九年级数学上学期第一次月考试卷（含解析） 苏科版 (2)

江苏省扬州市宝应县泰山中学、安宜中学联考2016-2017学年九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，计24分）1下列方程中，一元二次方程是（）Ax2+=0B（2x1）（x+2）=1Cax2+bx=0D3x22xy5y2=02下列命题中，真命题的个数是（）经过三点一定可以作圆；任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；三角形的内心到三角形的三个顶点距离相等A4个B3个C2个D1个3若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a21=0的一个根是0，则a的值为（）A1B1C1或1D4已知正三角形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：a：R等于（）A1：2：2B1：2：2C1：2：D1：25O的半径为10cm，两平行弦AC，BD的长分别为12cm，16cm，则两弦间的距离是（）A2cmB14cmC6cm或8cmD2cm或14cm6某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A200（1+x）2=1000B200+2002x=1000C200+2003x=1000D2001+（1+x）+（1+x）2=10007如图，将半径为2的圆形纸片，沿半径OA、OB将其裁成1：3两个部分，用所得扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（）AB1C1或3D8如图，以AD为直径的半圆O经过RtABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为（）ABCD二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，计30分）9已知x=1是方程ax2+x6=0的一个根，则a=10已知两直角边是5和12的直角三角形，则其内切圆的半径是11如果x22x1的值为2，则3x26x的值为12图中ABC外接圆的圆心坐标是13如果O的直径为6厘米，圆心O到直线AB的距离为6厘米，那么O与直线AB的位置关系是14若（a2+b2）（a2+b22）=3，则a2+b2=15用半径为10cm，圆心角为216的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为cm16如图，四边形ABCD为O的内接四边形，E为AB延长线上一点，CBE=40，则AOC等于17如图，直线AB、CD相交于点O，AOC=30，半径为1cm的P的圆心在直线AB上，且与点O的距离为6cm如果P以1cms的速度，沿由A向B的方向移动，那么秒种后P与直线CD相切18如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于三、解答题：（本大题共10小题，计96分，请写出必要的步骤）19（8分）用适当的方法解下列方程（1）x22x4=0； （2）x22x=020（8分）如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D已知：AB=24cm，CD=8cm（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径21（8分）如图，AB是O的直径，MN切O于点C，且BCM=38，求ABC的度数22（8分）已知一元二次方程x24x+k=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x24x+k=0与x2+mx1=0有一个相同的根，求此时m的值23（10分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？24（10分）如图，AC是O的直径，点B，D在O上，点E在O外，EAB=D=30（1）C的度数为；（2）求证：AE是O的切线；（3）当AB=3时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）25（10分）如图，已知AB是O的直径，PB为O的切线，B为切点，OP弦BC于点D且交O于点E（1）求证：OPB=AEC；（2）若点C为半圆的三等分点，请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形？并说明理由26（10分）如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地（1）设通道的宽度为x米，则a=（用含x的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米请问通道的宽度为多少米？27（12分）如图，AB、BC、CD分别与O相切于E、F、G，且ABCD，BO=6，CO=8（1）判断OBC的形状，并证明你的结论；（2）求BC的长；（3）求O的半径OF的长28（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作等边OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC1），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边BCD，直线DA交y轴于E点（1）如图，当C点在x轴上运动时，设AC=x，请用x表示线段AD的长；（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，当C点运动到何处时直线EF直线BO？