资源描述
圆的基础学习教案一 姓名分数家长评价 在一次上时间管理的课上，教授在桌子上放了一个装水的罐子。然後又从桌子下面拿出一些正好可以从罐口放进罐子里的鹅卵石。当教授把石块放完后问他的学生道：“你们说这罐子是不是满的？” “是。”所有的学生异口同声地回答说。“真的吗？”教授笑着问。然后再从桌底下拿出一袋碎石子，把碎石子从罐口倒下去，摇一摇，再加一些，再问学生：“你们说，这罐子现在是不是满的？”这回他的学生不敢回答得太快。最后班上有位学生怯生生地细声回答道：“也许没满。” “很好！”教授说完后，又从桌下拿出一袋沙子，慢慢的倒进罐子里。倒完后，于是再问班上的学生：“现在你们再告诉我，这个罐子是满的呢？还是没满？” “没有满。”全班同学这下学乖了，大家很有信心地回答说。“好极了！”教授再一次称赞这些“孺子可教也”的学生们。称赞完了后，教授从桌底下拿出一大瓶水，把水倒在看起来已经被鹅卵石、小碎石、沙子填满了的罐子。当这些事都做完之后，教授正色问他班上的同学：“我们从上面这些事情得到什麽重要的功课？” 班上一阵沈默，然後一位自以为聪明的学生回答说：“无论我们的工作多忙，行程排得多满，如果要逼一下的话，还是可以多做些事的。”这位学生回答完後心中很得意地想：“这门课到底讲的是时间管理啊！” 教授听到这样的回答後，点了点头，微笑道：“答案不错，但并不是我要告诉你们的重要信息。”说到这里，这位教授故意顿住，用眼睛向全班同学扫了一遍说：“我想告诉各位最重要的信息是，如果你不先将大的鹅卵石放进罐子里去，你也许以後永远没机会把它们再放进去了。” 感悟： 第一节 圆的概念 1.圆的定义: ,圆心: , 半径: .2.圆的面积公式： 。圆的周长公式： 。3.圆的记号:以点O为圆心的圆,记作_,读作_.4.点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；2、点在圆上 点在圆上；3、点在圆外 点在圆外5.在平面上，经过给定两点的圆有 个。这些圆的圆心一定在连接这两点的 线段的 上。6. 定理： 的三点确定一个圆。7. 圆的内接多边形概念，多边形的外接圆概念。同步练习1.在中，C90，AC3，BC4，以A为圆心、R为半径画A，使点C在A的内部、点B在A的外部，那么半径R应满足的条件是 。 2.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以A为圆心画圆，若B，C，D三点中至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，则A的半径的取值范围是 。3.经过一点作圆可以作 个圆；经过两点作圆可以作 个圆，这些圆的圆心在这两点的 上；经过不在同一直线上的三点可以作 个圆，并且只能 作 个圆。4.已知AB=7cm,则过点A，B，且半径为3cm的圆有（ ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D.无数个5.下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 圆有且只有一个内接三角形 C. 三角形的外心是三角形三个角的平分线的交点 D. 三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点6.下列命题中，错误的个数为（ ） 1平行四边形必有外接圆 2等腰三角形的外心一定在底边上的中线上； 3等边三角形的外心也是三角形的三条中线、高、角平分线的交点； 4直角三角形的外心是斜边的中点。 A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7.在四边形ABCD中，AC90，那么四边形ABCD 有外接圆（填“一定”或“不一定”）8.如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm，则该半圆的半径为_。9.如图，甲顺着大半圆从A地到B地，乙顺着两个小半圆从A地到B地，设甲乙走过的路径分别为a、b，则（ ）Aa=b Bab Cab D不能确定10.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）A第块B第块C第块D第块11.已知：如图，在O中，A、B是线段CD于圆的两个交点，且AC=BD。求证：OCD为等腰三角形。12.已知ABC，C=90，AC=3，BC=4，以点C为圆心作C，半径为r， 1）当r取什么值时，点A,B在C外； 2）当r取什么值时，点A在C内,点B在C外；第二节 圆心角，弧，弦心距之间的关系1弦：_。如图_。 直径是经过_的弦，是圆中_的弦。如图_。2弧：_，简称弧 半圆弧：_；优弧：_； 劣弧：_；圆心角：_。 如图：优弧记作_ ，半圆弧BC记作半圆BC，劣弧记作_。3. 弦心距：_。4同心圆：圆心相同，半径_的两圆。 5等圆：能够重合的两个圆。等圆的半径_。6等弧：_。7. 旋转对称图形：_ _。8. 扇形的面积公式： 。弧长的计算公式： 。9.四等定理： 。 同步练习1.下列说法正确的是 直径不是弦，弦不是直径 半径是弦 过圆心的线段是直径 长度相等的两条弧是等弧 半圆是弧，但弧不一定是半圆 周长相等的圆是等圆 经过点P的半径为3cm的圆只有一个2.下列说法错误的有_。