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第2课时 二次函数与利润问题及几何问题自学目的【知识与技能】1.经历探索实际问题中两个变量的过程,使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路.2.初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题.【过程与方法】经历优化问题的探究过程,认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,发展我们运用数学知识解决实际问题的能力.【情感态度】体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增加对数学的理解和学好数学的信心.【自学重点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值.【自学难点】二次函数最值在实际中生活中的应用,激发学生的学习兴趣.自学过程一、情境导入,初步认识问题1 同学们完成下列问题:已知y=x2-2x-3x= 时,y有最 值,其值为 ;当-1x4时,y最小值为 ,y最大值为 .答案:1,小,-4;-4,5【自学说明】解决上述问题既是对前面所学知识的巩固,又是本节课解决优化最值问题的理论依据.二、思考探究,获取新知自学点1 最大面积问题阅读教材P30动脑筋,回答下列问题.1.若设窗框的宽为xm,则窗框的高为 m,x的取值范围是 .2.窗框的透光面积S与x之间的关系式是什么?3.如何由关系式求出最大面积?答案:1. 0x 2.S=-x2+4x,0x3.Smax=m2.例1 如图,从一张矩形纸片较短的边上找一点E,过E点剪下两个正方形,它们的边长分别是AE,DE,要使剪下的两个正方形的面积和最小,点E应选在何处?为什么?解:设矩形纸较短边长为a,设DE=x,则AE=a-x,那么两个正方形的面积和:y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2当x=-时,y最小值=2(a)2-2aa+a2=a2 即点E选在矩形纸较短边的中点时,剪下的两个正方形的面积和最小.【自学说明】此题要充分利用几何关系建立二次函数模型,再利用二次函数性质求解.自学点2 最大利润问题例2 预习教材P31例题【自学说明】通过例题讲解使学生初步认识到解决实际问题中的最值,首先要找出最值问题的二次函数关系式,利用二次函数的性质为理论依据来解决问题. 例3 某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件,该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?【分析】找出进价,售价,销售,总利润之间的关系,建立二次函数,再求最大值.列表分析如下:关系式:每件利润=售价-进价,总利润=每件利润销量.解:设降价x元,总利润为y元,由题意得y=(10-x-8)(100+100x)=-100x2+100x+200=-100(x-0.5)2+225.当x=0.5时,总利润最大为225元.当商品的售价降低0.5元时,销售利润最大.三、运用新知,深化理解1.如图,点C是线段AB上的一个支点,AB=1,分别以AC和CB为一边作正方形,用S表示这两个正方形的面积之和,下列判断正确的是( )A.当C是AB的中点时,S最小B.当C是AB的中点时,S最大C.当C为AB的三点分点时,S最小D.当C是AB的三等分点时,S最大第1题图 第2题图2.如图,某水渠的横断面是等腰梯形,底角为120,两腰与下底的和为4cm,当水渠深x为 时,横断面面积最大,最大面积是 .3.某经销店为某工厂代销一种建筑材料,当每吨售价为260元时,月销售量为45吨,该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销,经市场调查发现:当每吨售价下降10元时,月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素,每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元,设每吨材料售价为x(元),该经销店的月利润为y(元).当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元?小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由.【答案】1.A 2. cm, cm2 3.解:45+ 7.5=60(吨).y=(x-100)(45+7.5).化简,得y=-x2+315x-24 000.y=-x2+315x-24 000=-(x-210)2+9 075.此经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨210元.我认为,小静说得不对.理由:当月利润最大时,x为210元,每月销售额W=x(45+7.5=- (x-160)2+19 200.当x为160元时,月销售额W最大.当x为210元时,月销售额W不是最大的.小静说得不对.【自学说明】1.先列出函数的解析式,再根据其增减性确定最值.2.要分清利润,销售量与售价的关系;分清最大利润与最大销售额之间的区别.四、预习小结这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?能根据实际问题建立二次函数的关系式并确定自变量取值范围,并能求出实际问题的最值.
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