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word高考抽象函数技巧总结由于函数概念比拟抽象，学生对解有关函数记号的问题感到困难，学好这局部知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法与意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性与变形能力。例1： ,求.解：设,如此2.凑合法：在的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。 例2：，求解：又，(|1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由条件，定出关系式中的未知系数。例3 二次实函数，且+2+4,求.解:设=，如此=比拟系数得4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.=为奇函数,当 0时,求解:为奇函数，的定义域关于原点对称，故先求0,为奇函数，当0时例5一为偶函数，为奇函数，且有+， 求,.解：为偶函数，为奇函数，,不妨用-代换+=中的,即显见+即可消去,求出函数再代入求出5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出的表达式例6：设的定义域为自然数集，且满足条件,与=1,求解：的定义域为N，取=1,如此有=1,=+2,以上各式相加，有=1+2+3+=二、利用函数性质，解的有关问题1.判断函数的奇偶性：例7 ,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。证明：令=0, 如此等式变为在中令=0如此2=20=1为偶函数。例8：奇函数在定义域-1，1递减，求满足的实数的取值围。解：由得，为函数，又在-1，1递减，3.解不定式的有关题目 例9：如果=对任意的有,比拟的大小解：对任意有=2为抛物线=的对称轴又其开口向上(2)最小，(1)=(3)在2，)上，为增函数(3)(4),(2)(1)(4)五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。例1、函数fx对任意实数x，y，均有fxyfxfy，且当x0时，fx0，f12，求fx在区间2，1上的值域。分析：由题设可知，函数fx是的抽象函数，因此求函数fx的值域，关键在于研究它的单调性。解：设，当，即，fx为增函数。在条件中，令yx，如此，再令xy0，如此f02 f0，f00，故fxfx，fx为奇函数，f1f12，又f22 f14，fx的值域为4，2。例2、函数fx对任意，满足条件fxfy2 + fxy，且当x0时，fx2，f35，求不等式的解。 分析：由题设条件可猜测：fx是yx2的抽象函数，且fx为单调增函数，如果这一猜测正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，当，如此， 即，fx为单调增函数。 ， 又f35，f13。， 即，解得不等式的解为1 a 0时，0f(x)0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进展。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。定义在R上的函数满足：且，求的值。 解：由， 以代入，有，为奇函数且有 又由 故是周期为8的周期函数， 例2 函数对任意实数都有，且当时，求在上的值域。 解：设 且， 如此， 由条件当时， 又为增函数， 令，如此 又令 得， 故为奇函数，上的值域为二. 求参数围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域的增减性，去掉“符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。 例3 是定义在上的偶函数，且在0，1上为增函数，满足，试确定的取值围。 解：是偶函数，且在0，1上是增函数，在上是减函数， 由得。 1当时，不等式不成立。 2当时， 3当时， 综上所述，所求的取值围是。例4 是定义在上的减函数，假如对恒成立，数的取值围。 解： 对恒成立 对恒成立 对恒成立，三. 解不等式 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“，转化为代数不等式求解。 例5 函数对任意有，当时，求不等式的解集。 解：设且 如此， 即， 故为增函数， 又 因此不等式的解集为。四. 证明某些问题 例6 设定义在R上且对任意的有，求证：是周期函数，并找出它的一个周期。 分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进展递推，假如能得出T为非零常数如此为周期函数，且周期为T。 证明：得 由3得 由3和4得。 上式对任意都成立，因此是周期函数，且周期为6。 例7 对一切，满足，且当时，求证：1时，2在R上为减函数。 证明：对一切有。 且，令，得， 现设，如此， 而， 设且， 如此， 即为减函数。五. 综合问题求解 抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉与到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“前的“负号，三是利用函数单调性去掉函数符号“。 