（1）半径相等的两个半圆是等弧 （2）面积相等的圆是等圆 （3）经过P点的圆有无数个 （4）优弧一定比劣弧长 （5）圆的任意一条弦将圆分成优弧和劣弧两部分 （6）过圆心的直线是直径 （7）半圆是最长的弧 （8）弧AB的长度大于弦AB的长度3.下列说法中，正确的是（ ）（A）如果圆心角相等，那么圆心角所对的弧和弦也相等（B）如果两条弧的长度相等，那么这两条弧是等弧（C）如果两条弧所对的圆心角相等，那么这两条弧是等弧（D）在同圆或等圆中，弦相等所对的弧也相等4.在两个圆中，如果有两条弦相等，那么这两条弦的弦心距的关系是（ ）（A）一定相等 （B）一定不相等 （C）不一定相等 （D）一定互相平行5.在O，如果，那么弦与弦之间的长度关系是（ ）（A）弦等于弦的2倍 （B）弦大于弦的2倍（C）弦小于弦的2倍 （D）弦和弦的关系不定6.过O内一点M最长的弦为10，最短的弦长为8，则OM 。7.已知点P到O最大距离是8，最小距离是2，那么O的半径长为 。8.在O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP_。9.在O中，弦AB、CD相交于点P，OMCD，ONAB，M、N是垂足，联结MN. 如果AD弧等于BC弧，求证：PMN是等腰三角形10.如图，O1和O2是等圆，P是O1O2的中点，过点P作直线AD交O1于A、B，交O2于C、D，求证：ABCD11.如图，AB是O的直径，弦CDAB与点E，点P在O上，1=C，（1）求证：CBPD；（2）若BC=3，sinP=，求O的直径第三节 垂径定理1、圆的对称性（1圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴；2圆既是是旋转对称图形又是中心图形） 注：对称轴是直线2、垂径定理（垂直于弦的直径平行这条弦，并且平分弦所对的弧）总结：垂径定理及其推论是指一条弦在“过圆心”“垂直于另一条弦”“平分另一条弦”“平分另一条弦所对的劣弧”“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论注：当为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制同步练习1.下列判断中，正确的是（ ）（A）垂直于弦的直线必平分这条弦 （B）平分弦的直径必垂直于这条弦（C）一个圆的圆心必在一条弦的垂直平分线上 （D）垂直平分一条弦的线段必是直径2.下列说法中，错误的是（ ）（A）圆的半径垂直于弦，必平分这条弦所对的弧 （B）O的半径OA，CD是过OA的中点的弦，则CDOA（C）O的半径OC平分圆心角AOB，则OCAB （D）O的直径AB平分弦CD所对的弧，则ABCD3.如图，O的直径AB=12，CD是O的弦，CDAB，垂足为P，且BP：AP=1:5,则CD的长为（ ）. A. B. C. D. 4.如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（）AcmB5cmC4cmDcm5.已知圆内接ABC中，ABAC，圆心O到BC的距离为3cm，半径r7cm，则腰长AB为_。6.O的半径OA1，弦AB、AC的长分别是，则BAC的度数为_。7.在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm， 则这两条弦之间的距离为_。8.在O中，CD是直径，AB是弦，ABCD于点M，CD15，OM：OC3：5， 求弦AB的长E9.已知：如图，O的直径AB和CD相交于点E。已知AE=1cm，EB=5cm，DEB=60，求CD的长。10.已知以O为圆心两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：ACBD.OABCD11.一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求：ABEFMCDO桥拱半径 若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，求水面涨高了多少？12.如图，O的直径AB与弦CD垂直，且BAC=40，则BOD= 第四节 直线与圆的位置关系知识梳理1、 直线和圆的位置关系有 、 、 。2、 圆心O到直线l的距离d与半径r的大小和直线l与圆O的位置关系：（1） 直线和圆 （2） 直线和圆 （3） 直线和圆 3、直线和圆有 （即直线和圆 ）时。这条直线叫做圆的切线。这个 叫做切点。圆的切线 过切点的直径4、圆的切线常用判定方法（1）圆心到直线的距离等于 ，这条直线是圆的切线。（2）经过直径的 ，并且 的直线是圆的切线。（3）和三角形各边 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 心， 它是三角形 的交点，它到三边的距离 。