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,二重积分及其性质,教学目的：二重积分及其计算教学重点：二重积分的基本性质教学难点：有限与无限的转化,二重积分及其性质,设有一立体，它的底是xoy平面上的有界闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面.顶是由二元非负连续函数表示的曲面z=f(x,y)这种立体称为D上的曲顶柱体,曲顶拄面的体积,对于平顶柱体，即f(x,y)h，这里h是大于0的常数，有,体积=底面积高,但曲顶柱体的高f(x,y)在区域D上是变量，当点(x,y)在区域D上变化时，高f(x,y)不断变化，因而曲顶柱体的体积不能用上面的公式来计算.但我们可以仿照求曲边梯形面积的思路.,分析,将D划分为n个小闭区域：,以每个小区域为底，以它们的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面，形成许多小曲顶柱体.原曲顶柱体被分割成n个小曲顶柱体.,曲顶柱体体积的近似等于n个小曲顶柱体的体积之和,例题,步骤如下：,用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,曲顶柱体的体积,每个小曲顶柱体可以近似地看成是一个平顶柱体,例题,区域D分割得越细密，小曲顶柱体的体积和越接近体积V.为了得到V的精确值，令n个小区域的最大直径0，则小曲顶柱体的体积和的极限就是曲顶柱体的体积V，即,例题,二重积分的定义,如果当这些小区域的直径的最大值趋于0时，上式的极限总存在，则称函数f(x,y)在区域D上可积，此极限值称为函数f(x,y)在区域D上的二重积分.,例题,注1要从定义来判定一个二重积分是否存在是困难的.为应用方便，我们介绍一个与定积分存在定理类似的结论.定理1在有界闭区域D上连续的函数必在D上可积.特别，在有界闭区域D上有定义的初等函数必在D上可积.因此，以后我们一般不就可积性问题展开讨论.,例题,例题,二重积分的几何意义,性质1被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即,性质2函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即,性质3如果区域D可以划分为D1与D2，其中D1与D2除边界外无公共点，则,.,二重积分的性质,推论,性质5设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，为区域D的面积，则,例题,性质4如果在区域D上有，则,性质6（二重积分中值定理）设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，为区域的面积，则在D上至少存在一点(,),使得,例题,解,例题,
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