电磁场与电磁波试题及答案

1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。2. 答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为W伴=# +出,亦4 = B,B=0,V .8= P,(3ftft分)(说明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场(位移电流)也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。II2时变场的一般边界条件 D2n、E2t = 0、H2t=Js、B2n = 0。(或矢量式 KL&、*xE2 = 0、IIn H2 = Js、nB2 =0)1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式，并简要说明库仑标准与洛仑兹标准的意义。2. 答欠量位B =秋 A,A=0；动态矢量位E = w应或E+d = _v中。库仑标准与洛仑兹规ftft范的作用都是限制A的散度，从而使A的取值具有唯一性；库仑标准用在静态场，洛仑兹标准用在时变场。1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义2. =fA，dS 是矢量A穿过闭合曲面S的通量或发散量。假设中 0,流出S面的通量大于流入的通量，即通量由S面内向外扩散，说明S面内有正源假设中0,那么流入S面的通量大于流出的通量，即通量向S面内聚集，说明S面内有负源。假设中=0,那么流入S面的通量等于流出的通量，说明S面内无源。1. 证明位置矢量F=ex+e：y想2 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。2. 证明在直角坐标系里计算矿而)，那么有矿 r= lex +% +&(ex + eyy+ ez)I 象&ycz)=g 立 m =3:x ：:y :z假设在球坐标系里计算，那么4 41 1 :矿r(r)= = 一(r r) = = 一 (r ) = 3由此说明了矢重场的日攵度与坐标的选择无关。r :rr 彳1.在直角坐标系证明V W A 0 2. :、r代 A :A、./-A Az、 /-A j Ax-)ex(-)0(-)ez(-) z : y: z:z:x: x: y: / A : Ad患= (exe-.，-:x n z ：-y 一 z 一 z 一 x-/ A A -A A z ：Ay:A、=(-) (-) (-)=0一 x :y :z :y :z 一x ； z _x :y1. 简述亥姆霍兹定理并举例说明。例静电场2. 亥姆霍兹定理研究一个矢量场，必须研究它的散度和旋度，才能确定该矢量场的性质仲D信= q0矿D = P。有源 sI IUj E，dF=0 E = 0 无旋i. R = r r证明vr = 2. 证明Rd:R4:RR =eeex . r -z -xyzR= -VR1. 试写出一般电流连续性方程的积分与微分形式，恒定电流的呢?2. 一般电流|Jdg=dq dt Q矿七5佬t ;恒定电流印Jd&=0,矿J=01. 电偶极子在匀强电场中会受作怎样的运动？在非匀强电场中呢?2. 电偶极子在匀强电场中受一个力矩作用，发生转动；非匀强电场中，不仅受一个力矩作用，发生转动，还要受力的作用，使 电偶极子中心发生平动，移向电场强的方向1. 试写出静电场根本方程的积分与微分形式。2. 答静电场根本方程的q，珂 E，dl =01积分形式E ds =s-0T .微分形式D =匚、E = 01. 试写出静电场根本方程的微分形式，并说明其物理意义 2.静电场根本方程微分形式工/= P,Vx 8 = 0 ,说明激发静电场的源是空间电荷的分布或是激发静电场的源是是电荷的分布。1. 试说明导体处于静电平衡时特性。2. 答导体处于静电平衡时特性有 导体内4 = 0; 导体是等位体导体外表是等位面； 导体内无电荷，电荷分布在导体的外表孤立导体，曲率； 导体外表附近电场强度垂直于外表，且4 =。汗/谷0。1. 试写出两种介质分界面静电场的边界条件。2. 答在界面上d的法向量连续D1n = D2n或* D2 = n1 D2 ； E的切向分量连续Et = E2t或 己=A X 421. 试写出1为理想导体，二为理想介质分界面静电场的边界条件。2. 