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(二)直线与圆锥曲线(2)1(2016四川)已知椭圆E:1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数,使得|PT|2|PA|PB|,并求的值解(1)由已知,得ab,则椭圆E的方程为1.由方程组得3x212x(182b2)0.方程的判别式为24(b23),由0,得b23,此时方程的解为x2,所以椭圆E的方程为1.点T的坐标为(2,1)(2)由已知可设直线l的方程为yxm(m0),由方程组可得所以P点坐标为,|PT|2m2.设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)由方程组可得3x24mx(4m212)0.方程的判别式为16(92m2),由0,解得m0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由解(1)如图,由已知得M(0,t),P,又N为M关于点P的对称点,故N,ON的方程为yx,代入y22px整理得px22t2x0,解得x10,x2,因此H.所以N为OH的中点,即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点,理由如下:直线MH的方程为ytx,即x(yt)代入y22px得y24ty4t20,解得y1y22t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外,直线MH与C没有其他公共点3(2016浙江)如图,设椭圆y21(a1)(1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围解(1)设直线ykx1被椭圆截得的线段为AM,由得(1a2k2)x22a2kx0,故x10,x2,因此|AM|x1x2|.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1k2.由(1)知|AP|,|AQ|,故,所以(kk)1kka2(2a2)kk0.由k1k2,k1,k20得1kka2(2a2)kk0,因此1a2(a22),因为式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1,所以a.因此任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a,由e,得0e.所以离心率的取值范围为(0,4(2016课标全国丙)已知抛物线C:y22x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程(1)证明由题意知F,设l1:ya,l2:yb,则ab0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x(ab)yab0.由于F在线段AB上,故1ab0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1bk2.所以 ARFQ.(2)解设过AB的直线为l,l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF|ba|FD|ba|,SPQF.由题意可得|ba|,所以x11,x10(舍去)设满足条件的AB的中点为E(x,y)当AB与x轴不垂直时,由kABkDE可得(x1)而y,所以y2x1(x1)当AB与x轴垂直时,E与D重合,此时E点坐标为(1,0),所以所求轨迹方程为y2x1.
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