例8 设函数定义在R上，当时，且对任意，有，当时。 1证明； 2证明：在R上是增函数； 3设，假如，求满足的条件。 解：1令得，或。 假如，当时，有，这与当时，矛盾，。 2设，如此，由得，因为，假如时，由 3由得 由得 2 从1、2中消去得，因为， 即 例9 定义在上的函数满足1，对任意都有， 2当时，有， 1试判断的奇偶性；2判断的单调性； 3求证。 分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为根底去研究数列求和的综合题。 解：1对条件中的，令，再令可得，所以是奇函数。 2设，如此，由条件2知，从而有，即，故上单调递减，由奇函数性质可知，在0，1上仍是单调减函数。 3抽象函数问题分类解析 我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。 1. 求定义域 这类问题只要紧紧抓住：将函数中的看作一个整体，相当于中的x这一特性，问题就会迎刃而解。 例1. 函数的定义域为，如此函数的定义域是_。 分析：因为相当于中的x，所以，解得或。 例2. 的定义域为，如此的定义域是_。 分析：因为与均相当于中的x，所以 (1)当时，如此 (2)当时，如此 2. 判断奇偶性 根据条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。 例3. 的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。 分析：在中，令， 得 令，得 于是 故是偶函数。 例4. 假如函数与的图象关于原点对称，求证：函数是偶函数。 证明：设图象上任意一点为P与的图象关于原点对称，关于原点的对称点在的图象上， 又 即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数。 3. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 例5. 如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是 A. 增函数且最小值为B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为D. 减函数且最大值为 分析：画出满足题意的示意图1，易知选B。图1 例6. 偶函数在上是减函数，问在上是增函数还是减函数，并证明你的结论。 分析：如图2所示，易知在上是增函数，证明如下： 任取 因为在上是减函数，所以。 又是偶函数，所以， 从而，故在上是增函数。图2 4. 探求周期性 这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。 例7. 设函数的定义域为R，且对任意的x，y有，并存在正实数c，使。试问是否为周期函数？假如是，求出它的一个周期；假如不是，请说明理由。 分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：满足题设条件，且，猜测是以2c为周期的周期函数。 故是周期函数，2c是它的一个周期。 5. 求函数值 紧扣条件进展迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。 例8. 的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，假如，如此_。 分析：在条件中，令，得， 又令， 得， 例9. 是定义在R上的函数，且满足：，求的值。 分析：紧扣条件，并屡次使用，发现是周期函数，显然，于是， 所以 故是以8为周期的周期函数，从而 6. 比拟函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间，然后利用其单调性使问题获解。 例10. 函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，假如，且，如此的大小关系是_。 分析：且， 又时，是增函数，是偶函数， 故7. 讨论方程根的问题 例11. 函数对一切实数x都满足，并且有三个实根，如此这三个实根之和是_。 分析：由知直线是函数图象的对称轴。 又有三个实根，由对称性知必是方程的一个根，其余两根关于直线对称，所以，故。 8. 讨论不等式的解 求解这类问题利用函数的单调性进展转化，脱去函数符号。 例12. 函数是定义在上的减函数，且对一切实数x，不等式恒成立，求k的值。 分析：由单调性，脱去函数记号，得 由题意知(1)(2)两式对一切恒成立，如此有 9. 研究函数的图象 这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。 例13. 假如函数是偶函数，如此的图象关于直线_对称。 分析：的图象的图象，而是偶函数，对称轴是，故的对称轴是。 例14. 假如函数的图象过点0，1，如此的反函数的图象必过定点_。 分析：的图象过点0，1，从而的图象过点，由原函数与其反函数图象间的关系易知，的反函数的图象必过定点。10. 求解析式 例15. 设函数存在反函数，与的图象关于直线对称，如此函数 A. B. C. D. 分析：要求的解析式，实质上就是求图象上任一点的横、纵坐标之间的关系。 