在界面上d的法向量D2n=或n1，D2=b； e的切向分量E2t=o或n xE2=o1. 试写出电位函数。表示的两种介质分界面静电场的边界条件。2. 答电位函数0表示的两种介质分界面静电场的边界条件为% =82 , S一 =%2:n f n1.试推导静电场的泊松方程。泊松方程1. 简述唯一性定理，并说明其物理意义2.对于某一空间区域V,边界面为s, 0满足-已或0,给定或半|$ 对导体给定q那么解是唯一的。只要满足唯一性定理中的条件，解是唯一的，可以用能想到的最简便的方法求解直接求 解法、镜像法、别离变量法，还可以由经验先写出试探解，只要满足给定的边界条件，也是唯一解。 不满足唯一性定理中的条件无解或有多解。1. 试写出恒定电场的边界条件。2. 答恒定电场的边界条件为.$-=0, ；蓝一瓦=o1. 别离变量法的根本步骤有哪些？2. 答具体步骤是1、先假定待求的位函数由两个或三个各自仅含有一个坐标变量的乘积所组成。2、把假定 的函数代入拉氏方程，使原来的偏微分方程转换为两个或三个常微分方程。解这些方程，并利用给定的边界 条件决定其中待定常数和函数后，最终即可解得待求的位函数。1. 表达什么是镜像法？其关键和理论依据各是什么？2. 答镜像法是用等效的镜像电荷代替原来场问题的边界，其关键是确定镜像电荷的大小和位置，理论依据 是唯一性定理。7、试题关键字恒定磁场的根本方程1. 试写出真空中恒定磁场的根本方程的积分与微分形式，并说明其物理意义2. 答真空中恒定磁场的根本方程的积分与微分形式分别为B 展=0，相=0仆圳= I=J说明恒定磁场是一个无散有旋场，电流是激发恒定磁场的源。1. 试写出恒定磁场的边界条件，并说明其物理意义。2. 答:怛定磁场的边界条件为 己乂比-H2=Js BxB,-B2=0,说明磁场在不同的边界条件下磁场 强度的切向分量是不连续的，但是磁感应强强度的法向分量是连续。1. 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为 J 证明垂直于平面的z轴上z = z。处的电场强度E中, 有一半是有平面上半径为7&乙的圆内的电荷产生的。2. 证明半径为r、电荷线密度为#=6的带电细圆环在z轴上z = z。处的电场强度为Mdrd E ez2 2322；or2 z232故整个导电带电面在z轴上z = z。处的电场强度为odE %22z2(r2 3)r。z。dr2、3 2而半径为V3zo的圆内的电荷产生在z轴上z = z。处的电场强度为=ezr；20drcz012 0(2匀32=一2；0(2 z2)123z0=E4；021. 由矢重位的表示式A( r)d .证明磁感应强度的积分公式-d .R“0 J (r ) RB (r )二二一二34 RT并证明2. 答B(r)八 A(r) = , d .4 RT、罕d TJ (r)、(加 J(r ) Rh . Z3d 4 二 RVVV, 、, R、，= J (r ) (3 ) d4 二RV1. 由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。2. 解 点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程* E = 0 和矿 D = P 由矿D = P得Dd = ：dTT据散度定理，上式即为jD dS =qs利用球对称性，得q4二 r2故得点电荷的电场表示式q 24二；r由于Vx E = 0 ,可取E ,那么得2 . D = ；E - - A - -土 ：=，：即得泊松方程V2P =1. 写出在空气和=*的理想磁介质之间分界面上的边界条件。2. 解空气和理想导体分界面的边界条件为n E = 0 n H =Js根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式E r H . H -E . Js r Jms即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件n H =0 n E - Jms式中，Jms为外表磁流密度。1. 写出麦克斯韦方程组在静止媒质中的积分形式与微分形式4 :D、H = J ；:t44 汨、 e = - 一ft-4B =04、D =2.H dl =值以十dS l_!sctB 4 dl =- .二 dS tgsB dS = 0JsD dS=q1.试写媒质1为理想介质2为理想导体分界面时变场的边界条件2. 