此时F和直线BO的位置关系如何？请说明理由G为CD与F的交点，H为直线DF上的一个动点，连结HG、HC，求HG+HC的最小值，并将此最小值用x表示2016-2017学年江苏省扬州市宝应县泰山中学、安宜中学联考九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，计24分）1下列方程中，一元二次方程是（）Ax2+=0B（2x1）（x+2）=1Cax2+bx=0D3x22xy5y2=0【考点】一元二次方程的定义【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可【解答】解：A、x2+=0是分式方程；B、（2x1）（x+2）=1，即2x2+3x3=0是一元二次方程；C、ax2+bx=0中a=0时，不是一元二次方程；D、3x22xy5y2=0是二元二次方程；故选：B【点评】本题主要考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键2下列命题中，真命题的个数是（）经过三点一定可以作圆；任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；三角形的内心到三角形的三个顶点距离相等A4个B3个C2个D1个【考点】命题与定理【分析】利用确定圆的条件、三角形的外接圆与内切圆及三角形的内心的定义分别判断后即可确定正确的选项【解答】解：经过不在同一直线上的三点一定可以作圆，故错误，是假命题；任意一个圆有无数个内接三角形，故错误，是假命题任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，正确，是真命题；三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故错误，是假命题，故选D【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、三角形的外接圆与内切圆及三角形的内心的定义等知识，难度不大3若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a21=0的一个根是0，则a的值为（）A1B1C1或1D【考点】一元二次方程的解【分析】把x=0代入方程（a+1）x2+x+a21=0得出a21=0，求出a=1，再根据一元二次方程的定义判断即可【解答】解：把x=0代入方程（a+1）x2+x+a21=0得：a21=0，解得：a=1，方程为一元二次方程，a+10，a1，a=1，故选A【点评】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义的应用，关键是能根据题意得出方程a21=0和a+104已知正三角形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：a：R等于（）A1：2：2B1：2：2C1：2：D1：2【考点】正多边形和圆【分析】利用正三角形的边长与它的内切圆和外接圆的半径之间的关系求解【解答】解：等边三角形的一边上的高的倍为它的内切圆的半径，等边三角形的一边上的高的倍为它的外接圆的半径，而高又为边长的倍，r：a：R=1：2：2故选A【点评】本题利用了正三角形的边长与它的内切圆和外接圆的半径的关系求解5O的半径为10cm，两平行弦AC，BD的长分别为12cm，16cm，则两弦间的距离是（）A2cmB14cmC6cm或8cmD2cm或14cm【考点】垂径定理【分析】解答有关垂径定理的题，作辅助线一般是连接半径或作垂直于弦的直径分两种情况解答：弦AC、BD在O的同侧；弦AC、BD在O的两侧【解答】解：如图作OEAC垂足为E，交BD于点F，OEAC ACBD，OFBD，AE=AC=6cm BF=BD=8cm，在RtAOE中OE=8cm同理可得：OF=6cmEF=OEOF=86=2cm；如图同理可得：EF=OE+OF=8+6=14cm综上所述两弦之间的距离为2cm或14cm故选D【点评】此题主要利用垂径定理，把问题转化为直角三角形，运用勾股定理来解决，还得注意分情况讨论6某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A200（1+x）2=1000B200+2002x=1000C200+2003x=1000D2001+（1+x）+（1+x）2=1000【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可【解答】解：一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，二月份的营业额为200（1+x），三月份的营业额为200（1+x）（1+x）=200（1+x）2，可列方程为200+200（1+x）+200（1+x）2=1000，即2001+（1+x）+（1+x）2=1000故选：D【点评】考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1x）2=b得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键7如图，将半径为2的圆形纸片，沿半径OA、OB将其裁成1：3两个部分，用所得扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（）AB1C1或3D【