点关于直线的对称点适合，即。 又， 即，选B。抽象函数的周期问题 2001年高考数学文科第22题：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称。对任意都有。 I设求； II证明是周期函数。解析：I解略。 II证明：依题设关于直线对称 故 又由是偶函数知 将上式中以代换，得 这明确是上的周期函数，且2是它的一个周期是偶函数的实质是的图象关于直线对称 又的图象关于对称，可得是周期函数 且2是它的一个周期 由此进展一般化推广，我们得到思考一：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，证明是周期函数，且是它的一个周期。证明：关于直线对称 又由是偶函数知 将上式中以代换，得是上的周期函数 且是它的一个周期思考二：设是定义在上的函数，其图象关于直线和对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。证明：关于直线对称 将上式的以代换得是上的周期函数 且是它的一个周期 假如把这道高考题中的“偶函数换成“奇函数，还是不是周期函数？经过探索，我们得到思考三：设是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数，且4是它的一个周期。，证明：关于对称 又由是奇函数知 将上式的以代换，得是上的周期函数 且4是它的一个周期是奇函数的实质是的图象关于原点0，0中心对称，又的图象关于直线对称，可得是周期函数，且4是它的一个周期。由此进展一般化推广，我们得到思考四：设是定义在上的函数，其图象关于点中心对称，且其图象关于直线对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。30 / 30证明：关于点对称关于直线对称 将上式中的以代换，得是上的周期函数 且是它的一个周期 由上我们发现，定义在上的函数，其图象假如有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，如此是上的周期函数。进一步我们想到，定义在上的函数，其图象如果有两个对称中心，那么是否为周期函数呢？经过探索，我们得到思考五：设是定义在上的函数，其图象关于点和对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。证明：关于对称 将上式中的以代换，得是周期函数 且是它的一个周期抽象函数解法例谈抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号与其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数局部的难点,也是大学高等数学函数局部的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比拟困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,等多种方法从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题,一:函数性质法函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反响出来的,抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进展等价转化,抽象函数问题才能转化,化难为易,常用的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点,布列方程等.二:特殊化方法1在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将x换成-x或将x换成等2在求函数值时,可用特殊值代入3研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对综合题,的解答提供思路和方法.总之,抽象函数问题求解,用常规方法一般很难凑效,但我们如果能通过对题目的信息分析与研究,采用特殊的方法和手段求解,往往会收到事半功倍之成效,真有些山穷水复疑无路,柳暗花明又一村的快感.1 函数f(x)对任意x、yR都有f(x+y)f(x)+ f(y)+3xy(x+y+2)+3,且f(1)=1假如t为自然数,(t0)试求f(t)的表达式满足f(t)=t的所有整数t能否构成等差数列?假如能求出此数列,假如不能说明理由假如t为自然数且t4时, f(t) mt2+(4m+1)t+3m,恒成立,求m的最大值.2 函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)0, g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m) g(n)= g(m+n)(m、nR) 求证：f(x)是R上的增函数当nN,n3时,f(n)解: 设x1x2 g(x)是R上的增函数, 且g(x)0 g(x1) g(x2) 0g(x1)+1 g(x2)+1 0 0 - 0f(x1)- f(x2)=- =1-(1-) =-0 f(x1) f(x2) f(x)是R上的增函数 g(x) 满足g(m) g(n)= g(m+n)(m、nR) 且g(x)0 g(n)= g(1)n=2n 当nN,n3时, 2nnf(n)=1- ，1- 2n1+1n1+n+n+12n+1 2n+12n+21-当nN,n3时,f(n)3 设f1(x) f2(x)是(0,+)上的函数,且f1(x)单增,设f(x)= f1(x) +f2(x) ,且对于(0,+)上的任意两相异实数x1, x2恒有| f1(x1) f1(x2)| | f2(x1) f2(x2)|求证：f (x)在(0,+)上单增.