答边界条件为Eit = E?t =0 或 3乂 E =0H1t=Js 或 H = JsB1fl =B2n =0 或 ，日=0Din = Ps或Di = Ps1. 试写出理想介质在无源区的麦克斯韦方程组的复数形式。2. 答-d 时、H =j，；E、 E = jH、B = 0D =o1. 试写出波的极化方式的分类，并说明它们各自有什么样的特点。2. 答波的极化方式的分为圆极化，直线极化，椭圆极化三种。圆极化的特点Exm = % ,且Em%的相位差为土兰，2直线极化的特点Exm , Eym的相位差为相位相差0,兀，椭圆极化的特点Exm ,且Exm，Eym的相位差为土;或0,冗，1. 能流密度矢量坡印廷矢量S是怎样定义的？坡印廷定理是怎样描述的？坡印2. 答能流密度矢量坡印廷矢量S定义为单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位截面的能量iI廷定理的表达式为-74 H dSHWe+Wn +R或dt-m#xH足=史1匪2+1心2折+ 口E2d7 ,反映了电磁场中能量的守恒和转换关系匚dt 221. 试简要说明导电媒质中的电磁波具有什么样的性质？设媒质无限大2. 答导电媒质中的电磁波性质有电场和磁场垂直；振幅沿传播方向衰减； 电场和磁场不同相；以平面波形式传播。2.时变场的一般边界条件D1nD2n=。、E1t=E*、H1tH2t=Js、B1n= B2n。写成矢量式此也包=。、1x2 E2=0、敞由由=J、*园富=0 一样给5分1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。2. 答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为vx H = J+CD,s E=s，B = o,v，D = pftft说明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场位移电流也是磁场的源；除电 荷外，变化的磁场也是电场的源。1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件I2. 时变场的一般边界条件D2n 、E2t = 0、H2t = Js、B2n = 0。写成矢量式 札D2、IIII42=0、*乂#2=上、*lB2 = 0 样给5分1.写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式，并简要说明库仑标准与洛仑兹标准的意义。AA.2.答矢重位B =由A, V A = 0 ;动态矢重位E = -甲-或E + = 一甲。库仑标准与洛仑兹 ftft标准的作用都是限制A的散度，从而使A的取值具有唯一性；库仑标准用在静态场，洛仑兹标准用在时变 场。1.描述天线特性的参数有哪些?2. 答描述天线的特性能数有辐射场强、方向性及它的辐射功率和效率。1. 天线辐射的远区场有什么特点？2. 答天线的远区场的电场与磁场都是与1/r成正比，并且它们同相，它们在空间相互垂直，其比值即为媒 质的本征阻抗，有能量向外辐射。1.真空中有一导体球A内有两个介质为空气的球形空腔B和G其中心处分别放置点电荷矶和由，试 求空间的电场分布。2. 对于A球内除B C空腔以外的地区，由导体的性质可知其内场强为零。 对A球 之外，由于在A球 外表均匀分布&1 + &2 的电荷，所以A球以外区域y#方向均沿球的径向对于A内的B C空腔内，由于导体的屏蔽作用那么1 侦耘为B内的点到B球心的距离或为C内的点到C球心的距离i.如下图，有一线密度身砧 的无限大电流薄片置于平面上，周围媒质为空气。试求场中各点的磁感应强度。2.根据安培环路定律，在面电流两侧作一对称的环路。那么y 0y 0L阪,忽略端部效应，求电缆单位长度的外自感。1. 同轴电缆的内外半径分别为从 和伤，其间媒质的磁导率 为四，且电缆长度2. 设电缆带有电流/妩2叩 2jt Qi1. 在附图所示媒质中，有一载流为J的长直导线，导线到媒质分界面的 距离为力。试求载流导线单位长度受到的作用力。2. 镜像电流镜像电流在导线处产生的B值为单位长度导线受到的作用力力的方向使导线远离媒质的交界面。+攵1. 图示空气中有两根半径均为a,其轴线间距离为d的平 行长直圆柱导体，设它们单位长度上所带的电荷 量分别为+和-Z假设忽略端部的边缘效应，试求(1)圆柱导体夕卜任意点p的电场强度JT的电位伊的表达式； (2)圆柱导体面上的电荷面密度皿与min值2.。)