振动理论第二章习题解答

第二章习题21 一重块，支承在平台上，如题2-1图所示。重块下联结两个弹簧，其刚度均为。在图示位置时，每个弹簧已有初压力。设将平台突然撤去，则重块下落多少距离？ Wk k 题21图 解答：由题可知：弹簧在初始时的形变设重块将下落h m，则： 于是： 2-3求题2-3图所示的轴系扭转振动的固有频率。轴的直径为d，剪切弹性摸量为G，两端固定。圆盘的转动惯量为J,固定于轴上，至轴两端的距离分别为。解：以圆轴的轴线为固定轴，建立系统的振动微分方程 惯性力矩： 恢复力矩：由动静法得 因此 2-4 一均质等直杆AB，重为W，用两相同尺寸的铅垂直线悬挂如题2-4图所示。线长为，两线相距为。试推导AB杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出其固有频率。aaABWbbFTT解：AB杆绕重心摆动，则： 2-5 有一简支梁，抗弯刚度EI=2E10 Nc，跨度为L=4m，用题图(a),(b)的两种方式在梁跨中连接一螺旋弹簧和重块。弹簧刚度K=5kN/cm，重块质量W=4kN,求两种弹簧的固有频率。 (a) (b) 解：根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度（a） 图可以看作弹簧和杆的并联弹簧质量系统的固有频率已知EI=2E10 Nc, K=5kN/cm, W=4kN代入数据得（b） 图可以看作弹簧和杆的串联 所以代入数据得29一有黏性阻尼的单自由度系统，在振动时，它的振幅在5个周期之后减少了50%。试求系统的相对阻尼系数。 【解】 由（2-33）式得 两端取对数，得 则：210 列出题210图所示系统的振动微分方程，并计算其振动频率。解：系统运动时的受力如上所示由动静法原理可得： 令 ， 则 ，振动频率： 211如题21图所示轴承，轴的直径剪切弹性模量。圆盘饶对称轴的转动惯量为,并在(kNcm)的外力偶矩作用下发生扭振，求振幅值。 2-11解：惯性力矩 恢复力矩 微分方程 所以，振幅 已知 ，,代入数据得 212 已知一弹簧系统，质量块重，弹簧刚度，作用在质量块上的力为，而受阻力为。的单位均为，的单位为的单位为。求（1）忽略阻力时，质量块的位移和放大因子；（2）考虑阻力时，质量块的位移和放大因子。解： 系统运动方程为： 系统的稳态响应：其中：忽略阻力时，即， 则 放大因子：则系统的响应为：（2）考虑阻力时，则： 放大因子： 则系统的响应为：213 一有阻尼的弹簧质量系统，其固有频率为，弹簧刚度为，黏性阻尼系数。求在外力作用下的振幅和相位角。解答：由题可知： ；由于 则 2-14 试写出有阻尼的弹簧质量系统在初始条件， =0和质量块上受有 =时的响应。解：阻尼较小时，即，系统响应为 其中， 代入初始条件 =0，解得 因此，系统响应为 215 一电动机装置在由螺旋弹簧所支承的平台上，电动机与平台总质量为100kg，弹簧的总刚度k=700N/cm。电动机轴上有一偏心质量为1kg，偏心距离e=10cm，电机转速n=2000r/min，求平台的振幅。 解：由公式得= 该系统的振动为偏心振动，故运动微分方程可写为：式中，圆频率 （） 频率比 设稳态响应则， 由公式得，（） 2-17 写出题2-17图所示系统的振动微分方程，并求出稳态振动的解。 题2-17图解：系统运动微分方程为： 方程的解可表示为：其中为方程的特解，亦即稳态振动的解，令其形式为：将及其一阶、二阶导数代入运动微分方程，整理得：令 ，则 ， ，从而得于是得系统的稳态响应为：相应地求得相位角：2-20 试写过如题2-20图所示结构系统的振动微分方程，并求出系统的固有频率，相对阻尼系数和稳态振动的振幅。解：得；则 方程转化为 ， 2-21 一弹簧质量系统在如题2-21图所示的激振力作用下作强迫振动。试求其稳定振动的响应。x/02/03/04/0y 1 0 -1解：先将分解为各简谐激励，并计算傅立叶系数由图可知，激励的均值系统的响应为222 一弹簧质量系统如题222图所示的激振里作用下作强迫振动。试求其稳态振动的响应。F解：周期T=F（t）=由图知： 223.求如图所示的弹簧质量系统,支承出突然向上按运动的响应xsa0tmkxs解：为支承运动，用杜哈美积分 系统无阻尼，故， 解得