考点】弧长的计算；圆心角、弧、弦的关系【分析】利用勾股定理，弧长公式，圆的周长公式求解【解答】解：如图，分两种情况，设扇形S2做成圆锥的底面半径为R2，由题意知：扇形S2的圆心角为270度，则它的弧长=2R2，R2=；设扇形S1做成圆锥的底面半径为R1，由题意知：扇形S1的圆心角为90度，则它的弧长=2R1，R1=故选D【点评】本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式求解8如图，以AD为直径的半圆O经过RtABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为（）ABCD【考点】扇形面积的计算；弧长的计算【分析】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用SABCS扇形BOE=图中阴影部分的面积求出即可【解答】解：连接BD，BE，BO，EO，B，E是半圆弧的三等分点，EOA=EOB=BOD=60，BAC=EBA=30，BEAD，弧BE的长为，=，解得：R=2，AB=ADcos30=2，BC=AB=，AC=3，SABC=BCAC=3=，BOE和ABE同底等高，BOE和ABE面积相等，图中阴影部分的面积为：SABCS扇形BOE=故选：D【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出BOE和ABE面积相等是解题关键二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，计30分）9已知x=1是方程ax2+x6=0的一个根，则a=5【考点】一元二次方程的解【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可【解答】解：把x=1代入方程得a+16=0，解得a=5故答案为5【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根10已知两直角边是5和12的直角三角形，则其内切圆的半径是2【考点】三角形的内切圆与内心【分析】先用勾股定理求出斜边，再利用直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边之差的一半，计算出内切圆的半径【解答】解：斜边=13cm，则此直角三角形的内切圆半径=2cm故答案为2【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，掌握直角三角形内切圆的半径=是解题的关键11如果x22x1的值为2，则3x26x的值为9【考点】代数式求值【分析】将x22x看作一个整体并求出其值，然后代入代数式进行计算即可得解【解答】解：x22x1的值为2，x22x1=2，x22x=3，3x26x=3（x22x）=33=9故答案为：9【点评】本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键12图中ABC外接圆的圆心坐标是（5，2）【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质【分析】本题可先设圆心坐标为（x，y），再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标【解答】解：设圆心坐标为（x，y）；依题意得：A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则有： =；即（3x）2+（6y）2=（1x）2+（4y）2=（1x）2+y2，化简后得：x=5，y=2；因此圆心坐标为：（5，2）【点评】本题考查了三角形外接圆的性质和坐标系中两点间的距离公式解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质13如果O的直径为6厘米，圆心O到直线AB的距离为6厘米，那么O与直线AB的位置关系是相离【考点】直线与圆的位置关系【分析】先求出圆的半径，再根据直线与圆的位置关系的判定方法进行判断即可【解答】解：O的直径为6厘米，O的半径为3厘米，圆心O到直线AB的距离为6厘米，dr，O与直线AB的位置关系是相离故答案为：相离【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，若dr，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若dr，则直线与圆相离14若（a2+b2）（a2+b22）=3，则a2+b2=3【考点】换元法解一元二次方程【分析】把a2+b2看成是一个整体，用十字相乘法因式分解，解关于a2+b2的一元二次方程，求出它的值，对小于0的值要舍去【解答】解：（a2+b2）（a2+b22）=3，（a2+b2）22（a2+b2）3=0，（a2+b23）（a2+b2+1）=0，a2+b2+10，a2+b2=3故答案是：3【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程，在解题过程中，体现整体思想，对没意义的值要舍去15用半径为10cm，圆心角为216的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为8cm【考点】圆锥的计算【分析】根据圆的周长公式和扇形的弧长公式解答【解答】解：如图：圆的周长即为扇形的弧长，列出关系式解答： =2x，又n=216，r=10，（21610）180=2x，解得x=6，h=8故答案为：8cm【点评】考查了圆锥的计算，先画出图形，