卜名F A=-2以y轴为电位参考点，那么T 11b =D max nni12足L占一力+a b-h- 32 席 |_目+3 - h1.图示球形电容器的内导体半径)i = lc5 ,外导体内径& = 6cm ,其间充有两种电介质弓与马，它们的分界面的半径为R = 3cm 耳与弓的相对介电常数分别为=9 x 10方二Z &二1。求此球形电容器的电容。皿2.解弓 Cl 3)板3E2 = 一 弓(3 r 6)C = = 2x1q-uF U 91. 一平板电容器有两层介质，极板面积为25cm, 一层电介质厚度4 = 五。5 , 电导率七= S/m ,相对介电常数勺=7，另一层电介质厚度G = lcm , 电导率肌二相对介电常数& =4,当电容器加有电压1000 V 时，求(1) 电介质中的电流；(2) 两电介质分界面上积累的电荷；电容器消耗的功率。2.%4 + 4八:.f=J5= 皿5 陌 25x10项 A加+ 4久b=&与皿二e/与K】4为 + d.w3 = 8.85x10 C/m:.P = = 25xl0-11 WR1. 有两平行放置的线圈，载有相同方向的电流，请定性画出场 中的磁感应强度分布E 线。2. 月线上、下对称。1. 真空中二均匀平面波的电场强度分别为：虬二 崩球和鸟游既坪 求合 成波电场强度的瞬 时表示式及极化方式。2.g伉16得合成波为右旋圆极化波Ex =乌字口$奴t+ 傀-勺E。sirred- jfc561.图示一平行板空气电容器，其两极板均为边长为a的正方形，板间距 离为d,两板分别带有电荷量+0与- S ,现将厚度为d、相对介电常数为a弓，边长为a的正方形电介质插入平行板电容器内至2处，试问该电介质 要受多大的电场力？方向如何?2. (1)解当电介质插入到平行板电容器内a/2处，那么其电容可看成两个电容器的并联% (a- x)aG )。= + C疽 时+ir=$&Tjr+ 静电能量Q2d2 C 2阿eTjf+&明 _矿 d J处 z 2m今 nr-lx+azaj= 一当 2时,帝IT其方向为a/2增加的方向，且垂直于介质端面。1.长直导线中载有电流丁，其近旁有一矩形线框，尺寸与相互 位置如下图。设t二0时，线框与直导线共面时，线框以均匀角速度由绕平行于直导线的对称 轴旋转，求线框中的感应电动势。2. 长直载流导线产生的磁场强度f时刻穿过线框的磁通上2陌人fTL+ () +JcDS17fMl _2板子+仁y -成物2感应电动势de=dtr r r(-)z + clsinuf吧b如 2况也)？+d叮(g抑2参考方向t= 0时为顺时针方向。1. 无源的真空中，时变电磁场磁场强度的瞬时矢量为Hez0. ios&5jzy)sir(6xl09 A/m试求(1)月的值;(2)电场强度瞬时矢量占右T)和复矢量(即相量)382. VW =+ 二一虾+ Q5blff-(&jrxlO)a#s寻告。/1C- X! . d (6X1OS)：故得= +)xdt=与9能1ril5J!zy)cos(6xlOs t-sT?+ zsirl5或尸扁-弓37f爪jc口L5;zy)eM1.2.证明任一沿弓传播的线极化波可分解为两个振幅相等，旋转方向相反的圆极化波的叠加。证明设线极化波其中:S导I尸导弓+矽次L-i4一ab 一(；钏得到u 一(o)dQ2 o ab_(； - p)Q心p下=-一ab(3) 电容器的电容为C _ Q _ 2 o abU (；o)d1. 频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿(+z)方向传播，介质的特性参数为与=4、阵=1，/ = 0。设电场沿x方向，即E=gxEx;当t=0 , z= m时，电场等8于其振幅值10V/m。试求iI(1) H(z,t)和E(z,t)；(2) 波的传播速度；(3) 平均波印廷矢量。2. 解以余弦形式写出电场强度表示式E(z,t) =&Ex(z,t)= &EmCOs( t -kz - xe)把数据代入Em =10V/mk =.；=2 二 f . 40 ；0 = ： rad / mxEE(z,t)-ex10cos( 108t-4_z g)V/mi 14-:-=105湖-了 W4 二H (z,t) = &H y =二=14-:10Mcos(2 二 108tz )A/my6。二36(2)波的传播速度v =3 1082= 1.5 108m/ s(3)平均坡印廷矢量为Sav =1 ReE H *2Sav=2Ree*60 二1(10)260 二1. 