高安中学高三命题中心模拟押题一】从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195m之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人（1）求第七组的频率并估计该校800名男生中身高在cm以上（含cm）的人数；（2）从第六组和第八组的男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，求15.【2015届海南省嘉积中学高三下学期第五次测试】清华大学自主招生考试题中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：题ABC答卷数180300120（）负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（）测试后的统计数据显示，A题的答卷得优的有60份，若以频率作为概率，在（）问中被抽出的选择A题作答的答卷中，记其中得优的份数为，求的分布列及其数学期望【解析】（）由题意可得：题ABC答卷数180300120抽出的答卷数352应分别从题的答卷中抽出份，份（）由题意可知，A题答案得优的概率为，显然被抽出的A题的答案中得优的份数的可能取值为0,1,2,3，且；随机变量的分布列为：所以拓展试题以及解析1. 2016年春节，小红、小芳、小英、小丽四个同学相互发短信，小红不给小英发短信的概率是（ ） A B C D【答案】D【解析】小红、小芳、小英、小丽四个同学相互发短信共有种情况，小红给小英发短信只有一种情况，小红不给小英发短信的概率是.选D.【入选理由】本题主要考查对立事件的概率等基础知识的理解和应用，意在考查学生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力本题是一个常规题，考查知识基础，故选此题.2.已知指数函数的图象过点，则在内任取一个实数，使得的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【入选理由】本题主要考查指数函数的定义、图象与性质以及几何概型等基础知识的理解和应用，意在考查学生的分析问题解决问题的能力，逻辑推理能力和运算求解能力本题是函数与几何概型结合出题，高考曾经出过，故选此题.3.袋中有形状、大小都相同的五只球，其中2只红球，3只白球，从中一次随机摸出2只球，则至少有1只白球的概率为【答案】【解析】从五只球中一次随机摸出2只球共有种基本事件，其中全是红球包含种基本事件，因此至少有1只白球的概率为【入选理由】本题主要考查古典概型，对立事件的概率等基础知识的理解和应用，意在考查学生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力本题是一个常规题，考查知识基础，故选此题.4.已知3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】记“第一次取出次品”为事件，“第二次取出次品”为事件，则，所以，故选C【入选理由】本题主要考查条件概率等基础知识的理解和应用，意在考查学生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力本题是一个常规题，考查知识基础，故选此题.5.广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征2015年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：，后得到如图的频率分布直方图问：（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在的人数；（2）求40名广场舞者年龄的众数和中位数的估计值；（3）若从年龄在中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者中年龄在恰有1人的概率【解析】（1）由直观图知年龄分布在的频率为，所以40名广场舞者中年龄分布在的人数为（名）（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于设图中将所有矩形面积和均分的年龄为，则，解得即中位数的估计值为55.（3）由图可知，年龄在的广场舞者有人，在的广场舞者有人设年龄在的2名广场舞者为，年龄在的4名广场舞者为，则所有基本事件有：，共15种，其中年龄在的广场舞者恰有1人的事件有：，共8种，所以，这两名广场舞者中年龄在恰有1人的概率为【入选理由】本题主要考查频率分布直方图的识别与计算、样本的数字特征、古典概型等基础知识的理解和应用，意在考查学生的识图能力、审读能力、获取信息的能力、分类讨论思想，分析问题解决问题的能力和运算求解能力本题以社会热点问题为背景，考查了学生获取信息、处理信息的能力，体现了新课程的理念，故选此题.6.