建立起圆锥底边周长和扇形弧长的关系式，即可解答16如图，四边形ABCD为O的内接四边形，E为AB延长线上一点，CBE=40，则AOC等于80【考点】圆周角定理【分析】先根据补角的性质求出ABC的度数，再由圆内接四边形的性质求出ADC的度数，由圆周角定理即可得出AOC的度数【解答】解：CBE=40，ABC=180CBE=18040=140，四边形ABCD为O的内接四边形，D=180ABC=180140=40，AOC=2D=240=80故答案为：80【点评】本题考查的是圆周角定理及圆内接四边形的性质，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半17如图，直线AB、CD相交于点O，AOC=30，半径为1cm的P的圆心在直线AB上，且与点O的距离为6cm如果P以1cms的速度，沿由A向B的方向移动，那么4或8秒种后P与直线CD相切【考点】直线与圆的位置关系；切线的判定【分析】分类讨论：当点P在当点P在射线OA时P与CD相切，过P作PECD与E，根据切线的性质得到PE=1cm，再利用含30的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm，则P的圆心在直线AB上向右移动了（62）cm后与CD相切，即可得到P移动所用的时间；当点P在射线OB时P与CD相切，过P作PECD与F，同前面一样易得到此时P移动所用的时间【解答】解：当点P在射线OA时P与CD相切，如图，过P作PECD与E，PE=1cm，AOC=30，OP=2PE=2cm，P的圆心在直线AB上向右移动了（62）cm后与CD相切，P移动所用的时间=4（秒）；当点P在射线OB时P与CD相切，如图，过P作PECD与F，PF=1cm，AOC=DOB=30，OP=2PF=2cm，P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切，P移动所用的时间=8（秒）故答案为4或8【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）也考查了切线的性质18如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于5【考点】弧长的计算；旋转的性质【分析】根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为圆弧，根据弧长公式求出弧长即可【解答】解：由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，从O到O1的运动轨迹是一条直线，长度为圆的周长，然后沿着弧O1O2旋转圆的周长，则圆心O运动路径的长度为：25+25=5，故答案为：5【点评】本题考查的是弧长的计算和旋转的知识，解题关键是确定半圆作无滑动翻转所经过的路线并求出长度三、解答题：（本大题共10小题，计96分，请写出必要的步骤）19用适当的方法解下列方程（1）x22x4=0； （2）x22x=0【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法【分析】（1）根据配方法可以解答此方程；（2）根据提公因式法可以解答此方程【解答】解：（1）x22x4=0x22x=4（x1）2=5x1=，解得，； （2）x22x=0x（x2）=0x=0或x2=0，解得，x1=0，x2=2【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选取合适的方法解答方程20如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D已知：AB=24cm，CD=8cm（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径【考点】确定圆的条件【分析】（1）、由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；（2）、在RtOAD中，由勾股定理可求得半径OA的长【解答】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x8）cm，则根据勾股定理列方程：x2=122+（x8）2，解得：x=13答：圆的半径为13cm【点评】本题利用了垂径定理，中垂线的性质，勾股定理求解21如图，AB是O的直径，MN切O于点C，且BCM=38，求ABC的度数【考点】切线的性质【分析】首先连接OC，由MN切O于点C，且BCM=38，即可求得OCB的度数，又由OB=OC，即可求得答案【解答】解：连接OC，MN切O于点C，OCMN，OCM=90，BCM=38，OCB=90BCM=52，OB=OC，ABC=OCB=52【点评】此题考查了切线的性质以及等腰三角形的性质注意准确作出辅助线是解此题的关键22已知一元二次方程x24x+k=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x24x+k=0与x2+mx1=0有一个相同的根，求此时m的值【考点】根的判别式；一元二次方程的解【分析】（1）根据方程有两个不等实数根，可得判别式大于零，根据解不等式，可得答案；（2）根据解方程，可得x24x+k=0的解，根据解相同，把方程的解代入，可得关于m的一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案【解答】解：由一元二次方程x24x+k=0有两个不相等的实数根，得=b24ac=（4）24k0，解得k4；（2）由k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x24x+k=0，得x24x+3=0，解得x1=1，x2=3，一元二次方程x24x+k=0与x2+mx1=0有一个相同的根，当x=1时，把x=1代入x2+mx1=0，得1+m1=0，解得m=0，当x=3时，把x=3代入x2+mx1=0，得9+3m1=0，解得m=，综上所述：如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x24x+k=0与x2+mx1=0有一个相同的根，【点评】本题考查了根的判别式，利用了根的判别式，同解方程23（10分）（2015岳池县模拟）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？