广东省广州市越秀区高三上学期摸底考试文科数学试卷解析版

广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试文科数学试卷（解析版）一、选择题1已知全集，集合，则 （ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，又，.考点：集合的补集与并集2已知，则 （ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，.考点：对数的运算3下列函数为偶函数的是 （ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：对于函数，定义域为，即，故函数不是偶函数；函数为奇函数，不合乎题意；对于函数，定义域为，关于原点对称，即函数为奇函数；对于函数，定义域为，关于原点对称，故函数为偶函数，答案选.考点：函数的奇偶性4设，则“”是“直线与直线平行”的 （ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若直线与直线平行，则，解得，故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.考点：两直线的位置关系、充分必要条件5一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长为5的等腰三角形，则这个几何体的侧面积为 （ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由三视图知，该几何体是一个圆锥，且圆锥的底面直径为，母线长为，用表示圆锥的底面半径，表示圆锥的母线长，则，故该圆锥的侧面积为.考点：三视图、圆锥的侧面积6某校高二年级100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，则这100名学生数学成绩在分数段内的人数为（ ）A.45 B.50 C.55 D.60【答案】C【解析】试题分析：由于在频率分布直方图中，各矩形的面积之和为，则有，即，故学生数学成绩在的频率为，故这个学生数学成绩在的人数为.考点：频率分布直方图7在ABC中，则ABC的面积为（ ）A. B.3 C. D.6【答案】B【解析】试题分析：，由于，故，即的面积为.考点：平面向量的数量积、同角三角函数之间的关系、三角形的面积8已知，则的最小值是（ ）A.2 B. C.4 D.5【答案】C【解析】试题分析：，当且仅当，即当且时，上式取等号，故的最小值为.考点：基本不等式9若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：对于选项，函数的零点为，若函数零点与函数的零点之差的绝对值不超过，则函数的零点在区间，由于函数单调递增，且，故选项错误；对于选项，函数的零点为，则函数的零点在区间，由零点存在定理知，函数的零点在区间在，故答案为，由同样的方法，可知选项、均不正确.考点：函数的零点、零点存在定理10若过点的直线与曲线和都相切，则的值为 （ ）A.2 B. C.2或 D.3或【答案】C【解析】试题分析：设过曲线上的点的切线过点，对函数求导得，故曲线上的点的切线方程为，即，将点的坐标代入此切线方程得，即，解得或，（1）当时，则切线方程为，即切线为轴，此时曲线与轴相切，则；（2）当时，切线的方程为，对函数求导得，令，则有，解得，将代入得，即切点坐标为代入切线方程得，化简得，解得，综上所述或.考点：函数图象的切线方程二、填空题11在复平面内，复数对应的点的坐标是 .【答案】【解析】试题分析：，故复数在复平面内对应的点的坐标为.考点：复数的除法运算、复数的几何意义12执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是 .【答案】【解析】试题分析：成立，执行第一次循环体，,；成立，执行第二次循环体，；成立，执行第三次循环体，；成立，执行第十次循环体，；不成立，跳出循环体，输出的.考点：算法与程序框图、等差数列求和13在区域内随机取一个点，则关于的二次函数在区间上是增函数的概率是 .【答案】【解析】试题分析：由于，二次函数的图象开口朝上，对称轴方程为，由于函数在区间上单调递增，记事件关于的二次函数在区间上是增函数，则事件构成的平面区域如下图的阴影部分所示，联立与，解得，则事件构成的平面区域的面积为，总事件构成的区域为一个等腰直角三角形，且腰长为，其面积，故事件“关于的二次函数在区间上是增函数”发生的概率.考点：线性规划、几何概型14如图，AB为O的直径，弦AC、BD相交于点P，若，则的值为 .【答案】【解析】试题分析：如下图所示，连接，由于圆是的外接圆，且是圆的直径，故有，由正弦定理得，而，.考点：正弦定理、诱导公式15已知曲线C的参数方程是（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是 .【答案】【解析】试题分析：曲线的参数方程为（为参数），它表示以点为圆心，以为半径的圆，则曲线的标准方程为，化为一般方程即，化为极坐标方程得，即，两边约去得.考点：参数方程、直角坐标方程以及极坐标方程之间的转化三、解答题16已知函数，的最大值是1，最小正周期是，其图像经过点（1）求的解析式；（2）设、为ABC的三个内角，且，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据题中的已知条件确定函数中各未知量的值进而求出函数的解析式；（2）在求出函数的解析式之后，利用三角形的内角和定理，将的值转化为与的和角的三角函数求解，具体转化思路为，然后再利用同角三角函数之间的关系以及两角和的余弦公式进行求值.试题解析：（1）因为函数的最大值是1，且，所以.因为函数的最小正周期是，且，所以，解得.所以.因为函数的图像经过点，所以.因为，所以.所以.（2）由（1）得，所以，.因为，所以，.因为为ABC的三个内角，所以.所以.