北京西城区抽样测试理1

精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生.鑼北京市西城区 2004 年抽样测试高三数学试卷（理科）、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1 函数y =sin（2x ）（0u： 一）是 R 上的偶函数，贝 U的值是（A . 0B兀C .兀D . :424 cos -2.圆锥曲线2的准线方程是(sin2日A . COS二=1BP cos = -1C .sinr -1D.sin v - -13若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之 比为（A2:2B.3:2C.5:2D.3:24. 两个集合 A 与 B 之差记作“A/B ”定义为：A/B= x|x A，且 x_ B，如果集合 A= x|log2X1 ,x R，集合 B=x|x 2|tg：D .ctg2： ：ctg：精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生.鑼的底面边长为 2,高为.2，则异面直线 AB 与 SC 所成角的大小是10从 3 名男同学 1 名女同学中选出 3 人，分别担任班长、体委、宣委职务，其中女同学不能担任体委职务，那么不同的任职方案共有 _ 种(用数字作答)11设zC,且|z-i|=|z-1|，则复数z在复平面上的对应点 Z (x, y)的轨迹方程是_； |z i|的最小值是_ .|x = t _ 212 .将曲线 C 的参数方程1(t 为参数)化为直角坐标方程是 _ ;曲线 C 的UP对称中心坐标是_ .13.已知f(x)是定义在(一3+R)上的减函数，其图象经过6. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1-5 , 0),点 P 位于该双曲线上，线段PFI的中点坐标为(0, 2),则双曲线的方程是2 2x2,2y ,A.y = 1B.x1C.f(x)某航空公司经营 A、B、C、D 这四个城市之间的客运业务A B 为 2000 元；A C 为 1600 元；A D 为 2500 元； 元若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则 为(x ) (x )2 2.它的部分机票价格如下：900A. 1000 元一、填空题：本大题共)(注：计算时视 A、B、B . 1200 元6 小题，每小题C、D 四城市位于同一平面内)C. 1400 元D .5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上1500 元9.正四棱锥 S ABCD7.D.二x精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生.鑼A (-4, 1), B ( 0, 1)两点，f (x)的反函数是f *(x),则f *(1)的值是_ ;不等式|f(X -2片：1的解集精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生.鑼是_.14._下列四个正方体图形中， A、B 为正方体的两个顶点， M、N、P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB / MNP 的图形的序号是 .(写出所有符合要求的图形序号)6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本题满分 13 分)已知数列an是等差数列，其前 n 项和为Sn,a3=7,S4二24.(I)求数列an的通项公式；1(II)设 p、q 是正整数，且 p丰q.证明：Sp .q(S2p S2q).2三、解答题：本大题共精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生.鑼16.(本题满分 14 分)在厶 ABC 中，三个内角是 A、B、C 的对边分别是a、b、c,其中 c=10,且cs Acs B(I)求证： ABC 是直角三角形；(II)设圆 0 过 A、B、C 三点，点 P 位于劣弧 AC 上，/ PAB=60求四边形 ABCP 的面积精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生.鑼17.(本题满分 14 分)如图，在直三棱柱 ABC AIBICI中，/ ACB=90 . BC=CCi=a, AC=2 a.(I)求证：AB1 BC1;(II )求二面角 B AB1 C 的大小； (III )求点 A1到平面 ABQ 的距离.精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生.鑼18.（本题满分 13 分）已知 0 （ 0，0）、A（晶，0）为平面内两定点，动点P 满足|PO|+|PA|=2.（I）求动点 P 的轨迹方程；（II）设直线丨：y = kx（k 0）与（I）中点 P 的轨迹交于 B、C 两点求厶 ABC 的最大面积及此时直线 I 的方程精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生.鑼19.(本题满分 12 分)某城市 2002 年末粮食储备量为 100 万吨，预计此后每年耗用上一年末粮食储备量的5%，并且每年新增粮食储备量均为x 万吨(I)记2002年末的粮食储备量为 ai万吨，以后各年末的粮食储备量依次为a2万吨，a3万吨，.写出 a2, a3和 an(n N)的表达式；(II)受条件限制，该城市的粮食储备量不能超过150 万吨，那么每年新增粮食储备量 不应超过多少万吨？精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生.鑼20.(本题满分 14 分)2设 a0，曲线 C 的方程为y=x，ax(xR).点 P 是曲线 C 上横坐标为Xo(Xo0)的点，点 Q 是曲线 C 的顶点.(I)当Xo =1，且直线 PQ 的斜率是 2 时，求实数 a 的值；(II)设直线 I 经过点 P 且与曲线 C 有且只有一个公共点，记直线I 交 x 轴于点(捲，0).证明：0：: Xr _或捲=x0.2精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生.鑼高三数学（理科）参考答案及评分标准10.18（5分）11（第一个空2分，第二个空3分）x +312.y；（-2,1）（第一个空 2 分，第二个空 3 分）13. 