【考点】一元二次方程的应用【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（40x）元，但每天多售出2x件即售出件数为（20+2x）件，因此每天赢利为（40x）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意得（40x）（20+2x）=1200，整理得2x260x+400=0解得x1=20，x2=10因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元答：每件衬衫应降价20元（2）设商场平均每天赢利y元，则y=（20+2x）（40x）=2x2+60x+800=2（x230x400）=2（x15）2625=2（x15）2+1250当x=15时，y取最大值，最大值为1250答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元【点评】（1）当降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；（2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式24（10分）（2014贵阳模拟）如图，AC是O的直径，点B，D在O上，点E在O外，EAB=D=30（1）C的度数为30；（2）求证：AE是O的切线；（3）当AB=3时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）【考点】切线的判定；扇形面积的计算【分析】（1）直接根据圆周角定理得到C=D=30；（2）先根据圆周角定理由AC是O的直径得ABC=90，则BAC=60，所以EAC=EAB+BAC=90，于是可根据切线的判定定理得到AE是O的切线；（3）连结OB，先判断OAB为等边三角形，则OA=3，AOB=60，所以BOC=120，然后利用图中阴影部分的面积=SAOB+S扇形BOC和扇形的面积公式、等边三角形的面积公式计算即可【解答】（1）解：C=D=30；故答案为30；（2）证明：AC是O的直径，ABC=90，BAC=60，而EAB=30，EAC=EAB+BAC=90，CAAE，AE是O的切线；（3）解：连结OB，如图，BAC=60，AB=3，OAB为等边三角形，OA=3，AOB=60，BOC=120，图中阴影部分的面积=SAOB+S扇形BOC=32+=+3【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了圆周角定理和扇形面积的计算25（10分）（2011营口）如图，已知AB是O的直径，PB为O的切线，B为切点，OP弦BC于点D且交O于点E（1）求证：OPB=AEC；（2）若点C为半圆的三等分点，请你判断四边形AOEC为哪种特殊四边形？并说明理由【考点】切线的性质；菱形的判定【分析】（1）根据题意得PBAB则OPB+POB=90再由OPBC，得ABC+POB=90即可得出ABC=OPB又AEC=ABC，得OPB=AEC；（2）四边形AOEC是菱形有两种解法：根据题意得出=再由C为半圆的三等分点，得=即ABC=ECB从而得出ABCE，ACBCACOE，四边形AOEC是平行四边形又OA=OE，从而得出四边形AOEC是菱形【解答】（1）证明：AB是O的直径，PB为O的切线，PBABOPB+POB=90OPBC，ABC+POB=90ABC=OPB又AEC=ABC，OPB=AEC（2）解：四边形AOEC是菱形证法一：OP弦BC于点D且交O于点E，=C为半圆的三等分点，=ABC=ECBABCEAB是O的直径，ACBC又OP弦BC于点D且交O于点E，ACOE四边形AOEC是平行四边形又OA=OE，四边形AOEC是菱形证法二：连接OCC为半圆的三等分点，AOC=60ABC=AEC=OPB=30由（1），得POB=90OPB=60ECB=30ABC=ECB=30ABCEAB是O的直径，ACBC又OP弦BC于点D且交O于点E，ACOE四边形AOEC是平行四边形又OA=OE，四边形AOEC是菱形证法三：连接OC，则OC=OA=OEC为半圆的三等分点，AOC=60AOC为等边三角形AC=AOOP弦BC于点D且交O于点E，=C为半圆的三等分点，=AC=CEAC=CE=OA=OE四边形AOEC是菱形【点评】本题考查了菱形的性质以及切线的判定，是中考压轴题，难度较大26（10分）（2016扬中市一模）如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地（1）设通道的宽度为x米，则a=（用含x的代数式表示）；（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米请问通道的宽度为多少米？