考点：三角函数的基本性质、两角和的余弦函数、同角三角函数之间的关系17为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所科研单位A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）：科研单位相关人数抽取人数A16B123C8（1）确定与的值；（2）若从科研单位A、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都自科研单位A的概率.【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）根据分层抽样的特点列式求与的值；（2）先将科研单位、中抽取的人用不同的符号进行表示，然后利用列举法将总事件中的基本事件以及问题中所考查事件的基本事件列举出，然后利用古典概型的概率计算公式计算出即可.试题解析：（1）依题意得，解得，.（2）记从科研单位A抽取的4人为，从科研单位C抽取的2人为，则从科研单位A、C抽取的6人中选2人作专题发言的基本事件有：共15种.记“选中的2人都自科研单位A”为事件，则事件包含的基本事件有：共6种.则.所以选中的2人都自科研单位A的概率为.考点：分层抽样、古典概型18如图，菱形的边长为4，.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）利用三角形的中位线平行于相应的底边证明，然后结合直线与平面平行的判定定理即可证明平面；（2）先利用翻折时与的相对位置不变证明，然后利用勾股定理证明，并结合直线与平面垂直的判定定理先证明平面，最终利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；（3）利用（2）中的结论平面，利用等体积法将三棱锥的体积转化为以点为顶点，所在平面为底面的三棱锥的体积计算，则三棱锥的高为，的面积为底面积，然后利用锥体的体积公式即可计算三棱锥的体积，在计算的面积时，首先应确定的形状，然后选择合适的公式计算计算的面积.试题解析：（1）因为O为AC的中点，M为BC的中点，所以.因为平面ABD，平面ABD，所以平面.（2）因为在菱形ABCD中，所以在三棱锥中，.在菱形ABCD中，ABAD4，所以BD4.因为O为BD的中点，所以.因为O为AC的中点，M为BC的中点，所以.因为，所以，即.因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC.因为平面DOM，所以平面平面.（3）由（2）得，平面BOM，所以是三棱锥的高.因为，所以.考点：直线与平面平行、平面与平面平行、等体积法19已知数列an的前n项和，且的最大值为4.（1）确定常数k的值，并求数列an的通项公式an；（2）令，数列bn的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小.【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）先根据二次函数的相关知识以及的最大值为这些条件确定的值，再根据与之间的关系求出数列的通项公式；（2）先求出数列的通项公式，根据其通项结构选择错位相减法求出数列的前项和，并根据的表达式确定与的大小.试题解析：（1）因为，所以当时，取得最大值.依题意得，又，所以.从而.当时，.又也适合上式，所以.（2）由（1）得，所以.所以，.由得，所以.因为，所以.考点：数列通项、错位相减法20已知双曲线经过点，且双曲线的渐近线与圆相切.（1）求双曲线的方程；（2）设是双曲线的右焦点，是双曲线的右支上的任意一点，试判断以为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆的位置关系，并说明理由.【答案】（1）；（2）外切.【解析】试题分析：（1）利用“点在双曲线上”以及“双曲线的渐近线与圆”这两个条件列两个方程，求解与，进而确定双曲线的方程；（2）根据圆与圆的位置关系的判断方法，考查两圆连心线的长度与两圆半径之间的相互关系，同时注意将点与左焦点连接起，注意到两圆圆心分别为与的中点，利用中位线以及双曲线的定义确定两圆半径与连心线长度之间的关系，进而确定两圆的位置关系.试题解析：（1）因为双曲线经过点，所以.因为双曲线的的渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于2，即，整理得.联立与，解得所以双曲线的方程为（2）由（1）得，所以双曲线的右焦点为.设双曲线的左焦点为，因为点在双曲线的右支上，所以，即，所以.因为以双曲线的实轴为直径的圆的圆心为，半径为；以为直径的圆的圆心为，半径为，所以两圆圆心之间的距离为.因为，所以以为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆外切.考点：双曲线、点到直线的距离、两圆的位置关系21已知函数.（1）试问的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（2）定义，其中，求；（3）在（2）的条件下，令.若不等式对且恒成立，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：（1）根据函数解析式的特点直接代入计算的值；（2）利用（1）中条件的条件，并注意到定义中第项与倒数第项的和这一条件，并利用倒序相加法即可求出的表达式，进而可以求出的值；（3）先利用和之间的关系求出数列的通项公式，然后在不等式中将与含的代数式进行分离，转化为恒成立的问题进行处理，最终利用导数或作差（商）法，通过利用数列的单调性求出的最小值，最终求出实数的取值范围.试题解析：（1）的值为定值2.证明如下：.（2）由（1）得.令，则.因为，所以，由+得，所以.所以.（3）由（2）得，所以.因为当且时，.所以当且时，不等式恒成立.设，则.当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.因为，所以，所以当且时，.由，得，解得.所以实数的取值范围是.考点：函数、倒序相加法、导数