同步练习1已知O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直线和这个圆的位置关系为（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相交或相离OABC2如右图，A、B是O上的两点，AC是O的切线，B=70，则BAC等于（ ）A. 70B. 35C. 20 D. 103如图，PA切O于A，PB切O于B，OP交O于C， 下列结论中，错误的是（ ）A. 1=2B. PA=PBC. ABOP D. PCPO4如图，已知O的直径AB与弦AC的夹角为30，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC=5，则O的半径为（ ）A. B. C. 10D. 55A、B、C是O上三点，的度数是50，OBC=40，则OAC等于（ ）A. 15B. 25C. 30D. 406圆O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P引圆O的切线，那么切线长是 .7.如图，从圆外一点引圆的两条切线，切点分别为如果，那么弦的长是（ ）A4B8CD8O的直径AB=10cm，C是O上的一点，点D平分，DE=2cm，则AC=_9如图，ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，以A为圆心，3cm长为半径的圆与直线BC的位置关系是_10点A、B、C、D在同一圆上，AD、BC延长线相交于点Q，AB、DC延长线相交于点P，若A=50，P=35，则Q=_11在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30的方向迎着气象站袭来，已知该风暴速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，若该风暴不改变速度与方向，问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间第五节 圆与圆的位置关系外离（图1） 无交点 ；外切（图2） 有一个交点 ；相交（图3） 有两个交点 ；内切（图4） 有一个交点 ；内含（图5） 无交点 ； 如果两圆外切，连心线 ，如果两圆相交，连心线 。 同步练习1三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，则此三个圆的半径分别为2以平面直角坐标系中的两点O1（0，3）和O2（4，0）为圆心，以8和3为半径的两圆的位置关系是（ ）A内切B外切C相离D相交3已知O1、O2的半径分别为6和3，O1、O2的坐标分别是（5，0）和（0，6），则两圆的位置关系是（ ）A相交B外切C内切D外离4R、r是两圆的半径（Rr），d是两圆的圆心距，若方程x22Rxr2=d（2rd）有等根，则以R、r为半径的两圆的位置关系是（ ）A外切B内切C外离D相交5已知半径分别为r和2r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是（ ）A0d3rBrd3rCrd2rDrd3r6半径分别为1cm和2cm的两圆外切，那么与这两个圆都相切且半径为3cm的圆的个数是（ ）A5个B4个C3个D2个7.已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1 = 3，则圆O1与圆O2的位置关系是（ ）A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含8.如果两个圆的一条外公切线长等于5，另一条外公切线长等于，那么 9.两圆的半径分别是方程x212x27=0的两个根，圆心距为9，则两圆的位置关系一定是 10.已知两圆半径的比为3：5，当两圆内切时，圆心距为4cm，那么当此两圆外切时，圆心距应为 11.平面上两圆的位置关系可以归纳为三类，即 、 和 12.已知两圆直径为3r，3r，若它们圆心距为r，则两圆的位置关系是 13.矩形ABCD中，AB5，BC12。如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是 。14.已知O1和O2相内切，且O1的半径6，两圆的圆心距为3，则O2的半径为 15.两圆的半径之比是5：3，外切时圆心距是32，那么当这两个圆内切时，圆心距为 16.在直角坐标系中，分别以点A（0，3）与点B（4，0）为圆心，以8与3为半径作A和B，则这两个圆的位置关系为 17.已知图中各圆两两相切，O的半径为2R，O1、O2的半径为R，求O3的半径18.在ABC中，圆A的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动（与点B、C不重合），设，AOC的面积为。 （1）求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时，AOC的面积。 以练代讲 姓名 分数 一. 选择题：（本题共24分，每小题4分，每道题只有一个正确答案） 1. 已知AB是O的直径，半径EOAB于O，弦CDEO于F点，若CDB120，则的度数为（ ） A. 10B. 15C. 30D. 60 2. 如图，已知O中，M是弦CD的中点，N为弦AB的中点，并且的度数为130、90，则MON的度数为（ ） A. 70B. 90C. 130D. 160 3. 已知ABC中，a、b、c是A、B、C的对边，若r是内切圆半径，则ABC的面积可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知两圆的半径分别为R、r，且圆心距为d，若，则这两圆的位置关系为（ ） A. 