数学总第四章 三角形 第五节 解直角三角形的实际应用

第五节解直角三角形的实际应用考点考点 解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用命题角度命题角度仰角、俯角问题仰角、俯角问题例例1 1 (2018 (2018安徽安徽) )为了测量竖直旗杆为了测量竖直旗杆ABAB的高度，某综合实践的高度，某综合实践小组在地面小组在地面D D处竖直放置标杆处竖直放置标杆CDCD，并在地面上水平放置一个，并在地面上水平放置一个平面镜平面镜E E，使得，使得B B，E E，D D在同一水平线上，如图所示该小组在同一水平线上，如图所示该小组在标杆的在标杆的F F处通过平面镜处通过平面镜E E恰好观测到旗杆顶端恰好观测到旗杆顶端A(A(此时此时AEBAEBFED)FED)，在，在F F处测得旗杆顶端处测得旗杆顶端A A的仰角为的仰角为39.339.3，平面镜，平面镜E E的俯角为的俯角为4545，FDFD1.81.8米，问旗杆米，问旗杆ABAB的高度约有多少米？的高度约有多少米？( (结果保留整数结果保留整数)()(参考数据：参考数据：tantan 39.3 39.30.820.82，tantan 84.3 84.310.02)10.02)【分析分析】 设设ABABx x，根据题意可得，根据题意可得DFDFDEDE1.81.8米，米，BEBEABABx x，过点，过点F F作作FGABFGAB于点于点G G，在，在RtRtAFGAFG中根据锐角三角函数中根据锐角三角函数关系建立方程求解关系建立方程求解【自主解答自主解答】解：解： 根据题意得根据题意得DEFDEFDFEDFE4545. .AEBAEBFEDFED，AEBAEBEABEAB4545，设设ABABx x，ABABBEBEx x，如解图，过点如解图，过点F F作作FGABFGAB于点于点G G， 在在RtRtAFGAFG中，中，AGAGx x1.81.8，FGFGx x1.8.1.8.tantan 39.3 39.3 ，0.82 0.82 ，解得，解得x18.x18.答：旗杆答：旗杆ABAB的高度约为的高度约为1818米米AGFG1.81.8xx1 1(2018(2018重庆重庆A A卷卷) )如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E E点处点处测得旗杆顶端的仰角测得旗杆顶端的仰角AEDAED5858，升旗台底部到教学楼底，升旗台底部到教学楼底部的距离部的距离DEDE7 7米，升旗台坡面米，升旗台坡面CDCD的坡度的坡度i i10.7510.75，坡长，坡长CDCD2 2米，若旗杆底部到坡面米，若旗杆底部到坡面CDCD的水平距离的水平距离BCBC1 1米，则旗杆米，则旗杆ABAB的高度约为的高度约为( )( )( (参考数据：参考数据：sinsin 58 580.850.85，coscos 58 580.530.53，tantan 58 581.6)1.6)A A12.612.6米米 B B13.113.1米米 C C14.714.7米米 D D16.316.3米米命题角度命题角度夹角问题夹角问题例例2 2(2017(2017安徽安徽) )如图，游客在点如图，游客在点A A处坐缆处坐缆车出发，沿车出发，沿A AB BD D的路线可至山顶的路线可至山顶D D处处假设假设ABAB和和BDBD都是直线段，且都是直线段，且ABABBDBD600600m m，7575，4545，求，求DEDE的长的长( (参考数据：参考数据：sinsin 75 750.970.97，coscos 75 750.260.26， 1.41)1.41)2【自主解答自主解答】解：在解：在RtRtBDFBDF中，中，sinsin ，DFDFBDBDsinsin 600600sinsin 45 45600600 300300423(423(m m) )在在RtRtABCABC中，中，coscos ，BCBCABABcoscos 600600coscos 75 756006000.260.26156(156(m m) )DEDEDFDFEFEFDFDFBC423BC423156156579(579(m m) )答：答：DEDE的长约为的长约为579 579 m m. .DFBD222BCAB1 1(2018(2018金华金华) ) 如图，两根竹竿如图，两根竹竿ABAB和和ADAD斜靠在墙斜靠在墙CECE上，上，量得量得ABCABC，ADCADC，则竹竿，则竹竿ABAB与与ADAD的长度之比的长度之比为为( )( )B B命题角度命题角度实物型问题实物型问题例例3 3 (2014(2014安徽安徽) )如图，在同一平面内，如图，在同一平面内，两条平行高速公路两条平行高速公路l l1 1和和l l2 2间有一条间有一条“Z Z”型道路连通，其中型道路连通，其中ABAB段与高速公路段与高速公路l l1 1成成3030角，长为角，长为20 20 kmkm；BCBC段与段与ABAB，CDCD段都垂直，长为段都垂直，长为10 10 kmkm；CDCD段段长为长为30 30 kmkm，求两高速公路间的距离，求两高速公路间的距离( (结果保留根号结果保留根号) )【自主解答自主解答】解：如解图，过点解：如解图，过点A A作作ABAB的垂线交的垂线交DCDC的延长线的延长线于点于点E E，过点，过点E E作作l l1 1的垂线与的垂线与l l1 1，l l2 2分别交于点分别交于点H H，F F，则，则HFlHFl2 2. .由题意知由题意知ABBCABBC，BCCDBCCD，AEABAEAB，四边形四边形ABCEABCE为矩形，为矩形，AEAEBCBC，ABABEC.EC.DEDEDCDCCECEDCDCABAB303020205050， AEAEBCBC10.10.又又ABAB与与l l1 1成成3030角，角，EDFEDF3030，EAHEAH6060. .