【考点】一元二次方程的应用【分析】（1）根据通道宽度为x米，表示出a即可；（2）根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则a=；故答案为：（2）根据题意得，（502x）（603x）x=2430，解得x1=2，x2=38（不合题意，舍去）答：中间通道的宽度为2米【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键27（12分）（2012秋番禺区期中）如图，AB、BC、CD分别与O相切于E、F、G，且ABCD，BO=6，CO=8（1）判断OBC的形状，并证明你的结论；（2）求BC的长；（3）求O的半径OF的长【考点】切线长定理；勾股定理；切线的性质【分析】（1）由切线长定理，易得OBE=OBF=EBF，OCG=OCF=GCF，又由ABCD，则可求得BOC=90；（2）由BO=6，CO=8，利用勾股定理即可求得BC的长；（3）利用直角三角形斜边上的高等于两直角边的积除以斜边，即可求得O的半径OF的长【解答】（1）答：OBC是直角三角形证明：AB、BC、CD分别与O相切于E、F、G，OBE=OBF=EBF，OCG=OCF=GCF，ABCD，EBF+GCF=180，OBF+OCF=90，BOC=90，OBC是直角三角形；（2）解：在RtBOC中，BO=6，CO=8，BC=10；（3）解：AB、BC、CD分别与O相切于E、F、G，OFBC，OF=4.8【点评】此题考查了切线长定理、切线的性质、勾股定理以及直角三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用28（12分）（2016秋宝应县校级月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作等边OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC1），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边BCD，直线DA交y轴于E点（1）如图，当C点在x轴上运动时，设AC=x，请用x表示线段AD的长；（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，当C点运动到何处时直线EF直线BO？此时F和直线BO的位置关系如何？请说明理由G为CD与F的交点，H为直线DF上的一个动点，连结HG、HC，求HG+HC的最小值，并将此最小值用x表示【考点】一次函数综合题【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得OBA与DBC的关系，根据等式的性质，可得OBC=ABD，根据“SAS”得到OBCABD，即可得到对应边AD与OC相等，由OC表示出AD即可；（2）根据全等三角形的性质，可得BAD=BOC=60，根据等边三角形的性质，可得BAO=60，根据平角定义及对顶角相等，可得OAE=60，根据tan60的定义求出OE的长，确定出点E的坐标，根据待定系数法，将点A和E的坐标代入即可确定出解析式；（3）根据平行线的性质，可得EF与EA重合，根据三角形的中位线，可得A为OC中点，根据线段中点的性质，可得C的坐标；根据等边三角形的性质，可得DFBC，根据平行线的性质，可得BF与OB垂直，根据切线的判定，可得答案；根据等边三角形的“三线合一”，可得DF垂直平分BC，根据轴对称的性呢，可得GB为HC+HG的最小值，根据圆的性质，可得FB，FC及FG相等，根据直角三角形的判定，可得BCG为直角三角形；根据“三线合一”，可得CBG为30，根据锐角三角函数，可得BG，根据等边三角形的性质，可得BM及AM，根据勾股定理表示出BC的长即可【解答】解：（1）OAB和BCD都为等边三角形，OB=AB，BC=BD，OBA=DBC=60，即OBA+ABC=DBC+ABC，OBC=ABD，在OBC和ABD中，OBCABD（SAS），AD=OC=1+x；（2）随着C点的变化，直线AE的位置不变理由如下：由OBCABD，得到BAD=BOC=60，又BAO=60，DAC=60，OAE=60，又OA=1，在直角三角形AOE中，tan60=，则OE=，点E坐标为（0，），A（1，0），设直线AE解析式为y=kx+b，把E和A的坐标代入，得，解得：，所以直线AE的解析式为y=x；（3）根据题意画出图形，如图所示1：BOA=DAC=60，EAOB，又EFOB，则EF与EA所在的直线重合，点F为DE与BC的交点，又F为BC中点，A为OC中点，又AO=1，则OC=2，当C的坐标为（2，0）时，EFOB；这时直线BO与F相切，理由如下：BCD为等边三角形，F为BC中点，DFBC，又EFOB，FBOB，即FBO=90，故直线BO与F相切；根据题意画出图形，如图所示：，由点B，点C及点G在圆F的圆周上得：FB=FC=FG，即FG=BC，CBG为直角三角形，又BCD为等边三角形，BG为CBD的平分线，即CBG=30，过点B作x轴的垂直，交x轴于点M，由OAB为等边三角形，M为OA中点，即MA=，BM=3，MC=AC+AM=x+在直角三角形BCM中，根据勾股定理得：BC=，DF垂直平分BC，B和C关于DF对称，HC=HB，则HC+HG=BG，此时BG最小，在直角三角形BCG中，BG=BCcos30=【点评】本题考查了一次函数综合题，（1）利用了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质；（2）利用了全等三角形的性质，等边三角形的性质，待定系数法求函数解析式；（3）利用了直线与圆的位置关系；利用了轴对称最短路线问题