外离或外切B. 相交或内切 C. 外切或内切D. 内切或内含 5. 已知正多边形的边长为a与外接圆半径R之间满足，则这个多边形是（ ） A. 正三边形B. 正四边形C. 正五边形D. 正六边形 6. 已知正方形ABCD边长为5，剪去四个角后成正八边形，则正八边形的边长为（ ） A. B. C. D. 二. 填空题：（本题共16分，每小题4分） 7. 已知ABC，C90，B28，以C为圆心，以CA为半径的圆交AB于D，则的度数为_。 8. 已知ABC内接于O，F、E是的三分之一点，若AFE130，则C_度。 9. 已知PA切O于A，APO30，若，OP交于O于C，则PC_。 10. 两圆半径之比为2：1，大圆内接正六边形与小圆外切正六边形的面积比为_。三. 求解下列各题：（本题共18分，每小题6分） 11. 已知AB是O的直径，弦CDAB于E，若弦CD把O分为2：1的两部分，且，求O的直径及AE长。 12. 已知等边ABC内接于O，E是上一点，AE交BC于D，若BD：DC2：1，且AB6，求DE长。 13. 如图所示，AB是O的弦，EF切O于B，ACEF于C。 求证：四. 解答题：（本题共24分，每小题8分） 14. 如图所示，AB切O于B，AE过O点交O于E、C，过C作O切线交AB于D，若。 求证： 15. 如图所示，ABC中，A90，O是BC上一点，以O为圆心的圆切AB、AC于D、E，若AB3，AC4，求阴影部分的面积。 16. 如图所示，O与O交于A、B，过A点任意作两圆的割线CAD，若连结CB、DB，问因割线CAD的位置不确定，CBD的大小是否改变？五. 解答题：（本题共18分，每小题9分） 17. 如图所示，PA切O于A，PO交O于B、C，若，AE交BC于D，且BEA30，DB1，求AP及PB长。 18. 已知一块直径为30cm的圆形铁板，已经截去直径分别为20cm，10cm的圆形铁板各一块。现在剩余的铁板中再截出两块同样大小的圆形，问这两个圆形的最大半径是多少？参考答案一. 选择题。 1. D 2. D 3. B 提示：设ABC的内切圆的圆心为O 连结OA、OB、OC，则ABC可分割成三个三角形：ABO，BCO，ACO 则 应选B 4. C 提示：依题意，有： 所以，或 即，或 两圆内切或外切 5. C 提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有 因为，所以 则，是正五边形，应选C。 6. D 提示：如图所示，所截的四个角是全等的等腰三角形，且GEEFFH 设EFx，则根据勾股定理， 则有 即 应选D二. 填空题。 7. 56 8. 75或105 提示：如图所示： AFE130，的度数为260 则的度数为 F、E是的三分之一点 或 9. 12 10. 3：1 如图所示，设大圆与小圆的半径为2r和r 则大圆内接正六边形的边长为2r，小圆外切正六边形的边长为 因为这两个正六边形相似，所以面积比等于边长比的平方 即三. 求解下列各题： 11. 解：如图，分两种情况：（1）点E在OA上；（2）点E在OB上 （1）直径AB弦CD于E， 根据垂径定理，有： A、B分别为和的中点 CD把O分成2：1两部分 的度数为120，的度数为240 连结BC，则 在中， （2）当点E在OB上时，AE6 直径为8，AE6或2 12. 解法一：如图（1），ABC是等边三角形，AB6图（1） BCABAC6，BACB60 BD：DC2：1 BD4，CD2 ADDEBDCD8 连结CE，BE60 ACBE CAD是公共角 ACDAEC 解法二：如图（2），过A作AGBC于G图（2） ABC是等边三角形，BC6 CGGB3 由解法一得：CD2，BD4 DG1 在中， 在中， 根据相交弦定理，有： 13. 证明一：延长AD交O于D，连结BD，如图（1） AD是直径，ABD90，2AOAD EF切O于B 1D ACEF于C CABD90 ABCADB 即 证明二：延长AC至M，使CMAC，连结BM、OB图（2） BCAC，ACCM MBAB M2 OAOB 34 EF切O于B OBEF ACOB 23 234M 四. 解答题。 14. 证明：如图，依题意，设BDx，则AD2x AB、CD切O于B、C点 BDCDx，OCCD ACD90 AB是切线，ACE是割线 即 15. 解：如图，连结OD，OE AB、AC切O于D、E ODAB，OEAC，ADAE A90 四边形ADOE是正方形 DOE90 设ADOEx DEAD，AB3，AC4 解得： 16. 解：大小不改变 C所对的弧为 D所对的弧为 C、D的度数不变 在BCD中，不变五. 解答题。 17. 解：如图，连结AB ，BC是直径 根据垂径定理的推论，可知： ADBC，ADDE， BEA30 DABEBAP30 在 ADBC，BC为直径 ，即 18. 解：如图（1）：图（1） 依题意有： O1的直径为10cm，则半径为5cm O2的直径为20cm，则半径为10cm O的直径为30cm，则半径为15cm 设O与O1，O2，O3相切，半径为r 延长OO3交O于B，则： 则此题转化为解三角形问题，如图（2）：图（2） 设，则 在和中，有： 在和中，有： 整理得： 得： 答：这两个圆形的最大半径是。23
展开阅读全文