4;x|-2：X：2（第x +2一个空 2 分，第二个空 3 分）14.、（多答、少答、错答均不给分）三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分其它解法，请仿此给分15.（本题满分 13 分）Iya +2 d 7（1 ）解：设等差数列 G 九勺公差是 d,依题意得，j14打=24.4aH-d2解得月=3,. 5分d =2.数列 也的通项公式为an=at （n _1）d =2n 1.7分(2).证明：Tan=2n+1, Sn=佝十弘)=n2+2n.9 分n22Spq-(S2pS2q)=2(p q)22(p q) -(4p2 4p) -(4q2 4q) y(p -q)2,TpF2Sp q(S2pS2q)：0.Sp q vgbp * SQQ).13分16.(本题满分 14 分)(1)证明：根据正弦定理得，cosA =sinB.2 分、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1.C2.A3.C4.D5.B6.B7.C、填空题：本大题共6 小题，每小题8.D5 分，共 30 分.9. 60( 5 分)精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生.鑼cosB sin A整理为，sinAcosA=sinBcosB，即 sin2A=sin2B./ sin2A sin2B=0 , 2cos(A+B) -sin(A B)=0.精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生.鑼：A_By c=2,或A_B=.2 /舍去 A=B. C=巴a 32故厶 ABC 是直角三角形. 8 分(2)解：由(1)可得：a=6, b=8.在 Rt ACB 中,sin . CAB二BC =3,cos. CAB =4. AB 55- sin . PAC =sin(60 -/CAB)=sin 60 cos./CABcos60 sin ZCAB=4_丄3丄(4. 3_3). 11 分252510连结 PB, 在 Rt APB 中，AP=AB - cos/ PAB=5 ,四边形 ABCP 的面积s四边形ABCP=SCB+S 進AC=1 ab E APACsinPAC1 1=2f8中朋_3)=18+8.3 .14 分17.(本题满分 14 分)(1)证明： ABC A1B1C1是直三棱柱， CC1 平面 ABC , AC 丄 CC1. AC 丄 BC , AC 丄平面 B1BCC1.- BQ 是 AB1在平面 B1BCC1上的射影. BC=CC1,四边形 B1BCC1是正方形， BC1丄 B1C.根据三垂线定理得，AB1丄 BC1. 5 分(2)解：设 BC1QB1C=O，作 OP 丄 AB1于点 P,连结 BP.vBO 丄 AC,且 BO 丄 B1C, BO 丄平面 AB1C. OP 是 BP 在平面 AB1C 上的射影.根据三垂线定理得，AB1丄 BP. / OPB 是二面角 B AB1 C 的平面角 . 8 分OPB2 ACB1,OP=OBLoP=OB1 AC=込AC一AB1AB3在 Rt POB 中，tg. OPB=些二一6，OP 2/ A+B=n -C,/ cosC -sin(A B)=0.P精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生.鑼二面角 B ABi C 的大小为arctg亞. 10 分(3) 解：解法 1 / A1C1/AC, A1C1平面 ABiC,- A1C1/平面 AB1C. 点 A1到平面 AB1C 的距离与点 C1到平面 AB1C的距离相等 BC1丄平面 ABQ,线段 C1O 的长度为点 A1到平面 ABQ 的距离.点 A1到平面 AB1C 的距离为。0=亚曰.14 分12解法 2连结 A1C，有 VABQ二 VB卒c，设点 A1到平面 ABQ 的距离为 h. BiCi丄平面 ACCiAi,松虫少。B1C1，又SACB1= 2AC BiC=.羽；SAz=2 AC A,A， h =匚旦=a点 Ai到平面 ABiC 的距离为豆a. 14 分2a222 -18.(本题满分 13 分)(1 )解：T|P0|+|PA|=2,且 |0A|= , 3 2.点 P 的轨迹是以 0( 0, 0)、A (J3,0)为焦点，长轴长 2a=2 的椭圆 .3 分精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生.鑼 a=1,b2=.a2-c2设 P (x, y),点 P的轨迹方程为(x3、2)4y2=1.(2)解：将 y=kx 代入(x)24y2J消去 X,整理为(4丄=0.4设 B(xi, yi),C(X2, y2),贝SABC=2 IOA | | y_y21=3k 1 k21 4k2_(3k / +k2(3k)2( 1 k2)213k1 k22 ,有 an=0.95an-1+x=0.9520,即 xw5 时，an 1 anWw a2a1=100；当 100-20 x5 时，lim an=im20 x(100-20 x) 0.95n=20 x并且数列 3n的逐项增加，可以任意靠近20 x.因此，如果要求粮食储备不超过150 万吨，则an150，即20 x150. xw0.75.所以，每年新增粮食储备量不应超过7.5 万吨.20.(本题满分 14 分)C1)解：当x/ 时，P (1, 1+a),Q(_a,_兰).2421 亠 a 亠4=2.解得 a =2.1旦2当直 I 的斜率存在时，设其方程为y(X： ax0) =k(x-x0),代入 y = x? ax,整理为x (a - k)x x(k - a -X。)= 0.依题意，得厶=(a k)24x0(k a x0) =0.12 分依题意得,(2)证明：当直线 l 的斜率不存在时,其方程为x = x0，直线 l 与曲线 C 有且只有个公共点(x0, xoax0),适合题意，此时X1 = X0.精诚凝聚=A_A=成就梦想 鑼点亮心灯/(AvA)照亮人生.鑼即(a -k)2亠4x0(a - k)亠4x( = (a - k亠2x0)2= 0,. k = 2x0亠a.9 分直线 I 方程为：y _(xf ax0)=2(x0a)( -x0).2 2令 y=0，得為二一(X。+axo)+百 _x. 11 分2x0亠a2x0亠a a _0,x。.0,0.x二总 二x0_ X。，当且仅当 a=0 时，为=卫12x0+a 2x022综上，誇或 xx。.14分