在由r=5、z=0和z = 4围成的圆柱形区域，对矢量A = er2+ez2z验证散度定理。2. 解在圆柱坐标系中A= 1 二(rr2) =(2z)=3r 2r .:r:z所以4 2 二 5 Lad . = dz d (3r 2)rdr =1200-：000又jAjdS = J(er2+ ez2z)_(ed S+ edS + %dSz)4 2 二5 2 二=52 5d dz 2 4rdrd =1200二0 00 0故有(VJa dw =1200= AJd S1.求(1)矢量A=exx2 + eyx2y2 +ez24) y z的散度；(2)求町A对中心在原点的一个单位立方体的 积分；(3)求A对此立方体外表的积分，验证散度定理。2. 2、,22、 一 223、(x )f(x y ) ：(24x y z )2222 |_A =- =2x 2x y 72x y z；xy确A对中心在原点的一个单位立方体的积分为12 12 1222 2 21=(2 x 2x y 72x y z )d xd y dz =A对此立方体外表的积分A出 S = s12 1212121 21 2(3) dydz-(飞)dydz1 2 J2 2J 2 J2212 12+12 12.-2,1、22,1、2,i i 2x (一)dxdz i i 2x (-一)d xdz2_J2 J22J2 J212 1212 129 9q9 9 I Q+223223i i 24x y (一)dxdy i i 24x y (-一)d xdyJ 2 J 22-J 2 J 2224故有1. 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球外表的积分，并求对球体积的积分2. 解2 二 二r|_dS = &r_erdS = J d faa2si =4兀a3 ss00又在球坐标系中Lr = 9一 (r2r) =3r : r所以2,、： ai Lrd .二 a/sinMrdd =4： a3000221. 求矢量A=exX+ eyx +3 z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分 别与x轴和y轴相重合。再求Vx A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。2.2222J Ad I = Jxd x _ Jxd x 十 j22d y _ JOd y = 8解0000又exe yezx A =rrcc= ex2yz + e z2xdx可&22x xy z所以2 2、 A|d S=(ex2yz ez2x)|_ez d xd y = 8S0 0故有I =8 = AdS1. 证明(1) %R= 3; (2) Vx R=0 ; (3) V( Ar)= a。其中 R=e xx*e yy*e zz , A 为一常欠量。2. 解(1)设 A = &Ax . eyAy e AzALR = Axx Ayy A,z0r、(ALR) = ex (AcX Ayy AzZ) ey (AxX Ayy AzZ):x:yez(AxX Ayy Az)：z= exA e yAy ezAz = A1. 两点电荷4 =8C位于z轴上z = 4处，q2=-4C位于y轴上y = 4处，求(4，。处的电场强度。2. 解 电荷q1在(4,0,0)处产生的电场为qir -ii匕1 _ 一 34兀8 r -r1电荷q2在(4,0,0)处产生的电场为-q2r - r2E 2 =；34临0 r -r22 ex4 -ez4二；0 (4 . 2)3故(4,0,0)处的电场为=EiE 2ex ey -ez232、. 2。1. 两平行无限长直线电流和2,相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力F m。2. 解无限长直线电流11产生的磁场为直线电流12每单位长度受到的安培力为F m12 = JI2 ej Rdz = -%1 0式中是由电流指向电流的单位矢量。同理可得，直线电流11每单位长度受到的安培力为F m21-F m12 =。121. 一个半径为a的导体球带电荷量为Q ,当球体以均匀角速度缶绕一个直径旋转，求球心处的磁感应强度B。2. 解球面上的电荷面密度为当球体以均匀角速度切绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r = era点处的电流面密度为Js =。