在在RtRtDEFDEF中，中，EFEFDEDEsinsin 30 305050 2525，在在RtRtAEHAEH中，中，EHEHAEAEsinsin 60 601010 5 5 ，HFHFEFEFHEHE25255 .5 .答：两高速公路间的距离为答：两高速公路间的距离为(25(255 )5 )kmkm. .12323331 1(2018(2018枣庄枣庄) )如图，某商店营业大厅自动扶梯如图，某商店营业大厅自动扶梯ABAB的倾的倾斜角为斜角为3131，ABAB的长为的长为1212米，则大厅两层之间的高度为米，则大厅两层之间的高度为_米米( (参考数据：参考数据：sinsin 31 310.5150.515，coscos 31 310.8570.857，tantan 31 310.601)0.601) 6.18 6.18 命题角度命题角度坡度、坡角问题坡度、坡角问题例例4 4 (2013(2013安徽安徽) )如图，防洪大堤的横如图，防洪大堤的横断面是梯形断面是梯形ABCDABCD，其中，其中ADBCADBC，坡角，坡角6060，汛期来临前对其进行了加固，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角改造后的背水面坡角4545，若原坡长，若原坡长ABAB20 20 m m，求改造，求改造后的坡长后的坡长AE.(AE.(结果保留根号结果保留根号) )【自主解答自主解答】解：如解图，过点解：如解图，过点A A作作AFCEAFCE于点于点F F，在在RtRtABFABF中，中，ABAB2020，sinsin ，AFAF2020 10 .10 .在在RtRtAEFAEF中，中，sinsin ，AEAE 10 .10 .答：改造后的坡长答：改造后的坡长AEAE为为10 10 m m. . AFAB323AFAE10 322661 1(2017(2017济南济南) )如图，为了测量山坡护坡石坝如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度的坡度( (坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度度) )，把一根长，把一根长5 5 m m的竹竿的竹竿ACAC斜靠在石坝旁，量出斜靠在石坝旁，量出竿长竿长1 1 m m处的处的D D点离地面的高度点离地面的高度DEDE0.6 0.6 m m，又量得竿底与，又量得竿底与坝脚的距离坝脚的距离ABAB3 3 m m，则石坝的坡度为，则石坝的坡度为( )( )A. BA. B3 C. D3 C. D4 43435B B命题角度命题角度方向角问题方向角问题例例5 5(2018(2018眉山眉山) )知识改变世界，科技改变生活知识改变世界，科技改变生活导航装备的不断更新极大方便了人们的出行导航装备的不断更新极大方便了人们的出行如图，某校组织学生乘车到黑龙滩如图，某校组织学生乘车到黑龙滩( (用用C C表示表示) )开开展社会实践活动，车到达展社会实践活动，车到达A A地后，发现地后，发现C C地恰好地恰好在在A A地的正北方向，且距离地的正北方向，且距离A A地地1313千米，导航显示车辆应沿北千米，导航显示车辆应沿北偏东偏东6060方向行驶至方向行驶至B B地，再沿北偏西地，再沿北偏西3737方向行驶一段方向行驶一段距离才能到达距离才能到达C C地，求地，求B B、C C两地的距离两地的距离( (参考数据：参考数据：sinsin 53 53 ，coscos 53 53 ，tantan 53 53 ) )【分析分析】 通过作高线将原三角形分割成两个直角三角形，通过作高线将原三角形分割成两个直角三角形，如解图，设如解图，设ADADx x，运用三角函数表示出，运用三角函数表示出BDBD，CDCD的长，最后的长，最后列方程解决问题列方程解决问题453543【自主解答自主解答】 解：如解图，过点解：如解图，过点B B作作BDACBDAC，垂足为，垂足为D D，设设ADADx x，在在RtRtABDABD中，中，tantan A A ， ，BDBD x x，在在RtRtBCDBCD中，中，tantan CBD CBD ， ，CDCD ， x x1313， BDAD3BDx3CDBD433CDx4 33x4 33x解方程得解方程得x x4 4 3.3.BDBD12123 3 ，在在RtRtBCDBCD中，中，coscos CBD CBD ， ，BCBC20205 5 ，答：答：B B，C C两地的距离为两地的距离为(20(205 )5 )千米千米33BDBC35123 3BC331 1(2018(2018绵阳绵阳) )一艘在南北航线上的测量船，于一艘在南北航线上的测量船，于A A点处测点处测得海岛得海岛B B在点在点A A的南偏东的南偏东3030的方向，继续向南航行的方向，继续向南航行3030海里海里到达到达C C点时，测得海岛点时，测得海岛B B在在C C点的北偏东点的北偏东1515方向，那么海方向，那么海岛岛B B离此航线的最近距离是离此航线的最近距离是( (结果保留小数点后两位结果保留小数点后两位)()(参考参考数据：数据： 1.7321.732， 1.414)( )1.414)( )A A4.644.64海里海里 B B5.495.49海里海里C C6.126.12海里海里 D D6.216.21海里海里32B B2 2(2018(2018济宁济宁) )如图，在一笔直的海岸线如图，在一笔直的海岸线l l上有相距上有相距2 2 kmkm的的A A，B B两个观测站，两个观测站，B B站在站在A A站的正东方向上，从站的正东方向上，从A A站测得船站测得船C C在在北偏东北偏东6060的方向上，从的方向上，从B B站测得船站测得船C C在北偏东在北偏东3030的方向上，的方向上，则船则船C C到海岸线到海岸线l l的距离是的距离是_kmkm. .3