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第六章近独立粒子的最概然分布6.1范围内,试根据式（6213）证明：在体积V内，在名到廿de的能量 三维自由粒子的量子态数为2二 V 2 2Dd ； = -j-3 2m 2 ；2d ；.解:式（6213）给出，在体积V = L3内，在px至Upx+dpPy到py +dpy, px到px +dpx的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为(1)可得V .-3dpxdpydpz.h用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分, 在体积V内，动量大小在p到p+dp范围内二维自由粒子可能的量子 态数为(2)47V Fpdp.上式可以理解为将N空间体积兀4nVp2dp （体积V,动量球壳4/dp ） 除以相格大小h3而得到的状态数.自由粒子的能量动量关系为22m因此p = 2m ；, pdp = md ；.将上式代入式（2）,即得在体积V内，在君到d，的能量范围内, 三维自由粒子的量子态数为2；VD( )d，-hy312m 2 ；2d ；.(3)6.2 试证明，对于一维自由粒子，在长度 L内，在8到名+d,的能量范围内，量子态数为解：根据式（6214）, 一维自由粒子在R空间体积元dxdpx内可能 的量子态数为dxdpx .h在长度L内，动量大小在p到p+dp范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为2L dp-（1）h将能量动量关系2pz =2m代入，即得1(2)2L fm 至D (名)d 名=h 22z)6.3 试证明，对于二维的自由粒子，在面积L2内，在b到君+ d名的能量范围内，量子态数为2社2D I id ； = -j-2- md ；.解：根据式（6.2.14）,二维自由粒子在R空间体积元dxdydpxdpy内 的量子态数为1 .- dxdydpxdpy.（1）h用二维动量空间的极坐标p, 6描述粒子的动量，p, 6与px,py的关系 为px =pcosu,py = psinu.用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为pdpd-.在面积L2内，动量大小在p到p+dp范围内，动量方向在日到e+d范 围内，二维自由粒子可能的状态数为小作.h对de积分，从0积分到2冗，有可得在面积L2内，动量大小在 维自由粒子可能的状态数为p到p+dp范围内（动量方向任意），二2山2 丁心.(3)将能量动量关系2P2m代入，即有.2 L ,D ； d ； = j-2- md ；.(4)(5) 在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为；=cp.试求在体积V内，在名到的能量范围内三维粒子的量子态数.解：式（6.2.16）已给出在体积V内，动量大小在p至Up + dp范围内三维自由粒子可能的状态数为h3p2dp.(1)将极端相对论粒子的能量动量关系；-cp代入，可得在体积 V内，在6到w+dw的能量范围内，极端相对论粒 子的量子态数为(2)D ； d ； =:4 2d ；.ch6.5 设系统含有两种粒子，其粒子数分别为 N和N二粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的.假设粒子可以分辨，处在一个 个体量子态的粒子数不受限制.试证明，在平衡状态下两种粒子的最 概然分布分别为aia二*户，-七其中新和5是两种粒子的能级，必和飒是能级的简并度.解：当系统含有两种粒子，其粒子数分别为 N和N，总能量为E,体积为V时，两种粒子的分布 自和Q必须满足条件(1)v ai =N, - ai = N , ll、；向，iaE ll才有可能实现.在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情 形下，两种粒子分别处在分布 匕和Q时各自的微观状态数为c N!aQ =-V i ,(2)II ai! i lc N! .aiQ - .iii a ! i i系统的微观状态数qC叨Q（）=Qg：（3）平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使Q（0或In Q（） 为极大的分布.利用斯特令公式，由式（3）可得In Q（）=in（ Q O）=N in N -L ai in ai .二 a11n l N in Nai in a ,二 a11n hiiii为求使In Q（为极大的分布，令ai和a各有6ai和Sa：的变化，In Q（）将 因而有SIn Q（的变化.使InQ（叨极大白分布矶和1必使SIn Q（）= 0,即3n Q（）=- in 询-E in 曳；调=0.i1叫J i 1叫？但这些电和/不完全是独立的，它们必须满足条件6N = 劭=0, iNf = X 渤 = 0, lSE =S .0+2 b/必=0. ll用拉氏乘子。，口1r和B分别乘这三个式子并从 浙Q(0)中减去，得Sln QO-a 8N - a N ,-P Ea、 f .、=-Z In 曳+s+Pa 通2 In +a *+ Pel * a k 叫) l 飒)0 0.根据拉氏乘子法原理，每个 通和工的系数都等于零，所以得In-al :；l =0, iIn -al-：； l = 0,rI(4)ai=e a一e拉氏乘子% W和P由条件（1）确定.式（4）表明，两种粒子各自遵 从玻耳兹曼分布.两个分布的和V可以不同，但有共同的B.原因 在于我们开始就假设两种粒子的粒子数 N,N，和能量E具有确定值， 这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量， 但不会相互转化.从 上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平 衡时，两个子系统有相同的 ，6.6 同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？解：当系统含有N个玻色子，N个费米子，总能量为E,体积为V时，粒子的分布Q和G。必须满足条件 4 =N,I a 二N,IZ GaI + Z 耳 aI = E（1）II才有可能实现.玻色子处在分布aj,费米子处在分布 自。时，具微观状态数分 别为l ”!LC 一1lal! -l -1 !lal ! ,l _ al !系统的微观状态数Q（0讷Q（0）=Q.Q：（3）平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使Q（0或ln Q（0）为 极大的分布.将式（2）和式（3）取对数，利用斯特令公式可得ln Q（ ） = （劭 +al ）ln （col + al ）-al ln al _011n col 1 +l -|-. l ln / - al ln al - ivl -al ln ，l-a；：J. l -令各司和a有恒和电的变化，ln Q（墙因而有 即Q（）的变化，使用权ln Q?）为极大白分布砌和4。必使Sln Q（）= 0,即0 x. ln l al l alSln ）= Sal + lncallallal=0.但这此致必和劭不完全是独立的，它们必须满足条件6N = 密l =0, lNf = H 的 = 0, lE =鸟诩十鸟必=0.ll用拉氏乘子。，和B分别乘这三个式子并从ln Q（）中减去，得（飒-ai ）,in-a，一司电ai淅 Qf ）_ N -ar-P f （劭 +ai ）a ）=-Z inLLaP% 调+11aiJ 1=0.根据拉氏乘子法原理，每个 通和时的系数都等于零，所以得in a -：- - - ；l =0,ailna-二 -，i =0,i 即ai =，e , i句 ne7拉氏乘子巴2和P由条件（1）确定.式（4）表明，两种粒子分别遵 从玻色分布和费米分布，其中久和G不同，但P相等.
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