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第六章近独立粒子的最概然分布6.1范围内,试根据式(6213)证明:在体积V内,在名到廿de的能量 三维自由粒子的量子态数为2二 V 2 2Dd ; = -j-3 2m 2 ;2d ;.解:式(6213)给出,在体积V = L3内,在px至Upx+dpPy到py +dpy, px到px +dpx的动量范围内,自由粒子可能的量子态数为(1)可得V .-3dpxdpydpz.h用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量,并对动量方向积分, 在体积V内,动量大小在p到p+dp范围内二维自由粒子可能的量子 态数为(2)47V Fpdp.上式可以理解为将N空间体积兀4nVp2dp (体积V,动量球壳4/dp ) 除以相格大小h3而得到的状态数.自由粒子的能量动量关系为22m因此p = 2m ;, pdp = md ;.将上式代入式(2),即得在体积V内,在君到d,的能量范围内, 三维自由粒子的量子态数为2;VD( )d,-hy312m 2 ;2d ;.(3)6.2 试证明,对于一维自由粒子,在长度 L内,在8到名+d,的能量范围内,量子态数为解:根据式(6214), 一维自由粒子在R空间体积元dxdpx内可能 的量子态数为dxdpx .h在长度L内,动量大小在p到p+dp范围内(注意动量可以有正负两个可能的方向)的量子态数为2L dp-(1)h将能量动量关系2pz =2m代入,即得1(2)2L fm 至D (名)d 名=h 22z)6.3 试证明,对于二维的自由粒子,在面积L2内,在b到君+ d名的能量范围内,量子态数为2社2D I id ; = -j-2- md ;.解:根据式(6.2.14),二维自由粒子在R空间体积元dxdydpxdpy内 的量子态数为1 .- dxdydpxdpy.(1)h用二维动量空间的极坐标p, 6描述粒子的动量,p, 6与px,py的关系 为px =pcosu,py = psinu.用极坐标描述时,二维动量空间的体积元为pdpd-.在面积L2内,动量大小在p到p+dp范围内,动量方向在日到e+d范 围内,二维自由粒子可能的状态数为小作.h对de积分,从0积分到2冗,有可得在面积L2内,动量大小在 维自由粒子可能的状态数为p到p+dp范围内(动量方向任意),二2山2 丁心.(3)将能量动量关系2P2m代入,即有.2 L ,D ; d ; = j-2- md ;.(4)(5) 在极端相对论情形下,粒子的能量动量关系为;=cp.试求在体积V内,在名到的能量范围内三维粒子的量子态数.解:式(6.2.16)已给出在体积V内,动量大小在p至Up + dp范围内三维自由粒子可能的状态数为h3p2dp.(1)将极端相对论粒子的能量动量关系;-cp代入,可得在体积 V内,在6到w+dw的能量范围内,极端相对论粒 子的量子态数为(2)D ; d ; =:4 2d ;.ch6.5 设系统含有两种粒子,其粒子数分别为 N和N二粒子间的相互作用很弱,可以看作是近独立的.假设粒子可以分辨,处在一个 个体量子态的粒子数不受限制.试证明,在平衡状态下两种粒子的最 概然分布分别为aia二*户,-七其中新和5是两种粒子的能级,必和飒是能级的简并度.解:当系统含有两种粒子,其粒子数分别为 N和N,总能量为E,体积为V时,两种粒子的分布 自和Q必须满足条件(1)v ai =N, - ai = N , ll、;向,iaE ll才有可能实现.在粒子可以分辨,且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情 形下,两种粒子分别处在分布 匕和Q时各自的微观状态数为c N!aQ =-V i ,(2)II ai! i lc N! .aiQ - .iii a ! i i系统的微观状态数qC叨Q()=Qg:(3)平衡状态下系统的最概然分布是在满足式(1)的条件下使Q(0或In Q() 为极大的分布.利用斯特令公式,由式(3)可得In Q()=in( Q O)=N in N -L ai in ai .二 a11n l N in Nai in a ,二 a11n hiiii为求使In Q(为极大的分布,令ai和a各有6ai和Sa:的变化,In Q()将 因而有SIn Q(的变化.使InQ(叨极大白分布矶和1必使SIn Q()= 0,即3n Q()=- in 询-E in 曳;调=0.i1叫J i 1叫?但这些电和/不完全是独立的,它们必须满足条件6N = 劭=0, iNf = X 渤 = 0, lSE =S .0+2 b/必=0. ll用拉氏乘子。,口1r和B分别乘这三个式子并从 浙Q(0)中减去,得Sln QO-a 8N - a N ,-P Ea、 f .、=-Z In 曳+s+Pa 通2 In +a *+ Pel * a k 叫) l 飒)0 0.根据拉氏乘子法原理,每个 通和工的系数都等于零,所以得In-al :;l =0, iIn -al-:; l = 0,rI(4)ai=e a一e拉氏乘子% W和P由条件(1)确定.式(4)表明,两种粒子各自遵 从玻耳兹曼分布.两个分布的和V可以不同,但有共同的B.原因 在于我们开始就假设两种粒子的粒子数 N,N,和能量E具有确定值, 这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量, 但不会相互转化.从 上述结果还可以看出,由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平 衡时,两个子系统有相同的 ,6.6 同上题,如果粒子是玻色子或费米子,结果如何?解:当系统含有N个玻色子,N个费米子,总能量为E,体积为V时,粒子的分布Q和G。必须满足条件 4 =N,I a 二N,IZ GaI + Z 耳 aI = E(1)II才有可能实现.玻色子处在分布aj,费米子处在分布 自。时,具微观状态数分 别为l ”!LC 一1lal! -l -1 !lal ! ,l _ al !系统的微观状态数Q(0讷Q(0)=Q.Q:(3)平衡状态下系统的最概然分布是在满足式(1)条件下使Q(0或ln Q(0)为 极大的分布.将式(2)和式(3)取对数,利用斯特令公式可得ln Q( ) = (劭 +al )ln (col + al )-al ln al _011n col 1 +l -|-. l ln / - al ln al - ivl -al ln ,l-a;:J. l -令各司和a有恒和电的变化,ln Q(墙因而有 即Q()的变化,使用权ln Q?)为极大白分布砌和4。必使Sln Q()= 0,即0 x. ln l al l alSln )= Sal + lncallallal=0.但这此致必和劭不完全是独立的,它们必须满足条件6N = 密l =0, lNf = H 的 = 0, lE =鸟诩十鸟必=0.ll用拉氏乘子。,和B分别乘这三个式子并从ln Q()中减去,得(飒-ai ),in-a,一司电ai淅 Qf )_ N -ar-P f (劭 +ai )a )=-Z inLLaP% 调+11aiJ 1=0.根据拉氏乘子法原理,每个 通和时的系数都等于零,所以得in a -:- - - ;l =0,ailna-二 -,i =0,i 即ai =,e , i句 ne7拉氏乘子巴2和P由条件(1)确定.式(4)表明,两种粒子分别遵 从玻色分布和费米分布,其中久和G不同,但P相等.
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