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江苏省南通中学 20162017 学年度第一学期期中试卷 高二数学试卷 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分请把 答案直接填写在答题卡相应位 置上 1 直线 l 在平面 内,可以用符号“ ”表示 2 若 ABC 在平面 外,它的三条边所在的直线分别交 于 P、 Q、 R,则点 Q 直线 PR(用符号表示它们的位置关系) 3 直线 的倾斜角为 yxm 4 长方体 ABCD A1B1C1D1中,异面直线 AB, A1D1所成的角等于 5 点 与圆 x2 y224 的位置关系是 2(,5)P 6 棱长都是 1 的三棱锥的表面积为 7 已知 (x, y)|ax y b0( x, y)|x y10 ,则 a, b 所满足的条件是 8 两直线 l1: ax2 y b0; l2:( a1) x y b0.若 l1 l2,且 l1与 l2的距离为 ,则2 .ab 9 不论 取什么 实数,直线 恒过定m(1)(3)()0mxym 点 . 10如图,在三棱柱 中, 分别是1ABCD, EF, 的AB, 1C, 中点,设三棱锥 的体积为 ,三棱柱 的体F1V1ABC 积 为 ,则 .2V12: 11光线从点 M(2,3)射到 x 轴上一点 P(1,0)后被 x 轴反射,则反射光线所在的直线方程为 12设 m, n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,下列命题正确的是 若 m n, m , n ,则 ; 若 m , n , ,则 m n; 若 m , n , ,则 m n; 若 m n, m , n ,则 13已知两点 、 ,点 是圆 上任意一点, 则 的最大值是 (1,0)A(,2)BP2(1)xyPAB 14已知圆 与曲线 ,曲线 上两点 , ( 、 、2:4Oxy:3|CytC(,)n(,)spmn 、 均为正整数) ,使得圆 上任意一点到点 的距离与到点 的距离之比为定值spOAk ,则 = (1)kspmn (第 10 题) 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 15 (1)过原点作直线 l 的垂线,若垂足为 A(2,3),求直线 l 的方程; (2)三角形三个顶点是 A(4,0), B(6,7), C(0,3),求 AB 边上的高所在的直线方程 16求经过 P(2,4), Q(3,1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6 的圆的方程 17如图,在三棱锥 中,平面 平面 , , ,过SABCSABCABSAB 作 ,垂足为 ,点 分别是棱 , 的中点.AFFEG, S (1)求证:平面 平面 ; (2)求证: .S 18如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区规划要 求:新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆经 测量,点 A 位于点 O 正北方向 60 m处,点 C 位于点 O 正东方向 170 m 处( OC 为河岸), tan BCO . 43 (1)当点 M 与 A 重合时,求圆形保护区的面积; (2)若古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m当 OM 多长时,点 M 到直线 BC 的距离最小? (第 17 题) 19如图,在棱长均为 4 的三棱柱 中, 、 分别是 BC 和 的中点.1ABCD11BC (1)求证: 平面 ;1AD1 (2)若平面 ABC平面 , ,求三棱锥 的体积.1601A D1 C1B 1 A1 D CBA 20在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O: x2 y21, P 为直线 l: x 上一点 43 (1)若点 P 在第一象限,且 OP ,求过点 P 圆 O 的切线方程; 53 (2)若存在过点 P 的直线交圆 O 于点 A, B,且 B 恰为线段 AP 的中点,求点 P 纵坐 标的取值范围; (3)设直线 l 动点 Q, Q 与 O 相外切, Q 交 l于 M、 N 两点,对于任意直径 MN,平面上是 否存在不在直线 l上的定 点 A,使得 MAN 为定值?若存在,直接写出点 A 的坐标;若不 存在,请说明理由. (第 18 题) (第 19 题) 20162017 学年度第一学期高二数学期中参考答案 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位 置上 1. l2. 3. 44. 25. 在圆外 6. 3 7. 且1ab8. 9. (2,3)10. 