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上海市普陀区2018届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 设全集，若集合，则 2. 若，则 3. 方程的解 4. 的二项展开式中的常数项的值为 5. 不等式的解集为 6. 函数的值域为 7. 已知是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第 象限8. 若数列的前项和（），则 9. 若直线与曲线交于两点、，则的值为 10. 设、是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个（）使得成立，则满足此条件的不同排列的个数为 11. 已知正三角形的边长为，点是所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为 12. 双曲线绕坐标原点旋转适当角度可以成为函数的图像，关于此函数有如下四个命题： 是奇函数； 的图像过点或； 的值域是； 函数有两个零点；则其中所有真命题的序号为 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若数列（）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（ ）A. 0个 B. 1个 C. 无数个 D. 不确定14. “”是“函数在区间上为增函数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件15. 用长度分别为2、3、5、6、9（单位：）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ） A. 258 B. 414 C. 416 D. 41816. 定义在上的函数满足，且，则函数在区间上的所有零点之和为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图所示的圆锥的体积为，底面直径，点是弧的中点，点是母线的中点.（1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线与所成角的大小.18. 某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元.（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19. 设函数（，），已知角的终边经过点，点、是函数图像上的任意两点，当时，的最小值是.（1）求函数的解析式；（2）已知面积为，角所对的边，求的周长.20. 设点、分别是椭圆（）的左、右焦点，且椭圆上的点到点的距离的最小值为，点、是椭圆上位于轴上方的两点，且向量与向量平行.（1）求椭圆的方程；（2）当时，求的面积；（3）当时，求直线的方程.21. 设为等差数列的公差，数列的前项和，满足（），且，若实数（，），则称具有性质.（1）请判断、是否具有性质，并说明理由；（2）设为数列的前项和，若是单调递增数列，求证：对任意的（，），实数都不具有性质；（3）设是数列的前项和，若对任意的，都具有性质，求所有满足条件的的值.普陀区2017学年第一学期高三数学质量调研评分标准一、填空题123456789101112一二、选择题13141516三、解答题17.（1）由圆锥的体积， 2分得，即, 4分则该圆锥的侧面积为. 6分17题图 （2）联结，由条件得，即是异面直线与所成角或其补角， 2分点是弧的中点，则,又为该圆锥的高，则,即平面， 4分在平面内，则，即为直角三角形，又，则， 7分即异面直线与所成角的大小为. 8分18.（1）由题意得每台机器人的平均成本为 2分 4分当且仅当，即时取等号，则要使每台机器人的平均成本最低，应买台. 6分（2）当时，每台机器人日平均分拣量，当时，每台机器人的日平均分拣量最大值为2分当时，每台机器人的日平均分拣量仍为，则引进台机器人后，日平均分拣量的最大值为. 4分若用传统人工分拣件，则需要人，6分因此，引进机器人后要降低物流成本，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少 . 8分19.（1）由角的终边经过点得，又，则，3分当时，的最小值是，则，即， 5分则所求函数的解析式为. 6分（2）由（1）得，又的面积为，则，即， 4分由余弦定理得，即,即7分则所求的的周长为. 8分20（1）由得点，又椭圆上的点到点的距离的最小值为，则， 3分即，故椭圆的方程为.4分（2）设，则，且，由（1）得，即，又，即，联立，解得，即. 2分又且，则是直线的一个法向量，即直线的点法向式方程为，即.联立消去整理化简得，即或（舍），得，即. 4分则，即的面积为.6分说明：三角形面积的求法不唯一，可以图形分割，用面积求差来解；也可以用点到直线的距离求出高，再用两点之间的距离公式求出底，用底与高乘积的一半来求等；也可等面积转换求解，请相应给分.（3）延长线段交椭圆于点，向量与向量平行，根据椭圆的中心对称性得且，即.2分又，则直线的斜率一定存在且值为负，可设直线的方程为：，点，且，联立方程，整理化简得，则. 则，即，整理得，即5分又，则，故直线的方程为. 6分21.（1）由得， 1分又，得3分可得从而故不具有性质，具有性质. 4分说明：求是难点，第（1）问不必这样求解，可以直接用等差数列单调性判断下结论，可相应的评分，求以及数列的通项公式的评分可在第（2）问解答过程中体现.（2）， 2分因为数列单调递增，所以，即，4分又数列单调递增，则数列的最小项为，则对任意，都有，故实数都不具有性质. 6分（3）因为，所以，两式相减得 ，即 ，当为偶数时，即，此时为奇数；当为奇数时，即，则，此时为偶数；则 ，. 3分则 故 5分因为对于一切递增，所以，所以 .若对任意的，都具有性质，则，即，解得，又，则或，即所有满足条件的正整数的值为和.8分说明：此处可不求，直接用求和定义得请相应评分.
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