设F(x)=x f (x), a0、b0.求证：F(a+b) F(a)+F(b) .证明:设 x1x20f1(x) 在(0,+)上单增f1(x1) f1(x2)0| f1(x1) f1(x2)|= f1(x1) f1(x2)0| f1(x1) f1(x2)| | f2(x1) f2(x2)|f1(x2)- f1(x1)f2(x1) f2(x2) f1(x2)+ f2(x2)f(x1) f(x2)f (x)在(0,+)上单增F(x)=x f (x), a0、b0a+ba0,a+bb0F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)f (x)在(0,+)上单增F(a+b)af(a)+bf(b)= F(a)+F(b)4 函数yf(x)满足f(a+b)f (a)f (b)，f(4)16, m、n为互质整数，n0求f()的值f(0) =f(0+0)=f(0) f(0)=f2(0)f(0) =0或1.假如f(0)=0如此f(4)=16=f(0+4)=f(0) f(4)=0.(矛盾)f(1)=1f(4)=f(2) f(2)=f(1) f(1) f(1) f(1)=16f(1)=f2()0f(1)=2.仿此可证得f(a)0.即y=f(x)是非负函数.f(0)=f(a+(-a)=f(a) f(-a)f(-a)=nN*时f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-nf(1)=f(+)=fn()=2f()= f()=f()m= 5 定义在-1，1上的函数f (x)满足 任意x、y-1，1都有f(x)+ f(y)f ()，x-1，0时，有f(x) 01) 判定f(x)在-1，1上的奇偶性，并说明理由2) 判定f(x)在-1，0上的单调性，并给出证明3) 求证：f ()f ()f ()或f ()+f ()+f () f () (nN*) 解:1) 定义在-1，1上的函数f (x)满足任意x、y-1，1都有f(x)+ f(y)f (),如此当y=0时, f(x)+ f(0)f(x)f(0)=0当-x=y时, f(x)+ f(-x)f(0)f(x)是-1，1上的奇函数2) 设0x1x2-1f(x1)-f(x2)= f(x1)+ f(-x2)=0x1x2-1 ,x-1，0时，有f(x) 0,1-x1 x20, x1-x200即f(x)在-1，0上单调递增.3) f ()=f()=f( )=f()=f()-f()f ()+f ()+f ()=f()-f()+f()-f()+f()+f()-f()= f() -f()=f()+f(-)x-1，0时，有f(x) 0f(-)0, f()+f(-)f()即f ()+f ()+f () f ()1)6 设 f (x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称, 对任意x1、x20,都有f (x1+ x2)f(x1) f(x2), 且f(1)=a0.求f ()与 f ();证明f(x)是周期函数记an=f(2n+), 求(lnan)解: 由f (x)= f ( + )=f(x)20,f(x)a= f(1)=f(2n)=f(+)f ()2解得f ()= f ()=,f ()=. f(x)是偶函数,其图像关于直线x=1对称,f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x).f(x+2)=f1+(1+x)= f1-(1+x)= f(x)=f(-x).f(x)是以2为周期的周期函数. an=f(2n+)= f ()=(lnan)= =07 设是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意x、yR都有f(x+y)f(x)f(y)求f(0)，设当xf(0)证明当x0时0f(x)1,设a1=,an=f(n)nN* ，sn为数列an前n项和，求sn.解：仿前几例，略。anf(n)， a1f(1)an+1f(n+1)=f(n)f(1)an数列an是首项为公比为的等比数列sn1-sn18 设是定义在区间上的函数，且满足条件： i ii对任意的 证明：对任意的 证明：对任意的 在区间1，1上是否存在满足题设条件的奇函数，且使得假如存在，请举一例：假如不存在，请说明理由.证明：由题设条件可知，当时，有即证法一：对任意的当不妨设如此所以，综上可知，对任意的都有证法二：由可得，当 所以，当因此，对任意的当时，当时，有且所以综上可知，对任意的都有答：满足所述条件的函数不存在. 理由如下，假设存在函数满足条件，如此由 得 又所以 又因为为奇数，所以由条件得 与矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.
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