三次样条插值实现原理

三次样条插值的实现原理:对于n+1个给定点的数据集xj,我们可以用n段三次多项式在数据点之间构建一个三次样条。如果畔-i表示对函数f进行插值的样条函数，那么需要:插值特性，S(xi)=f(Xi)*样条相互连接，S-i(Xi)=S(Xi),i=l,，n-l两次连续可导，Si-i(Xi)=Si(Xi)以及S(xj=Si(Xi),i=1,.,n-1.由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状，所以对于组成S的n个三次多项式来说，这就意味着需要4n个条件才能确定这些多项式。但是，插值特性只给出了n+1个条件，内部数据点给出n+1-2=n-1个条件，总计是4n-2个条件。我还需要另外两个条件，根据不同的因素我们可以使用不同的条件。其中一项选择条件可以得到给定u与v的钳位三次样条，在这些所有的二次连续可导函数中， 钳位与自然三次样条可以得到相对于待插值函数f的最小震荡。如果选择另外一些条件，S(力0) )=$1坯)卜(帀)=畑)炉血）=0（珀(丁血)=(dV9) )=(0,1)(帀J(%)=%询=&円)（业/仏）=（馳皿）二h厂）的函数找一个线性样条。直接代入样条公式，我们得到如下样条:可以得到周期性的三次样条如果选择，举例说明：假设要为带有节点（弼,（血）=（助用O）=l-t出 f：(电f(%)=(九如)=(-1106_5e_1+2(e_iE)(H十1)e-4+2(l-e-l)(j十1十2(e_?1)He-i+2(e-1-e-i)(-|)S(x)=x-1i一士H和0样条函数（蓝线）以及所近似的函数（红点）如下图所示:下图是一个k=4的样条函数（蓝线）与所近似的函数（红线）的例子: