2018新版北师大版数学九年级下册教案(全)

1 第一章 直角三角形的边角关系 第 1 课时 1 1 1 锐角三角函数 教学目标 1 经历探索直角三角形中边角关系的过程 2 理解锐角三角函数 正切 正弦 余弦 的意义 并能够举例说明 3 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4 能够根据直角三角形中的边角关系 进行简单的计算 教学重点和难点 重点 理解正切函数的定义 难点 理解正切函数的定义 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题 直角三角形是特殊的三角形 无论是边 还是角 它都有其它三角形所没有的性质 这一章 我们继续学习直角三角形的边角关系 师生共同研究形成概念 1 梯子的倾斜程度 在很多建筑物里 为了达到美观等目的 往往都有部分设计成倾斜的 这就涉及到 倾斜角的问题 用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的 但在很多实现问题中 人们无法 测得倾斜角 这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度 这个比值就是我们这节课所要学 习的 倾斜角的正切 1 重点讲解 如果梯子的长度不变 那么墙高与地面的比值越大 则梯子越陡 2 如果墙的高度不变 那么底边与梯子的长度的比值越小 则梯子越陡 3 如果底边的长度相同 那么墙的高与梯子的高的比值越大 则梯子越陡 通过对以上问题的讨论 引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法 以便为后面 引入正切 正弦 余弦的概念奠定基础 2 想一想 比值不变 想一想 书本 P 2 想一想 通过对前面的问题的讨论 学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯 子的倾斜程度 当倾斜角确定时 其对边与邻边的比值随之确定 这一比值只与倾斜角 的大小有关 而与直角三角形的大小无关 3 正切函数 1 明确各边的名称 2 的 邻 边 的 对 边A tan 3 明确要求 1 必须是直角三角形 2 是 A 的对边与 A 的邻边的比值 巩固练习 a 如图 在 ACB 中 C 90 1 tanA tanB A B C A B C A A A BC 2 2 若 AC 4 BC 3 则 tanA tanB 3 若 AC 8 AB 10 则 tanA tanB b 如图 在 ACB 中 tanA 不是直角三角形 4 tanA 的值越大 梯子越陡 4 讲解例题 例 1 图中表示甲 乙两个自动扶梯 哪一个自动扶梯比较陡 分析 通过计算正切值判断梯子的倾斜程度 这是上述结论的直接应用 例 2 如图 在 ACB 中 C 90 AC 6 求 BC AB 的长 43tan B 分析 通过正切函数求直角三角形其它边的长 随堂练习 5 书本 P 4 随堂练习 小结 正切函数的定义 作业 书本 P4 习题 1 1 1 2 4 8m 5m 5m 13m A B C 3 第 2 课时 1 1 2 锐角三角函数 教学目标 5 经历探索直角三角形中边角关系的过程 6 理解锐角三角函数 正切 正弦 余弦 的意义 并能够举例说明 7 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 8 能够根据直角三角形中的边角关系 进行简单的计算 教学重点和难点 重点 理解正弦 余弦函数的定义 难点 理解正弦 余弦函数的定义 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题 上一节课 我们研究了正切函数 这节课 我们继续研究其它的两个函数 复习正切函数 师生共同研究形成概念 6 引入 书本 P 7 顶 7 正弦 余弦函数 斜 边的 对 边A sin斜 边的 邻 边A cos 巩固练习 c 如图 在 ACB 中 C 90 1 sinA cosA sinB cosB 2 若 AC 4 BC 3 则 sinA cosA 3 若 AC 8 AB 10 则 sinA cosB d 如图 在 ACB 中 sinA 不是直角三角形 8 三角函数 锐角 A 的正切 正弦 余弦都是 A 的三角函数 9 梯子的倾斜程度 sinA 的值越大 梯子越陡 cosA 的值越大 梯子越陡 10 讲解例题 例 3 如图 在 Rt ABC 中 B 90 AC 200 求 BC 的长 6 0sin A 分析 本例是利用正弦的定义求对边的长 例 4 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 10 求 AB 的长及 sinB 132co 分析 通过正切函数求直角三角形其它边的长 随堂练习 11 书本 P 随堂练习 小结 正弦 余弦函数的定义 作业 书本 P 6 习题 1 2 3 4 5 A B C A A A BC A B C A B C A B C 4 第 3 课时 1 2 30 45 60 角的三角函数值 教学目标 9 经历探索 30 45 60 角的三角函数值的过程 能够进行有关推理 进一步体会三角函 数的意义 10 能够进行含有 30 45 60 角的三角函数值的计算 11 能够根据 30 45 60 角的三角函数值 说出相应的锐角的大小 教学重点和难点 重点 进行含有 30 45 60 角的三角函数值的计算 难点 记住 30 45 60 角的三角函数值 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题 上两节课 我们研究了正切 正弦 余弦函数 这节课 我们继续研究特殊角的三角函数值 师生共同研究形成概念 12 引入 书本 P 8 引入 本节利用三角函数的定义求 30 45 60 角的三角函数值 并利用这些值进行 一些简单计算 13 30 45 60 角的三角函数值 通过与学生一起推导 让学生真正理解特殊角的三角函数值 度数 sin cos tan 30 21233 45 1 60 23213 要求学生在理解的基础上记忆 切忌死记硬背 14 讲解例题 例 5 计算 1 sin30 cos45 2 30cos1 A B C A B C 5 3 4 5cos60sini 45tancos60sin22 分析 本例是利用特殊角的三角函数值求解 例 6 填空 1 已知 A 是锐角 且 cosA 则 A sinA 1 2 已知 B 是锐角 且 2cosA 1 则 B 3 已知 A 是锐角 且 3tanA 0 则 A 3 例 7 一个小孩荡秋千 秋千链子的长度为 2 5m 当秋千向两边摆动时 摆角恰好 为 60 且两边的摆动角相同 求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的 高度之差 分析 本例是利用特殊角的三角函数值求解的具体应用 例 8 在 Rt ABC 中 C 90 求 B A ca32 分析 本例先求出比值后 利用特殊角的三角函数值 再确定角的大小 随堂练习 15 书本 P 9 随堂练习 小结 要求学生在理解的基础上记忆特殊角的三角函数值 切忌死记硬背 作业 书本 P 9 习题 1 3 1 2 3 4 A B C O D 6 1 3 三角函数的有关计算 教学目标 1 经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程 进一步体会三角函数的意义 2 能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题 教学重点 1 经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程 进一步体会三角函数的意义 2 能够利用计算器进行有关三角函数值的计算 教学难点 把实际问题转化为数学问题 教学过程 一 导入新课 生活中有许多问题要运用数学知识解决 本节课我们共同探讨运用三角函数解决与 直角三角形有关的简单实际问题 1 3 三角函数的有关计算 二 讲授新课 引入问题 1 会当凌绝顶 一览众山小 是每个登山者的心愿 在很多旅游景点 为了方 便游客 设立了登山缆车 如图 当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时 它走过了 200m 已知缆车行驶的路线与水平面的夹角 03 那么缆车垂直上升的距离是多少 分析 在 Rt ABC 中 30 AB 200 米 需求出 BC 根据正弦的定义 sin30 20BCA BC ABsin30 200 100 米 1 引入问题 2 当缆车继续由点 B 到达点 D 时 它又走过了 200 m 缆车由点 B 到点 D 的行驶路线与水 平面的夹角是 45 由此你能想到还能计算什么 分析 有如下几种解决方案 方案一 可以计算缆车从 B 点到 D 点垂直上升的高度 方案二 可以计算缆车从 A 点到 D 点 垂直上升的高度 水平移动 的距离 三 变式训练 熟练技能 1 一个人从山底爬到山顶 需先爬 40 的山坡 300 m 再爬 30 的山坡 100 m 求山高 sin40 0 6428 结果精确到 0 01 m 解 如图 根据题意 可知 BC 300 m BA 100 m C 40 ABF 30 在 Rt CBD 中 BD BCsin40 300 0 6428 192 84 m 在 Rt ABF 中 AF ABsin30 100 50 m 21 所以山高 AE AF BD 192 8 50 242 8 m 7 2 求图中避雷针的长度 参考数据 tan56 1 4826 tan50 1 1918 解 如图 根据题意 可知 AB 20m CAB 50 DAB 56 在 Rt DBA 中 DB ABtan56 20 1 4826 29 652 m 在 Rt CBA 中 CB ABtan50 20 1 1918 23 836 m 所以避雷针的长度 DC DB CB 29 652 23 836 5 82 m 四 合作探究 随着人民生活水平的提高 农用小轿车越来越多 为了交 通安全 某市政府要修建 10m 高的天桥 为了方便行人推车过天桥 需在天桥两端修建 40m 长的斜道 如图所示 这条斜道的倾斜角是多少 探究 1 在 Rt ABC 中 BC m AC m sinA 探究 2 已知 sinA 的值 如何求出 A 的大小 请阅读以下内容 学会用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小 已知三角函数求角度 要用到 sin cos tan 键的第二功能 sin 1 cos 1 tan 1 和 2ndf 键 探究 3 你能求出上图中 A 的大小吗 解 sin A 化为小数 4 三 巩固训练 1 如图 工件上有一 V 形槽 测得它的上口宽 20mm 深 19 2mm 求 V 形角 ACB 的大 小 结果精确到 1 2 如图 一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤 在接受放 射性治疗时 为了最大限度地保证疗效 并且防止伤害器官 射线必须从侧面照射肿瘤 已知肿瘤在皮下 6 3cm 的 A 处 射 线从肿瘤右侧 9 8cm 的 B 处进入身体 求射线的入射角度 3 某段公路每前进 1000 米 路面就升高 50 米 求这段公路 的坡角 4 一梯子斜靠在一面墙上 已知梯长 4m 梯子位于地面上的一端离墙 壁 2 5m 求梯子与地面所成的锐角 五 随堂练习 P 14 1 2 3 4 六 作业 p15 1 至 6 题 8 1 4 解直角三角形 一 教学目标 1 知道解直角三角形的概念 理解直角三角形中五个元素的关系 2 通过综合运用勾股定理 掌握解直角三角形 逐步形成分析问题 解决问题的能力 3 渗透数形结合的数学思想 养成良好的学习习惯 二 教学重点及难点 教学重点 掌握利用直角三角形边角关系解直角三角形 教学难点 锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用 三 教学用具准备 黑板 多媒体设备 四 教学过程设计 一 创设情景 引入新课 如图所示 一棵大树在一次强烈的地震中倒下 树干断处离地面 3 米且树干与地面的 夹角是 30 大树在折断之前高多少米 由 30 直角边等于斜边的一半就可得 AB 6 米 分析树高是 AB AC 9 米 由勾股定理容易得出 BC 的 长为 3 米 当然对于特殊锐角的解题用几何定理比较简单 也可以用锐角三角函数来解此题 二 知识回顾 问题 1 在一个三角形中共有几条边 几个内角 引出 元素 这个词语 2 直角三角形 ABC 中 C 90 a b c A B 这五个元素间有哪些等量关系呢 讨论复习 师白 Rt ABC 的角角关系 三边关系 边角关系分别是什么 总结 直角三角形的边 角关系 板书 PPT 1 两锐角互余 A B 90 2 三边满足勾股定理 a2 b 2 c 2 3 边与角关系 三 学习新课 例题分析 例题 1 在 Rt ABC 中 C 90 0 B 38 0 a 8 求这个直角三角形的其它边和角 分析 如图 本题已知直角三角形的一个锐角和一条直角边 那么首先要搞清楚这两个元素的位置关 系 再分析怎样用合适的锐角三角比解决问题 在本题中已知边是已知角的邻边 所以可以用的锐角 三角比是余弦和正切 板书 解 C 90 0 A B 90 0 A 90 0 B 90 0 38 0 520 cosB c tanB b atanB 8tan38 0 6 250 另解 cotB b 注意 在解直角三角形的过程中 常会遇到近似计算 除特别说明外 边长保留四个有效数字 学习概念 定义 在直角三角形中 由已知元素求出所有未知元素的过程 叫做解直角三角形 例题分析 9 例题 2 在 Rt ABC 中 C 90 0 c 7 34 a 5 28 解这个直角三角形 分析 本题如图 已知直角三角形的一条直角边和斜边 当然首先用勾股定理求第三边 怎样求锐角 问题 要记住解决问题最好用原始数据求解 避免用间接数据求出误差较大的结论 板书 解 C 90 0 a 2 b 2 c 2 b sinA A 46 0 0 B 90 0 A 90 0 46 0 0 44 0 0 例题 3 见教材 p16 注意 在解直角三角形的过程中 常会遇到近似计算 除特别说明外 边长保留四个有效数字 角度精确 到 1 4 学会归纳 通过上述解题 思考对于一个直角三角形 除直角外的五个元素中 至少需要知道几 个元素 才能求出 其他元素 想一想 如果知道两个锐角 能够全部求出其他元素吗 如果只知道五个元素中的一个元素 能够全 部求出其他元素吗 归纳结论 在直角三角形中 除直角外还有五个元素 知道两个元素 至少有一个是边 就可以求 出其余三个元素 说明 我们已掌握 Rt ABC 的边角关系 三边关系 角角关系 利用这些关系 在知道其中的两个 元素 至少有一个是边 后 就可求出其余的元素 这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的 概念 同时又陷入思考 为什么两个已知元素中必有一条边呢 激发了学生的学习热情 5 请找出题中的错误 并改正 已知 如图 在 Rt ABC 中 C 90 由下列条件 解直角三角形 结果保留根号 10 1 5 三角函数的应用 教学目标 1 经历探索船是否有触礁危险的过程 进一步体会三角函数在解决问题过程中的应 用 2 能够把实际问题转化为数学问题 能够借助于计算器进行有关三角函数的计算 并能对结果的意义进行说明 教学重点 1 经历探索船是否有触礁危险的过程 进一步体会三角函数在解决问题过程中的作 用 2 发展学生数学应用意识和解决问题的能力 教学难点 根据题意 了 解有关术语 准确地画出 示意图 教学用具 小黑板 三角 板 教学方法 探索 发现 法 教学过程一 问题引入 海中有一个小岛 A 该岛四周 10 海里内有暗 礁 今有货轮由西向东航行 开始在 A 岛南偏西 55 的 B 处 往东行驶 20 海里后 到达 该岛的南偏西 25 的 C 处 之后 货轮继续往东航行 你认为货轮继续向东航行途中会 有触礁的危险吗 你是如何想的 与同伴进行交流 二 解决问题 1 如图 小明想测量塔 CD 的高度 他在 A 处仰望塔顶 测得仰角为 30 再往塔的方向前进 50m 至 B 处 测得仰 角为 60 那么该塔有多高 小明的身高忽略不计 结果 精确到 1 m 2 某商场准备改善原来楼梯的安全性能 把倾角由 40 减至 35 已知原楼梯长为 4 m 调整后的楼梯会加长多少 楼梯多 占多长一段地面 结果精确到 0 0l m 作业设计 1 如图 一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定 CD 与地面成 40 夹角 且 DB 5 m 现再在 C 点上方 2m 处加固另一条钢缆 ED 那么钢缆 ED 的长度为多少 11 2 如图 某货船以 20 海里 时的速度将一批重要物资由 A 处运往正西方向的 B 处 经 16 小时的航行到达 到达后必须立即卸货 此时 接到气象部门通知 一台风中心正以 40 海里 时的速度由 A 向北偏西 60 方向移动 距台风中心 200 海里的圆形区域 包括边 界 均受到影响 1 问 B 处是否会受到台风的影响 请说明理由 2 为避免受到台风的影响 该船应在多少小时内卸完货物 供选用数据 1 4 2 1 7 3 板书设计 三角函数的有关计算 提出问题 如何三角函数值 求相应的锐角 例 触礁问题 随堂练习 讲解科学计算器的应用 例 楼梯问题 课堂小结 课堂作业 12 1 6 利用三角函数测高 教学目标 知识与技能目标 能够设计方案 步骤 能够说明测量的理由 能够综合运用直角三角形边角关系的 知识解决实际问题 过程与方法目标 经历活动设计方案 自制仪器过程 通过综合运用直角三角形边角关系的知识 利 用数形结合的思想解决实际问题 提高解决问题的能力 情感与价值观要求 通过积极参与数学活动过程 培养不怕困难的品质 发展合作意识和科学精神 教学重点 难点 设计活动方案 自制仪器的过程及学生学习品质的培养 教具准备 自制测倾器 或经纬仪 测角仪等 皮尺等测量工具 教学过程 提出问题 引入新课 现实生活中测量物体的高度 特别像旗杆 高楼大厦 塔等较高 的不可到达的物体的高度 需要我们自己去测量 自己去制作仪器 获得数据 然后利用所学的数学知识解决问题 请同学 们 思考小明在测塔的高度时 用到了哪些仪器 有何用 途 如何制作一个测角仪 它的工作原理是怎样的 活动一 设计活动方案 自制仪器 首先我们来自制一个测倾器 或测角仪 经纬仪等 一般的测倾器由 底盘 铅锤和支杆组成 下面请同学们以组为单位 分组制作如图所示的测倾器 制作测角仪时应注意什么 支杆的中心线 铅垂线 0 刻度线要重合 否则测出的角度就不准确 度盘的顶线 PQ 与支杆的中心线 铅垂线 0 刻度线要互相垂直 并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与 PQ 的交点 当度盘转动时 铅垂线始终垂直向下 一个组制作测角仪 小组内总结 讨论测角仪的使用步骤 活动二 测量倾斜角 1 把测角仪的支杆竖直插入地面 使支杆的中心线 铅垂线和度盘的 0 刻度 线重合 这时度盘的顶线 PQ 在水平位置 2 转动度盘 使度盘的直经对准较高目标 M 记下此时铅垂线指的度数 那么这 个度数就是较高目标 M 的仰角 问题 1 它的工作原理是怎样的 如图 要测点 M 的仰角 我们将支杆竖直插入地面 使 支杆的中心线 铅垂线和度盘的 0 刻度线重合 这时度 盘 的顶线 PQ 在水平位置 我们转动度盘 使度盘的直径对准 目 标 M 此时铅垂线指向一个度数 即 BCA 的度数 根据图形 我 们不难发现 BCA ECB 90 而 MCE ECB 90 即 BCA MCE 都是 ECB 的余角 根据同角的余 角相等 得 BCA MCE 因此读出 BCA 的度数 也就读出 了仰角 MCE 的度数 13 问题 2 如何用测角仪测量一个低处物体的俯角呢 和测量仰角的步骤是一样的 只不过测量俯角时 转动度盘 使度盘的直径对准低 处的目标 记下此时铅垂线所指的度数 同样根据 同角的余角相等 铅垂线所指的度 数就是低处的俯角 活动三 测量底部可以到达的物体的高度 底部可以到达 就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的 距离 要测旗杆 MN 的高度 可按下列步骤进行 如下图 1 在测点 A 处安置测倾器 即测角仪 测得 M 的仰角 MCE 2 量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN l 3 量出测倾器 即测角仪 的高度 AC a 即顶线 PQ 成水平位置时 它与地面的距离 根据测量数据 就能求出物体 MN 的高度 在 Rt MEC 中 MCE AN EC l 所以 tan 即 ME tana EC l tan EC 又因为 NE AC a 所以 MN ME EN l tan a 活动四 测量底部不可以到达的物体的高度 所为 底部不可以到达 就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的 距离 例如测量一个山峰的高度 可按下面的步骤进行 如图所示 1 在测点 A 处安置测角仪 测得此时物体 MN 的顶端 M 的仰角 MCE 2 在测点 A 与物体之间的 B 处安置测角仪 A B 与 N 都在同一条直线上 此时测得 M 的 仰角 MDE 3 量出测角仪的高度 AC BD a 以及测点 A B 之间的距离 AB b 根据测量的 AB 的长度 AC BD 的高度以及 MCE MDE 的大小 根据直角三角形 的边角关系 即可求出 MN 的高度 在 Rt MEC 中 MCE 则 tan EC ECatn 在 Rt MED 中 MDE 则 tan ED DM t 根据 CD AB b 且 CD EC ED b 所以 b ME atnE tan1t b MN a 即为所求物体 MN 的高度 tan1t 今天 我们分组讨论并制作了测角仪 学会使用了测角仪 并研讨了测量可到达底部 和不可以到达底部的物体高度的方案 下一节课就清同学们选择我们学校周围的物体 利 14 用我们这节课设计的方案测量它们的高度 相信同学们收获会更 大 归纳提炼 本节课同学们在各个小组内都能积极地投入到方案的设计活 动中 想办法 献计策 用直角三角形的边角关系的知识解释设计 方案的可行之处 相信同学们在下节课的具体活动中会更加积极地 参与到其中 课后作业 制作简单的测角仪 活动与探究 如图 山上有一座铁塔 山脚下有一矩形建筑物 ABCD 且建筑 物周围没有开阔平整地带 该建筑物顶端宽度 AD 和高度 DC 都可以 直接测得 从 A D C 三点可看到塔顶端 H 可供使用的测员工具 有皮尺 测倾器 即测角仪 1 请你根据现有条件 充分利用矩形建筑物 设计一个测量 塔顶端到地面高度 HG 的方案 具体要求如下 测量数据尽可能少 在所给图形上 画出你设计的测量的平面图 并将应测数据标 记在图形上 如果测 A D 间距离 用 m 表示 如果测 D C 间距离 用 n 表示 如果测角 用 等表示 测倾器高度不计 2 根据你测量的数据 计算塔顶到地面的高度 HG 用字母表 示 I 方案 1 1 如图 a 测四个数据 AD m CD n HDM HAM 2 设 HG x HM x n 在 Rt HDM 中 tan DM DMH tan x 在 Rt HAM 中 tan DM A t AM DM AD m tan x t x n t m 方案 2 1 如图 b 测三个数据 CD n HDM HCG 2 设 HG x HM x n 在 Rt CHG 中 tan CG CGH tanx 在 Rt HDM 中 tan DM DM t 15 CG DM x tanx t tant y 第二章 二次函数 2 1 二次函数所描述的关系 教学目标 1 理解二次函数的概念 2 能够表示简单变量之间的二次函数的关系 知识回顾 1 正比例函数的表达式为 一次函数 反比例函数表达式为 2 某果园有 100 棵橙子树 每一棵树平均结 600 个橙子 现准备多种一些橙子树以提高 产量 但是如果多种树 那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少 根据经 验估计 每多种一棵树 平均每棵树就会少结 5 个橙子 请问种多少棵树才能达到 30000 个的总产量 你能解决这个问题吗 请列出方程 不用计算 新知探究 3 某果园有 100 棵橙子树 每一棵树平均结 600 个橙子 现准备多种一些橙子树以提高 产量 但是如果多种树 那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少 根据经 验估计 每多种一棵树 平均每棵树就会少结 5 个橙子 1 问题中有哪些变量 其中哪些是自变量 哪些是因变量 2 假设果园增种 x 棵橙子树 那么果园共有多少棵橙子树 这时平均每棵树结多少个 橙子 3 如果果园橙子的总产量为 y 个 那么请你写出 y 与 x 之间的关系式 知识运用 4 做一做 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的 也就是说 利率是一个变量 在我国利 率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的 设人民币一年定期储蓄的年利率是 x 一年到期后 银行将本金和利息自动按一年 定期储蓄转存 如果存款额是 100 元 那么请你写出两年后的本息和 y 元 的表达式 不 考虑利息税 Y 5 总结归纳 1 从以上两个例子中 你发现这函数关系式有什么共同特征 2 仿照以前所学知识 你能给它起个合适的名字吗 3 你能用一个通用的表达式表示它们的共性吗 试试看 归纳总结 一般地 形如 其中 均为常数 0 的函数叫做 你能举出类似的例子吗 巩固练习 P30 页随堂练习 1 2 16 布置作业 习题 2 1 2 2 二次函数的图像与性质 1 一 教学目标 一 知识与技能 1 能够利用描点法作出函数 y x2的图象 能根据图象认识和理解二次函数 y x2的 性质 2 猜想并能作出 y x2的图象 能比较它与 y x2的图象的异同 二 过程与方法 1 经历探索二次函数 y x 2的图象的作法和性质的过程 获得利用图象研究函数性 质的经验 2 由函数 y x2的图象及性质 对比地学习 y x 2的图象及性质 并能比较出它们 的异同点 培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维 三 情感与态度 1 通过学生自己的探索活动 达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理 解 2 在利用图象讨论二次函数的性质时 让学生尽可能多地合作交流 以便使学生能 够从多个角度看问题 进而比较准确地理解二次函数的性质 教学重点 作出函数 y x 2的图象 并根据图象认识和理解二次函数 y x 2的性 质 教学难点 由 y x2的图象及性质对比地学习 y x 2的图象及性质 并能比较出它们 的异同点 三 教学过程分析 1 情境引入 寻找生活中的抛物线 活动目的 通过让学生寻找生活中的抛物线 让生活走进数学 让学生对抛物线有感性认识 以激发学生的求知欲 同时 让学生体会到数学来源于生活 2 温故知新 复习 1 二次函数的概念 2 画函数的图象的主要步 骤 3 根据函数 y x2 列表 3 合作学习 探究二次函数 y x 2 的图象和性质 活动内容 1 用描点法画二次函数 y x2 的图象 并与同桌交流 2 观察图象 探索二次函数 y x2 的性质 提出问题 1 你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流 2 图象是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 请你找出几对对称点 并与同伴交流 17 2xy 2xy o y x A 3 图象 与 x 轴有交点吗 如果有 交点坐标是什么 4 当 x0 呢 5 当 x 取什么值时 y 的值最小 最小值是什么 你是如何知道的 3 二次函数 y x2的图象是什么形状 先想一想 然后作出它的图象 4 它与二次函数 y x2的图象有什么关系 与同伴进行交流 5 说说二次函数 y x2的图象有哪些性质 与同伴交流 4 练习与提高 活动内容 1 已知函数 是关于 x 的二次函数 求 1 满足条件的 m 的值 2 m 为何值时 抛物线有最低点 求出这个最低点 这时当 x 为何值时 y 随 x 的增大而增大 3 m 为何值时 函数有最大值 最大 值是多少 这时当 x 为何值时 y 随 x 的增大而减小 2 已知点 A 1 a 在抛物线 y x2 上 1 求 A 的坐标 2 在 x 轴上是否存在点 P 使得 OAP 是等腰三角形 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 说明 理由 与同伴进行交流 活动目的 1 对本节知识进行巩固练习 2 将获得的新知识与旧知识相联系 共同纳 入知识系统 3 培养学生整合知识的能力 6 课堂小结 活动内容 小结 二次函数 y x2的性质 根据图形填表 抛物线 y x2 y x2 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 2 1 18 6 布置作业 P34 习题 2 2 1 2 题 2 2 二次函数的图像与性质 2 二 教学目标 知识与技能 1 能作出二次函数 和 的图象 并能够比较它们与二次函数2yax 2c 的图象的异同 理解 与 对二次函数图象的影响 2yax 2 能说出二次函数 和 图象的开口方向 对称轴 顶点坐标 2yx2c 过程与方法 经历探索二次函数 和 的图象的作法和性质的过程 进一步获得将2a 2 表格 表达式 图象三者联系起来的经验 情感态度与价值观 体会二次函数是某些实际问题的数学模型 由有趣的实际问题 使学生能积极参与 数学学习活动 对数学有好奇心和求知欲 教学重点 和 图象的作法和性质2yax 2c 教学难点 能够比较 和 的图象的异同 理解 与 对二2yax 2c ac 次函数图象的影响 3 教学过程 第一环节 情境创设 活动内容 1 二次函数 y x 2与 y x2的图象一样吗 它们有什么相同点 不同点 2 二次函数是否只有 y x 2与 y x 2这两种呢 有没有其他形式的二次函数 第二环节 做一做 活动内容 1 在同一坐标系中作二次函数 y x2和 y 2x2的图象 1 完成下表 x 3 2 1 0 1 2 33 y x2 9 4 1 0 1 4 9 y 2x2 18 8 2 0 2 8 18 19 2 分别作出二次函数 y x2 和 y 2x2 的图象 3 二次函数 y 2x 2 的图象是什么形状 它与二次函数 y x2 的图象有什么相同和不同 它 的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 第三环节 议一议 活动内容 1 在同一直角坐标系内作出函数 y 2x 2与 y 2x 2 1 的图象 并比较它们的性质 2 在同一直角坐标系内作出函数 y 3x 2与 y 3x 2 1 的图象 并比较它们的性质 活动目的 对二次函数性质的巩固与拓展 从图象直观理解函数之间 相同 的a 平移关系 培养学生的动态思维 实际教学效果 学生通过观察图象 发现两个图象是 全等的 开口方向 对称轴 都是一样的 只是顶点不一样 向上移动了 1 格 有几个思维活跃的学生马上就开始探 索移动的原因 发现 y 2x 2 1 比 y 2x 2 的 y 值多 1 就向上移动了一格 这时 教师可 以拓展一下 如果减 1 呢 结果会怎样 减 2 呢 这样就把第二个问题也解决了 在老 师的引导下 学生可以总结出这样的发现 y ax 2 c 的图象可以看成 y ax2 的图象整体 上下移动得到的 当 c 0 时 向上移动 c 个单位 当 c0 时 向上移动 c 个单位 当 c0 y a x h 2 a 0 顶点坐标 h 0 h 0 对称轴 直线 x h 直线 x h 位置 在 x 轴的上方 除顶点外 在 x 轴的下方 除顶点外 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴的左侧 y 随着 x 的增 大而减小 在对称轴的右侧 y 随着 x 的增大而增大 在对称轴的左侧 y 随着 x 的增大 而增大 在对称轴的右侧 y 随 着 x 的增大而减小 最值 当 x h 时 最小值为 0 当 x h 时 最大值为 0 开口大小 a 越大 开口越小 3 想一想 1 在同一坐标系中作出二次函数 y 3x y 3 x 1 2和 y 3 x 1 2 2 的图象 2 二次函数 y 3x y 3 x 1 2和 y 3 x 1 2 2 的图象有什么关系 它们的开口方向 对 称轴和顶点坐标分别是什么 作图看一看 二次函数 y a x h k 与 y ax 的关系 一般地 由 y ax 的图象便可得到二次函数 y a x h k 的图象 y a x h k a 0 的图象可以看成 y ax 的图象先沿 x 轴整 体左 右 平移 h 个单位 当 h 0 时 向右平移 当 h0 时向上平移 当 k0 y a x h 2 k a 0 顶点坐标 h k h k 对称轴 直线 x h 直线 x h 22 位置 由 h 和 k 的符号确定 由 h 和 k 的符号确定 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴的左侧 y 随着 x 的增 大而减小 在对称轴的右侧 y 随着 x 的增大而增大 在对称轴的左侧 y 随着 x 的增大 而增大 在对称轴的右侧 y 随 着 x 的增大而减小 最值 当 x h 时 最小值为 k 当 x h 时 最大值为 k 第三环节 练习提高 1 指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标 2 1 二次函数 y 3 x 1 2的图象与二次函数 y 3x2的图象有什么关系 它是轴对称图 形吗 它的对称轴和顶点坐标分别是什么 2 二次函数y 3 x 2 2 4的图象与二次函数y 3x 2的图象有什么关系 3 对于二次函数y 3 x 1 2 当x取哪些值时 y的值随 x值的增大而增大 当x取哪 些值时 y的值随 x值的增大而减小 二次函数y 3 x 1 2 4呢 第四环节 课堂小结 活动内容 师生互相交流本节课的学习心得 感受及收获 活动目的 鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获与感想 学生畅所欲言 教 师给予鼓励 包括二次函数图象的制作 函数图象性质的总结归纳 实际教学效果 学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获 第五环节 布置作业 P39 习题 2 4 132 12 513 23 2 2 二次函数的图像与性质 4 教学目标 1 经历探索二次函数 的图象的作法和性质的过程cbxay 2 2 能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题 教学重点和难点 重点 二次函数 的图象的作法和性质cxy2 难点 理解二次函数 的图象的性质ba 教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题 上一节课 我们把一个二次函数通过配方化成顶点式 来研究了二次函数中的khxay 2 a h k 对二次函数图象的影响 但我科觉得 这样的恒等变形运算量较大 而且容易出错 这节课 我们研究一般形式的二次函数图象的作法和性质 师生共同研究形成概念 复习旧知识 越大 开口越小 越小 开口越大 a a 当 时 抛物线的开口向上 当 时 抛物线的开口向下 0 0 当 时 抛物线与 y 轴的交点在原点的上方 当 时 抛物线与 y 轴的交点在原点的下方 c 0 ckhxa 2 开口方向 对称轴 顶点坐标0 向上 向下 直线 hx h k 平移 左加右减 对称轴 顶点坐标 前相反 后相同 推导二次函数 图象的对称轴和顶点坐标公式cbxay 2 对称轴 直线 顶点坐标 ab2 c4 2 讲解例题 24 书本 P39 分析 这是二次函数的具体应用 让学生体会对称轴 顶点坐标的在实际问题中的意义 随堂练习 书本 P 41 随堂练习 小结 二次函数 图象的对称轴和顶点坐标公式 cbxay 2 作业 书本 P 41 习题 2 5 2 3 确定二次函数的表达式 一 教学目标 知识与技能 1 通过运用解析式 列表 画图象三种方法表示二次函数 比较这三种方法表示二 次函数的优缺点 从而为解决函数类实际问题打下坚实的基础 2 通过学生实际解题过程 达到灵活掌握用解析式 列表 画图这三种方法表示二 次函数 3 能够根据二次函数的不同表示方式 从不同的侧面对函数性质进行研究 过程与方法 1 能够分析和表示变量之间的二次函数关系 并解决用二次函数所表示的问题 2 让学生在学习活动中通过相互间的合作与交流 进一步发展学生合作交流的能力 和归纳总结的能力 情感态度与价值观 在学习过程中体会学以致用 提高运用所学知识解决实际问题的能力 教学重点 三种方法表示二次函数的优缺点 为解决函数类实际问题打下坚实的基 础 教学难点 三种方法表示二次函数的优缺点 为解决函数类实际问题打下坚实的基 础 三 教学过程分析 第一环节 解决问题 活动内容 1 问题一 已知矩形周长 20cm 并设它的一边长为 xcm 面积为 ycm2 y 随 x 的而变 化的规律是什么 你能分别用函数表达式 表格和图象表示出来吗 2 当学生完成上述的三个任务之后 进一步帮助学生明晰以下问题 1 在上述问题中 自变量 x 的取值范围是什么 2 当 x 取何值时 长方形的面积最大 它的最大面积是多少 3 请你描述一下 y 随 x 的变化而变化的情况 3 问题二 两个数相差 2 设其中较大的一个数为 x 那么它们的积 y 是如何随 x 的 变化而变化的 1 你能分别用函数表达式 表格和图象表示这种变化吗 2 自变量 x 的取值范围是什么 3 图象的对称轴和顶点坐标分别是什么 25 4 如何描述 y 随 x 的变化而变化的情况 5 你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的 第二环节 课堂小结 活动内容 1 二次函数的三种表示方式各有什么特点 它们之间有什么联系 与同伴进行交流 表示 优点 缺点 表达式 变量间关系简捷明了 便于分析计算 需要通过计算 才能得到所需结 果 表格 能直接得到某些具体的对应值 不能反映函数整体的变化情况 图象 直观表示了变量间变化过程和变化 趋势 函数值只能是近似值 关系 表达式是基础 是重点 表格是画图象的关键 图象是在表达式和表 格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达 2 对本节知识进行巩固 原则上由学生复述内容及要点 第三环节 布置作业 1 P43 习题 2 6 第 小组合作讨论更具实效性 2 4 二次函数的应用 1 一 教学目标 一 知识与技能 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 并能够运用二次 函数的知识解决实际问题中的最大 小 值 二 过程与方法 1 通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 培养学生的分 析判断能力 2 通过运用二次函数的知识解决实际问题 培养学生的数学应用能力 三 情感态度与价值观 1 经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程 进一步获得利用数学方法解决 实际问题的经验 并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值 2 能够对解决问题的基本策略进行反思 形成个人解决问题的风格 3 进一步体会数学与人类社会的密切联系 了解数学的价值 增进对数学的理解和 学好数学的信心 具有初步的创新精神和实践能力 教学重点 1 经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程 进一步获得利用数学方法解决 实际问题的经验 并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值 2 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 并能够运用二 次函数的知识解决实际问题 教学难点 26 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 并能运用二次函 数的有关知识解决最大面积的问题 三 教学过程分析 第一环节 创设问题情境 引入新课 上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题 知道了求最大利润就是求二次函数 的最大值 实际上就是利用二次函数来解决实际问题 解决这类问题的关键是要审清题 意 明确要解决的是什么 分析问题中各个量之间的关系 建立数学模型 在此基础上 利用我们所学过的数学知识 逐步得到问题的解答过程 本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积的问题 活动内容 由四个实际问题构成 1 问题一 如下图 在一个直角三角形的内部作一个长方形 ABCD 其中 AB 和 AD 分别在两直角边上 1 设长方形的一边 AB x m 那么 AD 边的长度如何表示 2 设长方形的面积为 y m2 当 x 取何值时 y 的值最大 最大值是多少 下面请小组开始讨论并写出解题步骤 1 BC AD EBC EAF AFBCE 又 AB x BE 40 x BC 40 x 304BC 43 AD BC 40 x 30 x 2 y AB AD x 30 x x2 30 x x2 40 x 400 400 43 x2 40 x 400 300 x 20 2 300 当 x 20 时 y 最大 300 即当 x 取 20m 时 y 的值最大 最大值是 300m2 27 2 问题二 将问题一变式 设 AD 边的长为 x m 则问题会怎样呢 解 DC AB FDC FAE FADEC AD x FD 30 x 304 DC 30 x AB DC 30 x y AB AD x 30 x 34 x2 40 x x2 30 x 225 225 x 15 2 300 34 当 x 15 时 y 最大 300 即当 AD 的长为 15m 时 长方形的面积最大 最大面积是 300m2 3 问题三 对问题一再变式 如图 在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD 其中点 A 和点 D 分别在两直角边 上 BC 在斜边上 40m 30m D NO A B C M 1 设矩形的一边 BC xm 那么 AB 边的长度如何表示 2 设矩形的面积为 ym2 当 x 取何值时 y 的最大值是多少 4 问题四 某建筑物的窗户如下图所示 它的上半部是半圆 下半部是矩形 制造窗框的材料 总长 图中所有黑线的长度和 为 15m 当 x 等于多少时 窗户通过的光线最多 结果精确 到 0 01m 此时 窗户的面积是多少 28 分析 x 为半圆的半径 也是矩形的较长边 因此 x 与半圆面积和矩形面积都有关 系 要求透过窗户的光线最多 也就是求矩形和半圆的面积之和最大 即 2xy x2最 大 而由于 4y 4 x 3 x x 7 x 4 y x 15 所以 y 面积4715x S x 2 2 xy x 2 2 x x 2 3 5 x2 7 5 x1115 1 x 这时已经转化为数学问题即二次函数了 只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即 可 解 7 x 4 y x 15 y 715 设窗户的面积是 S m2 则 S x 2 2 xy x 2 2 x 14715x x 2 3 5 x2 7 5 x 3 5 x2 x 1 3 5 x 2 4397 当 x 1 07 时 15 S 最大 4 02 3927 即当 x 1 07m 时 S 最大 4 02m 2 此时 窗户通过的光线最多 第二环节 归纳升华 解决此类问题的基本思路是 1 理解问题 2 分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系 3 用数学的方式表示它们之间的关系 4 做函数求解 5 检验结果的合理性 拓展等 29 第三环节 课堂练习 活动探究 活动内容 1 用 48 米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场 养鸡场一面用砖砌成 另三面用竹篱笆 围成 并且在与砖墙相对的一面开 2 米宽的门 不用篱笆 