多元函数极值典型例题

多元函数极值典型例题例1求由方程x2+y2+z2-2,v+2y-4-10=0确定的函数z=f(x,y)的极值.解将方程两边分别对x,y求偏导，得J2x+2zz；-2-4z；=02y+2zz；.-2-4z；.=0令Z：=O,z；.=O,得x=l,y=-l.即驻点为P(l,-1)(z_2)_+(+(2-Z)(Z-2)+(l+)y(2-Z)B=乙、=0Vp因4C-B辽0,zh2,故Z=f(x,y)p取极值.将x=l,y=-l代入x2+y2+z2-2x+2y-収一10=0得z1=-2,z2=6.Z=_2时，人=丄=丄0，故Z=/(l,l)=_2为极小值；2-z4Z=6时，A=-=0故z-/(1,一1)=6为极人值.2-z4例2求函数z=F+r-12x+16y在有界闭域F+/25的绘大值和最小值.解函数z=x+)“-12x+16y在有界闭域x2+y225连续，故必在该区域上取得最大值和最小值.先求函数在区域r+y225内的驻点.A*rjr令二=2x-12=0,=2y+16=0,x=6.y=-8.dxdvF但(6,8)不在区域F+y25内，故函数的最大值和最小值必在边界疋+尸=25上取得.再求z=x2+r-12x+16y在边界x2+/=25的条件极值.设F(x,y,A)=x1+y1一12x+16y-A(x2+y一25).(F；=2x-12-2Zv=0(1)令0忆0)的最大值，并证明对任何正数a,b,c成立不等式abc3lv=0V3一22z2=0(3)x2+y2+22-5r2=0(4)(1)+(3),得2疋+八亠5,W2=-将求得的2的值分别代入(1)、(2)、(3)式,得驻点(r,r,V3r).因在第一卦限内球面的三条边界上，丙数f(x,y均趋向于一8,故最大值必tflllllfil内部取得，而驻点乂唯一，则在驻点(r,r,V3r)处，/(x,y,Z)取得垠大值，其值为F(r,r,V3r)=Inr+Inr+31nV3r=ln(3/3r5)，则对任何x0,y0,z0,WInx+In)+31nzlii(3V3r5),4#Xr=-(jC+y+V5.2，得#x2y227x1=a,y2=b,z2=c9得abc527#