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第二章平面向量测试题一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1设点P(3,-6),Q(-5,2),R的纵坐标为-9,且P、Q、R三点共线,则R点的横坐标为( )。A、-9 B、-6 C、9 D、6 2已知 =(2,3), b=(-4,7),则 在b上的投影为( )。A、 B、 C、 D、 3设点A(1,2),B(3,5),将向量 按向量 =(-1,-1)平移后得向量 为( )。A、(2,3) B、(1,2) C、(3,4) D、(4,7)4若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=sinBcosC,那么ABC是( )。A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60,则| +b|等于( )。A、 B、 C、 D、 6已知O、A、B为平面上三点,点C分有向线段 所成的比为2,则( )。 A、 B、 C、 D、 7O是ABC所在平面上一点,且满足条件 ,则点O是ABC的( )。A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心8设 、b、 均为平面内任意非零向量且互不共线,则下列4个命题:(1)( b)2= 2b2(2)| +b| -b| (3)| +b|2=( +b)2(4)(b ) -( a)b与 不一定垂直。其中真命题的个数是( )。A、1 B、2 C、3 D、4 9在ABC中,A=60,b=1, ,则 等于( )。A、 B、 C、 D、 10设 、b不共线,则关于x的方程 x2+bx+ =0的解的情况是( )。A、至少有一个实数解 B、至多只有一个实数解C、至多有两个实数解 D、可能有无数个实数解二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,满分16分.).11在等腰直角三角形ABC中,斜边AC=,则=_12已知ABCDEF为正六边形,且=a,=b,则用a,b表示为_. 13有一两岸平行的河流,水速为1,速度为 的小船要从河的一边驶向对岸,为使所行路程最短,小船应朝_方向行驶。14如果向量 与b的夹角为,那么我们称 b为向量 与b的“向量积”, b是一个向量,它的长度| b|=| |b|sin,如果| |=3, |b|=2, b=-2,则| b|=_。三、解答题:(本大题共4小题,满分44分.)15已知向量 = , 求向量b,使|b|=2| |,并且 与b的夹角为 。(10分)16、已知平面上3个向量 、b、 的模均为1,它们相互之间的夹角均为120。(1) 求证:( -b) ; (2)若|k +b+ |1 (kR), 求k的取值范围。(12分)17(本小题满分12分) 已知e1,e2是两个不共线的向量,=e1+e2,=-e1-8e2, =3e1-3e2,若A、B、D三点在同一条直线上,求实数的值. 18某人在静水中游泳,速度为4公里/小时,他在水流速度为4公里/小时的河中游泳. (1)若他垂直游向河对岸,则他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为多少? (2)他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度为多少? 参考答案 一、选择题: 1. D. 设R(x, -9), 则由 得(x+5)(-8)=-118, x=6. 2. C. |b| , | | = . 3. A. 平移后所得向量与原向量相等。 4A由(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 得a2=b2+c2-bc, A=60. sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC,得cosBsinC=0, ABC是直角三角形。 5D . 6. B 7. B. 由 ,得OBCA,同理OABC,O是ABC的垂心。 8A(1)(2)(4)均错。 9B由 ,得c=4, 又a2=b2+c2-2bccosA=13, .10B- =x2 +xb,根据平面向量基本定理,有且仅有一对实数和,使- = +b。故=x2, 且=x,=2,故原方程至多有一个实数解。 二、填空题 11. 12. 13. 与水流方向成135角。 14 。 b=| |b|cos, , | b|=| |b|sin 三、解答题15由题设 , 设 b= , 则由 ,得 . , 解得 sin=1或 。当sin=1时,cos=0;当 时, 。故所求的向量 或 。 16(1) 向量 、b、 的模均为1,且它们之间的夹角均为120。 , ( -b) .(2) |k +b+ |1, |k +b+ |21,k2 2+b2+ 2+2k b+2k +2b 1, ,k2-2k0, k2。17解法一:A、B、D三点共线 与共线,存在实数k,使=k 又 =(+4)e1+6e2. 有e1+e2=k(+4)e1+6ke2 有 解法二:A、B、D三点共线 与共线, 存在实数m,使又=(3+)e1+5e2 (3+)me1+5me2=e1+e2 有 18、解:(1)如图,设人游泳的速度为,水流的速度为,以、为邻边作OACB,则此人的实际速度为 图 图由勾股定理知|=8 且在RtACO中,COA=60,故此人沿与河岸成60的夹角顺着水流的方向前进,速度大小为8公里/小时. (2)如图,设此人的实际速度为,水流速度为,则游速为,在RtAOD中,. DAO=arccos. 故此人沿与河岸成arccos的夹角逆着水流方向前进,实际前进的速度大小为4公里/小时.
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