问养鸡场的边长为 多少米时 养鸡场占地面积最大 最大面积是多少 2 正方形 ABCD 边长 5cm 等腰三角形 PQR PQ PR 5cm QR 8cm 点 B C Q R 在 同一直线 l 上 当 C Q 两点重合 时 等腰 PQR 以 1cm s 的速度沿直 线 l 向左方向开始匀速运动 ts 后正方形与等腰三角形重合部分面积为 Scm2 解答下列问题 1 当 t 3s 时 求 S 的值 2 当 t 3s 时 求 S 的值 3 当 5s t 8s 时 求 S 与 t 的函数关系式 并求 S 的最大值 第四环节 课时小结 本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积的问题 增强了应用数学知 识的意识 获得了利用数学方法解决实际问题的经验 并进一步感受了数学建模思想和 数学知识的应用价值 第五环节 课后作业 习题 2 8 M A B CD P Q R 30 2 4 二次函数的应用 2 一 教学目标 一 知识与技能 1 经历探索 T 恤衫销售中最大利润等问题的过程 体会二次函数是一类最优化问题 的数学模型 并感受数学的应用价值 2 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系 并运用二次函数的知识求 出实际问题的最大 小 值 发展解决问题的能力 二 过程与方法 经历销售中最大利润问题的探究过程 让学生认识数学与人类生活的密切联系及对 人类历史发展的作用 发展学生运用数学知识解决实际问题的能力 三 情感态度与价值观 1 体会数学与人类社会的密切联系 了解数学的价值 增进对数学的理解和学好数 学的信心 2 认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具 了解数学对促进社会进步和 发展人类理性精神的作用 教学重点 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系 并运用二次函数 的知识求出实际问题的最值 教学难点 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系 并运用二次函数 的知识求出实际问题的最值 三 教学过程 第一环节 复习回顾 活动内容 1 复习二次函数 y ax 2 bx c 的相关性质 顶点坐标 对称轴 最值等 2 复习这节课所要用的其他相关知识 利润 售价 进价 总利润 每件利润 销售 31 额 第二环节 创设问题情境 引入新课 活动内容 有关利润的问题 某商店经营 T 恤衫 已知成批购进时单价是 2 5 元 根据市场调查 销售量与销售 单价满足如下关系 在一段时间内 单价是 13 5 元时 销售量是 500 件 而单价每降低 1 元 就可以多售出 200 件 请你帮助分析 销售单价是多少时 可以获利最多 设销售单价为 x x 13 5 元 那么 1 销售量可以表示为 2 销售额可以表示为 3 所获利润可以表示为 4 当销售单价是 元时 可以获得最大利润 最大利润是 这是一个有实际意义的问题 要想解决它 就必须寻找出问题本身所隐含的一些关 系 并把这些关系用数学的语言表示出来 设销售单价为 x 元 则与原先的单价相比 降低了 13 5 x 元 而每降低 1 元 可 多售出 200 件 降低了 13 5 x 元 则可多售出 200 13 5 x 件 因此共售出 500 200 13 5 x 件 若所获利润用 y 元 表示 则 y x 2 5 500 200 13 5 x 经过分析之后 上面的 4 个问题就可以解决了 1 销售量可以表示为 500 200 13 5 x 3200 200 x 2 销售额可以表示为 x 3200 200 x 3200 x 200 x2 3 所获利润可以表示为 3200 x 200 x 2 2 5 3200 200 x 200 x 2 3700 x 8000 4 设总利润为 y 元 则 y 200 x 2 3700 x 8000 200 x 185 437 200 0 抛物线有最高点 函数有最大值 当 x 9 25 元时 y 最大 9112 5 元 4372 即当销售单价是 9 25 元时 可以获得最大利润 最大利润是 9112 5 元 第三环节 巩固练习 活动内容 解决本章伊始 提出的 橙子树问题 1 验 证猜测 2 进一步分析 1 本章一开始的 种多少棵橙子树 的问题 我们 得到了表示增种橙子树的数量 x 棵 与橙子总产量 y 个 的函数关系是 二次函数表达式 y 600 5x 100 x 5x2 100 x 60000 当时曾经利用列表的方法得到一个猜测 现在可以验 证当初的猜测是否正确 你是怎么做的 与同伴进行交流 实际教学效果 大多数学生可以利用二次函数的顶点式解决问题 y 5x 2 100 x 60000 5 x 2 20 x 100 100 60000 5 x 10 2 60500 当 x 10 时 y 最大 60500 2 议一议 要求学生画出二次函数的图象 并根据图象回答问题 1 利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系 2 增种多少棵橙子树 可以使橙子的总产量在 60400 个以上 第四环节 实践应用 32 活动内容 某商店购进一批单价为 20 元的日用品 如果以单价 30 元销售 那么半个月内可以 售出 400 件 根据销售经验 提高销售单价会导致销售量的减少 即销售单价每提高 1 元 销售量相应减少 20 件 如何提高售价 才能在半个月内获得最大利润 解 设销售单价为 元 销售利润为 y 元 则 y x 20 400 20 x 30 20 x 2 1400 x 20000 20 x 35 2 4500 所以当 x 35 元 即销售单价提高 5 元时 可在半月内获得最大利润 4500 元 第五环节 课堂小结 本节课经历了探索 T 恤衫销售中最大利润等问题的过程 体会了二次函数是一类最 优化问题的数学模型 并感受了数学的应用价值 学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系 并运用二次函数的知识求 出实际问题中的最大 小 值 提高解决问题的能力 第六环节 课后作业 习题 2 9 2 5 二次函数与一元二次方程 1 二 教学目标 知识与技能 1 理解二次函数图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个