1:411. 10 xy12. 13. 314. 0 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 15. (本小题满分 14 分) 解: (1) ,且 OA l,32OAk l 的斜率为 . k 于是 l 的方程为 整理得 2x3 y130. (7 分)23()yx (2) ,设所求直线方程 2 x7 y m0, 7ABk 代入点 C 坐标得 m21. (也可由点斜式求,由 ,得 2x7 y210.)23()7yx AB 边上的高所在的直线方程为 2x7 y210. (7 分) 16. (本小题满分 14 分) 解:设圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F0, 将 P、 Q 点的坐标分别代入得Error! 又令 y0,得 x2 Dx F0. 设 x1、 x2是方程的两根, 由| x1 x2|6 有 D24 F36. 由解得 D2, E4, F8 或 D6, E8, F0. 故所求圆的方程为 x2 y22 x4 y80 或 x2 y26 x8 y0 . 17. (本小题满分 14 分) 证明:(1) ,ASBFS F 分别是 SB 的中点 E, F 分别是 SA, SB 的中点 EF AB 又 EF 平面 ABC, AB 平面 ABC EF平面 ABC 同理: FG平面 ABC 又 EF FG=F, EF 平面 ABC, FG 平面 ABC 平面 平面 (7 分)/EGABC (2)平面 平面 ,平面 平面 =BC SSBC AF 平面 SAB , AF SB AF平面 SBC 又 BC 平面 SBC AF BC 又 , AB AF=A, AB 平面 SAB , AF 平面 SAB ABC BC平面 SAB 又 SA 平面 SAB, BC SA. (14 分) 18. (本小题满分 16 分) 解: (1)以 O 为坐标原 点, OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系 xOy. 由条件知 A(0,60), C(170,0), 直线 BC 的斜率 43Bk 又因为 AB BC,所以直线 AB 的斜率 34ABk 设点 B 的坐标为( a,b),则 ,017BCba6034ABbka 解得 a80, b120 所以圆形保护区半径 22(80)(60)1rA 则圆形保护区面积为 .(8 分)12m (2)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m, OM d m( ) 由条件知,直线 BC 的方程为 y (x170),即 4x3 y6800 43 由于圆 M 与直线 BC 相切,故点 M(0, d)到直线 BC 的距离是 r 即 r |3d 680|42 32 680 3d5 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m, 所以Error! 解得 10 d35 则当 d10,即 OM10m 时, M 到直线 BC 的距离最小 (16 分) 19. (本小题满分 16 分) 证明:(1)如图,连结 ,在三棱柱 中,1D1ABC 因为 分别是 与 的中点,1,1 所以 ,且 /B 所以四边形 为平行四边形,1 所以 ,且/D1B 又因为 ,1,A 所以 ,1/ 所以四边形 为平行四边形,所以 1/AD 又 平面 , 平面 ,故 平面 (8 分)1AD1BADB1AB 解: (2)在 中,因为 , 为 的中点,所以CCC 因为平面 平面 ,交线为 , 平面 ,1 所以 平面 ,即 是三棱锥 的高 ABA1B 在 中,因为 ,得 423D 在 中, ,1C11,60C 所以 的面积 ,B1234BCS 所以三棱锥 的体积,即三棱锥 的体积,1A1AB (16 分)13283BCVSD 20. (本小题满分 16 分) 解:(1)设点 P 的坐标为( , y0) 43 因 OP ,所以( ) y02( )2,解得 y01 53 43 53 又点 P 在第一象限,所以 y01,即 P 的坐标为( ,1) 43 易知过点 P 圆 O 的切线的斜率必存在,可设切线的斜率为 k, 则切线为 y1 k(x ),即 kx y1 k0,于是有 1, 43 43 解得 k0 或 k 247 因此过点 P 圆 O 的切线为: y1 或 24x7 y250 (5 分) (2)设 A(x, y),则 03(,)2 xB 因为点 A, B 均在圆上,所以有 即 该方程组有解,即圆 x2 y21 与圆( x )2( y y0)24 有公共点 43 于是 1 3,解得 y0 , 即点 P 纵坐标的取值范围是 , (10 分) (3)存在,点 的坐标为 (16 分) (写出存在两字给 2 分)A37(,)4
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