v =。x r =ce xeraQ =e asin - e sin 口将球面划分为无数个宽度为dl =ade的细圆环，那么球面上任一个宽度为dl =ade细圆环的电流为d I = Js d l = Q sin d4 -细圆环的半径为b=asin。，圆环平面到球心的距离d=acos8 ,利用电流圆环的轴线上的磁场公式, 那么该细圆环电流在球心处产生的磁场为0b2dI0_ _一J0 -Qa2sin dd B = e= e ez2,2、32 ez2 . 2 22 、3 22(b d )8 (a sin u a cos )2、320 Qsin d -=ez8二 a故整个球面电流在球心处产生的磁场为侦Qe z6 a1.半径为a的球体中充满密度P(r)的体电荷，电位移分布为r3 Ar2Dr = a5 Aa4r2(r 三 a)(r - a)其中A为常数，试求电荷密度P(r)2.解由V|JD = P，有,1 d c节)LD = -2 (r2Dr) r d r故在r r dr aa(2)球体内的总电量Q为a3-r 2 .=i6；0=4：r dr =4二；0a0 a球内电荷不仅在球壳内外表上感应电荷-Q,而且在球壳外外表上还要感应电荷Q,所以球壳外外表上的 总电荷为2Q,故球壳外外表上的电荷面密度为2QMW。1. 中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为P = P(exx+ eyy + ezz)。(1)计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；(2)证明总的束缚电荷为零。2. 解1Pp = - tP =3P0异X=2= n|_P x?2 = e H x2 = 2P0异X = 一项=n|_P xK 2 = -ex_P Xi 2 = 2 P0同理, L、 一， L、 一， L y =匚=；py = -；=； pc222qP = ,：Pd . c-PdS = -3P0L3 6L2 ； P0 = 01. 一半径为R。的介质球，介电常数为弓&，其内均匀分布自由电荷P ,证明中心点的电位为212；土2. 解由iDJd S= q可得到o4二 r - ，_、4-r D1 = 3 P rR4二r2D2 =4-r R3即rD1：rDi =, Ei =-r ： R0303；r；0R3 匚Di卜萨旧一=一3*r R故中心点的电位为R(0) = EidrE2dr2 ；r 1( 、Q)R01. 一个半径为R的介质球，介电常数为&，球内的极化强度P=eK/r，其中K为一常数。1计算 束缚电荷体密度和面密度；2计算自由电荷密度；3计算球内、外的电场和电位分布。2. 解 1介质球内的束缚电荷体密度为七=一、LP =- -12-(r22 ,r dr在r = R的球面上，束缚电荷面密度为Op = n|_P 2 = erPr =R2由于D =标E + P ,所以l_D =必 P = -0， _|D + ：|P(1-) Ld =、Lp由此可得到介质球内的自由电荷体密度为d =、Lp =-一一七- 2 - -0- -0( -0)r总的自由电荷量R、 K 124二 RKq = . d = 4 r dr =3介质球内、外的电场强度分别为P(r : R)=er ,、(；-p)r(r R)q;RKE 2 = er2 = er -24：顼；0( )r介质球内、外的电位分别为1 = E|_dl = E1drE2dr；RKr(- p)rdr drR ；0( ； - ；0)rr；K；o( ； - ;0)(r R)OdCO2 = E2dr = rr.0(二(r -R)1.如下图为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零, (0,y A a( y =)0 (x,0X 0 (x,b)=u)根据条件和，电位x, y)的通解应取为n二 yn二 x(x, y)= Ansinh()sin( )nwaa由条件，有n二 b n xU0 =Ansinh()sin( )ndaa两边同乘以sin(nRx/0)，并从0到a对x积分，得到2Uo2Uo(1 - cosn 二) n二sinh( n二b a)4Uo,n =1,3,5，山= n 二 sinh(n二 ba)0，n =2,4,6，山故得到槽内的电位分布:/、 4Uo(x,y)=、-n4,3,5|.n二 yn 二 xsinh)sin()nsinh(nb a) a a1.