随着科技的发展，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，除了传统的打电话外，手机的功能越来越强大，人们可以玩游戏、看小说、观电影、逛商城等等，真是“一机在手，天下我有”，所以，有人把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，低头族已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对“低头族”认识，从某社区的500名市民中，随机抽取100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如下：()频率分布表中的位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名志愿者的平均年龄；（）在抽出的100名市民中按年龄采用分层抽样的方法抽取名接受采访，再从这名中选取2名担任主要发言人若这两人从不小于岁的人中选取，问恰有一人年龄在岁的概率【解析】()由题意知频率分布表中的位置应填数字为：，位置应填数字为：补全频率分布直方图，如图所示平均年龄估值为：； 5分()由表知，抽取的人中，年龄不小于岁的有人，其中年龄在岁的有人，在岁的有人，故设为，则从这人中任取两人有， 共种取法，其中恰有一人年龄在岁的有种取法，故恰有一人年龄在岁的概率为【入选理由】本题主要考查频率分布直方图，分层抽样方法，古典概型等基础知识的理解和应用，意在考查学生的识图能力、审读能力、获取信息的能力，分析问题解决问题的能力和运算求解能力本题以社会热点问题为背景，考查了学生获取信息、处理信息的能力，故选此题.7. 大学生小李毕业后自主创业,买了一辆农用卡车运输农产品,在苹果收获季节,运输1车苹果,当天卖完获得利润300元,当天未卖完或者有剩余,一律按每车亏损200元计算根据以往市场调查，得到苹果收获季节市场需求量的频率分布直方图，如图所示，今年苹果收获的季节，小李订了130车苹果，以（单位：车，）表示今年苹果收获季节的市场需求量，（单位：元）表示今年苹果销售的利润.（）求图中的值，并估计今年苹果收获季节市场需求量的众数；（）将表示为的函数；（III）根据直方图估计利润不少于元的概率（III）若，由，得又当时，.由直方图可知当时市场需求量的频率是.可以估计利润不少于元的概率是. 【入选理由】本题主要考查频率分布直方图、众数、函数解析式、概率等基础知识的理解和应用，意在考查学生的识图能力、审读能力、获取信息的能力，分析问题解决问题的能力和运算求解能力本题以社会热点问题为背景，考查了学生获取信息、处理信息的能力，故选此题.8. 中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”，为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研，人社部从网上年龄在1565的人群中随机调查50人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下： （）由以上统计数据填下面22列联表，并问是否有90的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休”政策的支持度有差异；45岁以下45岁以上合计支持不支持合计（）若从年龄在45，55），55，65的被调查人中各随机选取1人进行调查，求选中的2人中恰有1人支持“延迟退休年龄政策”的概率 参考数据：【解析】()由频率分布直方图知，被调查的50人中年龄在45岁以上的人数为（0.01+0.01)1050=10，年龄在45岁以下的人数为50-10=40，其中45岁以上支持“延迟退休”的人数为3，45岁以下支持“延迟退休”的人数为25， 22列联表如下：年龄45岁以下人数年龄45岁以上人数 合计支持25328不支持157 22合 计4010 502.706，所以有90%的把握认为以45岁为分界点对“延迟退休年龄”政策的支持度有差异. ()由频率分布直方图知，被调查的50人中年龄在45,55)之间和年龄在55,65)之间的人数都为0.011050=5，其中年龄在45,55)之间和年龄在55,65)之间支持“延迟退休”的人数分别为2，1，设调查的50人中年龄在45,55)之间不支持“延迟退休”政策的人为，支持“延迟退休”政策的人为，年龄在55,65)之间不支持“延迟退休”政策的人为，,支持“延迟退休”政策的人为， 从年龄在45，55），55，65的被调查人中各随机选取1人，有 ，,，,，,，,， ，,，,，,，,，,，,，,，共有25种不同取法，其中选中的2人中恰有1人支持“延迟退休年龄政策”的取法有,，,， ，,，,，,， 共11种不同取法，故选中的2人中恰有1人支持“延迟退休年龄政策”的概率为.【入选理由】本题主要考查总体估计、独立性检验、古典概型等基础知识的理解和应用，意在考查学生的识图能力、审读能力、获取信息的能力，分析问题解决问题的能力和运算求解能力本题以社会热点问题为背景，考查了学生获取信息、处理信息的能力，故选此题.
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