两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y = d到y=b(sz8)。上板和 薄片保持电位Uo,下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y = o到y = d,电位线性变 化，中(o, y =Uy 。4.22. 解 应用叠加原理，设板间的电位为(x, y) Kjx, y) 2(x, y)其中，(x, y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间(电压为Uo)的电位，即中1(x, y) = Uoy/b ； 中2(x, y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为 2(x,o) = 2(x, b) =o 2(x,y尸 o (x，二)夺y-牛 y (o nd) 2(o,y) = (o,y) - 1(o,y) =bUoUo7?y (d 冬 yb)b根据条件和，可设(x, y)的通解为:一n：；.,2(x,y)=LAnsin(；)eFx由条件有U、二 n 二 y dAnSin()=n4b|0 Uoy - yb.UoUry(0 y d)(d y b)两边同乘以slnniryg，并从0到b对y积分，得到2U0 d 1 1 n二 y 2U0 b yn二 y1 质-)ysln(y)dy(l_?)sln(书)dyb 0 d b b b d b b2U一打b ,Ed、次亏故得到.U0 -bU。； 1 . ,n二d、.，n二 y、军 X(Xy)=By 亍 n折Sin()Sin(E)eq题 4.24 图(a )1.如题a图所示，在z0的下半空间是介电常数为&的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h 处有一点电荷q。求1 za0和z c0的两个半空间内的电位；2介质外表上的极化电荷密度，并证明 外表上极化电荷总电量等于镜像电荷q。2.解1在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为如题图b 、c所示;-;0 ，、q = - 一 q，位于 z = h0上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生，即4%0R 4%0R q &-如1 I4二 o R：r2 (z h)2； p . r2 (z h)2下半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q“共同产生，即2=片=2?。.可可2由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为=n* R- P2zW；o(dE2z)z&=d z:z ；z(o)hq22 3 22：(3)(r h )rdr22、3 2 dr极化电荷总电量为qp =二-pdS = ；：p2 二 rdr=_ -223S 0； p 0 (r h )1. 一个半径为R的导体球带有电荷量为Q ,在球体外距离球心为D处有一个点电荷q。1求点电荷q与 导体球之间的静电力；2证明当q与Q同号，且QSHR成立时，F表现为吸引力2.解1导体球上除带有电荷量Q之外，点电荷q还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根 据镜像法，像电荷q 和q的大小和位置分别为如题图所示.Rq =-q =q , d = 0导体球自身所带的电荷Q那么与位于球心的点电荷Q等效。故点电荷q受到的静电力为F =Fq q Fq j Fq 山qqq(D q)一一._ .、2 一 _ 24 二；(D-d)4 二；Dq Q (R D)qRqD2(2)当q与Q同号，且F表现为吸引力，即F 0时，那么应有Q (R D)qD2由此可得出RD3q (D2 -R2)2 D1. 如题5.8所示图，无限长直线电流I垂直于磁导率分别为*i和的两种磁介质的分界面，试求(1)两种磁介质中的磁感应强度Bi和B2 ； (2)磁化电流分布。2.解(1)由安培环路定理,可得所以得到B2 = lHIe2二 r(2)磁介质在的磁化强度-(。)12fr那么磁化电流体密度Jm=.M =ez1 rM 2一 ：0I r 】=0r d r2戒。 r dr r在r=0处，B2具有奇异性，所以在磁介质中r=0处存在磁化线电流、。以z轴为